Эварист Галуа -Évariste Galois

Эварист Галуа
Эварист Галуа.jpg
Портрет Эвариста Галуа в возрасте около 15 лет.
Родился ( 1811-10-25 )25 октября 1811 г.
Умер 31 мая 1832 г. ( 1832-05-31 )(20 лет)
Альма-матер Подготовительная школа
Известен Работы по теории уравнений , теории групп и теории Галуа
Научная карьера
Поля Математика
Влияния Адриан-Мари Лежандр
Жозеф-Луи Лагранж
Подпись
Galois-Signature.svg

Эварист Галуа ( / ɡ æ l ˈ w ɑː / ; французский:  [evaʁist ɡalwa] ; 25 октября 1811 г. - 31 мая 1832 г.) был французским математиком и политическим деятелем. Еще будучи подростком, он смог определить необходимое и достаточное условие разрешимости многочлена в радикалах , тем самым решив проблему, которая была открыта в течение 350 лет. Его работа заложила основы теории Галуа и теории групп , двух основных разделов абстрактной алгебры .. Он был убежденным республиканцем и принимал активное участие в политических беспорядках, сопровождавших Французскую революцию 1830 года . За свою политическую деятельность его неоднократно арестовывали, отбыв один тюремный срок на несколько месяцев. По причинам, которые остаются неясными, вскоре после выхода из тюрьмы он дрался на дуэли и умер от полученных ран.

Жизнь

Ранний период жизни

Галуа родился 25 октября 1811 года в семье Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари (урожденной Деманте). Его отец был республиканцем и главой либеральной партии Бур-ла-Рен . Его отец стал мэром деревни после того, как Людовик XVIII вернулся на престол в 1814 году. Его мать, дочь юриста , свободно читала латинскую и классическую литературу и отвечала за образование своего сына в течение его первых двенадцати лет.

Cour d'honneur лицея Луи-ле-Гран , который Галуа посещал в детстве.

В октябре 1823 года он поступил в лицей Луи-ле-Гран , В возрасте 14 лет начал серьёзно интересоваться математикой .

Он нашел копию « Элементов геометрии » Адриана-Мари Лежандра , которую, как говорят, он прочитал «как роман» и освоил с первого прочтения. В 15 лет он читал оригинальные статьи Жозефа-Луи Лагранжа , такие как Réflexions sur la résolution algébrique des equations , которые, вероятно, мотивировали его более позднюю работу по теории уравнений, и Leçons sur le calcul des fonctions , работа, предназначенная для профессиональных математиков, но все же его классная работа оставалась невдохновленной, а учителя обвиняли его в негативном влиянии на амбиции и оригинальность.

Подающий надежды математик

В 1828 году он попытался сдать вступительный экзамен в Политехническую школу , самое престижное учебное заведение по математике во Франции в то время, без обычной подготовки по математике, и провалился из-за отсутствия объяснений на устном экзамене. В том же году он поступил в École Normale (тогда известную как l'École préparatoire), в то время гораздо более низкое учебное заведение для математических исследований, где он нашел некоторых сочувствующих ему профессоров.

Огюстен-Луи Коши сделал обзор ранних математических работ Галуа.

В следующем году была опубликована первая статья Галуа о цепных дробях . Примерно в то же время он начал делать фундаментальные открытия в теории полиномиальных уравнений . Он представил две работы по этой теме в Академию наук . Огюстен-Луи Коши рецензировал эти статьи, но отказался принять их к публикации по причинам, которые до сих пор остаются неясными. Однако, несмотря на многие утверждения об обратном, широко распространено мнение, что Коши признавал важность работы Галуа и просто предложил объединить две статьи в одну, чтобы включить ее в конкурс на получение Гран-при Академии по математике. . Коши, выдающийся математик того времени, хотя и с политическими взглядами, противоположными взглядам Галуа, считал работу Галуа вероятным победителем.

28 июля 1829 года отец Галуа покончил жизнь самоубийством после ожесточенного политического спора с деревенским священником. Через пару дней Галуа предпринял вторую и последнюю попытку поступить в Политех и снова потерпел неудачу. Бесспорно, что Галуа был более чем квалифицирован; однако мнения о том, почему он потерпел неудачу, расходятся. Более правдоподобные версии утверждают, что Галуа сделал слишком много логических прыжков и сбил с толку некомпетентного экзаменатора, что привело Галуа в ярость. Недавняя смерть отца, возможно, также повлияла на его поведение.

Получив отказ в приеме в Политехническую школу , Галуа сдал экзамены на степень бакалавра, чтобы поступить в Нормальную школу . Он прошел, получив степень 29 декабря 1829 года. Его экзаменатор по математике сообщил: «Этот ученик иногда неясно выражает свои идеи, но он умен и проявляет замечательный исследовательский дух».

Он несколько раз представлял свои мемуары по теории уравнений, но они так и не были опубликованы при его жизни из-за различных событий. Хотя его первая попытка была отклонена Коши, в феврале 1830 года по предложению Коши он представил ее секретарю Академии Жозефу Фурье для рассмотрения на Гран-при Академии. К сожалению, Фурье вскоре умер, а мемуары были утеряны. Премия будет присуждена в том же году Нильсу Хенрику Абелю посмертно, а также Карлу Густаву Якобу Якоби . Несмотря на утерянные мемуары, в том же году Галуа опубликовал три статьи. Один из них заложил основы теории Галуа . Второй был о численном решении уравнений ( нахождение корней в современной терминологии). Третий был важным в теории чисел , в которой впервые было сформулировано понятие конечного поля .

Политическая головня

Битва за ратушу , Жан-Виктор Шнетц . Галуа, как стойкий республиканец, хотел бы участвовать в Июльской революции 1830 года, но ему помешал директор École Normale.

Галуа жил во время политических потрясений во Франции. Карл X сменил Людовика XVIII в 1824 году, но в 1827 году его партия потерпела серьезное поражение на выборах , и к 1830 году оппозиционная либеральная партия стала большинством . Чарльз, столкнувшись с политической оппозицией со стороны палаты, устроил государственный переворот и издал свои печально известные июльские постановления , положившие начало Июльской революции , закончившейся тем, что Луи-Филипп стал королем. Пока их коллеги из Политехнической школы творили историю на улицах, Галуа из Нормальной школы был заперт директором школы. Галуа был возмущен и написал резкое письмо с критикой директора, которое он отправил в Gazette des Écoles , подписав письмо своим полным именем. Хотя редактор « Газетт » не подписался за публикацию, Галуа был исключен.

Хотя его исключение официально должно было вступить в силу 4 января 1831 года, Галуа немедленно бросил школу и присоединился к стойко республиканскому артиллерийскому подразделению Национальной гвардии . Он делил свое время между математической работой и политической деятельностью. Из-за разногласий вокруг подразделения, вскоре после того, как Галуа стал его членом, 31 декабря 1830 года, артиллерия Национальной гвардии была расформирована из-за опасений, что они могут дестабилизировать правительство. Примерно в то же время девятнадцать офицеров бывшего подразделения Галуа были арестованы и обвинены в заговоре с целью свержения правительства.

В апреле 1831 года с офицеров были сняты все обвинения, а 9 мая 1831 года в их честь был устроен банкет, на котором присутствовали многие выдающиеся люди, такие как Александр Дюма . Процесс принял бурный характер. В какой-то момент Галуа встал и произнес тост , в котором сказал: « За Луи-Филиппа » с кинжалом над чашей. Республиканцы на банкете восприняли тост Галуа как угрозу жизни короля и приветствовали его. На следующий день он был арестован в доме своей матери и содержался под стражей в тюрьме Сент-Пелажи до 15 июня 1831 года, когда над ним предстал суд. Адвокат защиты Галуа ловко утверждал, что Галуа на самом деле сказал: «Луи-Филиппу, если он предаст », но что квалификация была заглушена аплодисментами. Прокурор задал еще несколько вопросов, и, возможно, под влиянием молодости Галуа присяжные в тот же день оправдали его.

На следующий день взятия Бастилии (14 июля 1831 г.) Галуа возглавил протест в форме расформированной артиллерии и пришел во всеоружии с несколькими пистолетами, заряженной винтовкой и кинжалом. Его снова арестовали. Во время своего пребывания в тюрьме Галуа однажды впервые выпил алкоголь по наущению сокамерников. Один из этих заключенных, Франсуа-Венсан Распей , записал в письме от 25 июля то, что сказал Галуа в пьяном виде. Выдержка из письма:

А я вам говорю, я умру на дуэли по поводу какой-нибудь кокетки de bas étage . Почему? Потому что она предложит мне отомстить за ее честь, которую скомпрометировал другой.
Знаешь, чего мне не хватает, мой друг? Я могу доверить это только вам: это тот, кого я могу любить и любить только душой. Я потерял отца, и никто никогда не заменял его, слышишь...?

Первая строка — навязчивое пророчество о том, как на самом деле умрет Галуа; второй показывает, как глубоко потрясла Галуа потеря отца. Распай продолжает, что Галуа, все еще в бреду, пытался покончить жизнь самоубийством, и что ему это удалось бы, если бы его сокамерники не остановили его насильно. Несколько месяцев спустя, когда 23 октября состоялся суд над Галуа, он был приговорен к шести месяцам тюремного заключения за незаконное ношение униформы. Находясь в тюрьме, он продолжал развивать свои математические идеи. Он был освобожден 29 апреля 1832 года.

Последние дни

Симеон Дени Пуассон рассмотрел статью Галуа по теории уравнений и объявил ее «непонятной».

Галуа вернулся к математике после исключения из École Normale , хотя продолжал заниматься политической деятельностью. После того, как его изгнание стало официальным в январе 1831 года, он попытался открыть частный класс по продвинутой алгебре, что вызвало некоторый интерес, но это ослабло, поскольку казалось, что его политическая активность имела приоритет. Симеон Дени Пуассон попросил его представить свою работу по теории уравнений , что он и сделал 17 января 1831 года. Примерно 4 июля 1831 года Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», заявив, что «аргумент [Галуа] недостаточно ясен и недостаточно развит. чтобы позволить нам судить о его строгости»; однако отчет об отклонении заканчивается обнадеживающей нотой: «Тогда мы бы предложили автору опубликовать всю свою работу, чтобы сформировать окончательное мнение». Хотя отчет Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, только в октябре Галуа попал в тюрьму. Неудивительно, учитывая его характер и положение в то время, что Галуа бурно отреагировал на письмо с отказом и решил отказаться от публикации своих статей через Академию и вместо этого публиковать их в частном порядке через своего друга Огюста Шевалье. Однако, по-видимому, Галуа не проигнорировал совет Пуассона, так как он начал собирать все свои математические рукописи еще в тюрьме и продолжал шлифовать свои идеи до своего освобождения 29 апреля 1832 года, после чего его каким-то образом уговорили на дуэль.

Роковая дуэль Галуа состоялась 30 мая. Истинные мотивы дуэли неясны. О них было много спекуляций. Известно лишь то, что за пять дней до смерти он написал Шевалье письмо, в котором явно упоминается о разрыве любовной связи.

Некоторые архивные исследования оригинальных писем предполагают, что женщиной, вызывавшей романтический интерес, была Стефани-Фелиси Потерин дю Мотель, дочь врача из общежития, где Галуа останавливался в последние месяцы своей жизни. Доступны фрагменты ее писем, скопированные самим Галуа (многие части, такие как ее имя, либо стерты, либо намеренно опущены). В письмах намекается, что дю Мотель рассказал Галуа о некоторых своих проблемах, и это могло побудить его самому спровоцировать дуэль от ее имени. Это предположение также подтверждается другими письмами, которые Галуа позже написал своим друзьям за ночь до своей смерти. Двоюродный брат Галуа, Габриэль Деманте, когда его спросили, знает ли он причину дуэли, упомянул, что Галуа «оказался в присутствии предполагаемого дяди и предполагаемого жениха, каждый из которых спровоцировал дуэль». Сам Галуа восклицал: «Я жертва гнусной кокетки и двух ее обманщиков».

Гораздо более подробные предположения, основанные на этих скудных исторических подробностях, были вставлены многими биографами Галуа (в первую очередь Эриком Темпл Беллом в книге «Люди математики» ), например, часто повторяющиеся предположения о том, что весь инцидент был инсценирован полицией и роялистами. фракции для устранения политического врага.

Что касается его противника на дуэли, Александр Дюма называет Пешо д'Эрбинвиля, который на самом деле был одним из девятнадцати артиллерийских офицеров, оправдание которых было отмечено на банкете, послужившем поводом для первого ареста Галуа. Однако Дюма одинок в этом утверждении, и если бы он был прав, неясно, почему д'Эрбинвиль был замешан. Было высказано предположение, что в то время он был «предполагаемым женихом» дю Мотель (в конечном итоге она вышла замуж за другого), но четких доказательств, подтверждающих эту гипотезу, найдено не было. С другой стороны, сохранившиеся вырезки из газет, сделанные всего через несколько дней после дуэли, дают описание его противника (обозначенного инициалами «LD»), которое, по-видимому, более точно относится к одному из друзей Галуа-республиканца, скорее всего, Эрнесту Дюшателе. был заключен в тюрьму вместе с Галуа по тому же обвинению. Учитывая противоречивую доступную информацию, истинная личность его убийцы вполне может быть потеряна для истории.

Какими бы ни были причины дуэли, Галуа был настолько убежден в своей неминуемой смерти, что не спал всю ночь, сочиняя письма своим друзьям-республиканцам и составляя то, что впоследствии станет его математическим завещанием, знаменитое письмо Огюсту Шевалье с изложением его идей и три прилагаемые рукописи. . Математик Герман Вейль сказал об этом завещании: «Это письмо, если судить по новизне и глубине содержащихся в нем идей, является, пожалуй, самым существенным произведением во всей литературе человечества». Однако легенда о Галуа, изливающем свои математические мысли на бумагу в ночь перед смертью, кажется преувеличенной. В этих заключительных статьях он обрисовал шероховатости некоторой работы, которую он проделал в области анализа, и аннотировал копию рукописи, представленную в Академию, и другие документы.

Мемориал Галуа на кладбище Бур-ла-Рейн . Эварист Галуа был похоронен в общей могиле, и точное местонахождение до сих пор неизвестно.

Рано утром 30 мая 1832 года он был ранен в живот , его бросили противники и его собственные секунданты, и его нашел проходивший мимо фермер. Он умер на следующее утро в десять часов в больнице Кочина (вероятно, от перитонита ) после отказа от услуг священника. Его похороны закончились беспорядками. Были планы поднять восстание во время его похорон, но в то же время лидеры узнали о смерти генерала Жана Максимилиана Ламарка , и восстание было отложено без какого-либо восстания до 5 июня . Только младший брат Галуа был уведомлен о событиях, предшествовавших смерти Галуа. Галуа было 20 лет. Его последними словами младшему брату Альфреду были:

«Ne pleure pas, Альфред!
(Не плачь, Альфред! Мне нужно все мое мужество, чтобы умереть в двадцать лет!)

2 июня Эварист Галуа был похоронен в братской могиле на кладбище Монпарнас , точное местонахождение которого неизвестно. На кладбище его родного города — Бур-ла-Рен — рядом с могилами его родственников поставлен кенотаф в его честь.

В 1843 году Жозеф Лиувилль просмотрел свою рукопись и признал ее достоверной. Наконец, он был опубликован в выпуске Journal de Mathématiques Pures et Appliquées за октябрь-ноябрь 1846 года . Самым известным вкладом этой рукописи было новое доказательство того, что не существует формулы пятой степени, то есть что уравнения пятой и более высокой степени, как правило, не могут быть решены в радикалах. Хотя Нильс Хенрик Абель уже доказал невозможность «формулы пятой степени» с помощью радикалов в 1824 году, а Паоло Руффини опубликовал решение в 1799 году, которое оказалось ошибочным, методы Галуа привели к более глубоким исследованиям того, что сейчас называется теорией Галуа. Например, с его помощью можно определить для любого полиномиального уравнения, имеет ли оно решение в радикалах.

Вклад в математику

Последняя страница математического завещания Галуа, собственноручно написанная им. Фраза «расшифровать всю эту кашу» («déchiffrer tout ce gâchis») стоит предпоследней строкой.

Из заключительных строк письма Галуа своему другу Огюсту Шевалье от 29 мая 1832 года, за два дня до смерти Галуа:

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espere, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение не об истинности, а о важности этих теорем. Позже, я надеюсь, найдутся люди, которым будет выгодно расшифровать весь этот беспорядок.)

На примерно 60 страницах собрания сочинений Галуа содержится много важных идей, имевших далеко идущие последствия почти для всех областей математики. Его работу сравнивают с работой Нильса Хенрика Абеля , другого математика, который умер в очень молодом возрасте, и большая часть их работ во многом пересекалась.

Алгебра

В то время как многие математики до Галуа рассматривали то, что сейчас известно как группы , именно Галуа был первым, кто использовал слово группа (по-французски groupe ) в смысле, близком к техническому смыслу, который понимается сегодня, что сделало его одним из основателей из раздела алгебры, известного как теория групп . Он разработал концепцию, известную сегодня как нормальная подгруппа . Он назвал разложение группы на ее левый и правый смежные классы собственным разложением , если левые и правые смежные классы совпадают, что сегодня известно как нормальная подгруппа. Он также ввел понятие конечного поля (также известного как поле Галуа в его честь) практически в той же форме, в которой оно понимается сегодня.

В своем последнем письме Шевалье и прилагаемых рукописях, втором из трех, он провел основные исследования линейных групп над конечными полями:

теория Галуа

Наиболее значительным вкладом Галуа в математику является его разработка теории Галуа. Он понял, что алгебраическое решение полиномиального уравнения связано со структурой группы перестановок , связанных с корнями многочлена, группы Галуа многочлена. Он обнаружил, что уравнение может быть решено в радикалах , если можно найти ряд подгрупп его группы Галуа, каждая из которых нормальна в своем преемнике с абелевым фактором, то есть его группа Галуа разрешима . Это оказалось плодотворным подходом, который позже математики адаптировали ко многим другим областям математики, помимо теории уравнений , к которой Галуа первоначально применил его.

Анализ

Галуа также внес некоторый вклад в теорию абелевых интегралов и непрерывных дробей .

Как написано в его последнем письме, Галуа перешел от изучения эллиптических функций к рассмотрению интегралов наиболее общих алгебраических дифференциалов, называемых сегодня абелевыми интегралами. Он разделил эти интегралы на три категории.

Непрерывные дроби

В своей первой статье 1828 года Галуа доказал, что правильная цепная дробь, представляющая квадратичное сурд ζ , является чисто периодической тогда и только тогда , когда ζ является редуцированным сурдом , то есть и его сопряженное удовлетворяет .

На самом деле Галуа показал больше, чем это. Он также доказал, что если ζ — редуцированное квадратичное сурд, а η — его сопряженное, то непрерывные дроби для ζ и для (−1/ η ) чисто периодические, и повторяющийся блок в одной из этих цепных дробей является зеркальным отображением повторяющегося блока в другом. В символах имеем

где ζ — любой редуцированный квадратичный сурд, а η — его сопряженное.

Из этих двух теорем Галуа можно вывести уже известный Лагранжу результат. Если r  > 1 — рациональное число, не являющееся полным квадратом, то

В частности, если n — любое неквадратное натуральное число, разложение регулярной цепной дроби √ n содержит повторяющийся блок длины m , в котором первые m  − 1 частичных знаменателей образуют палиндромную строку.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки