Группа - A-group

В математике , в области абстрактной алгебры, известной как теория групп , A-группа - это тип группы, который подобен абелевым группам . Группы были впервые изучены в 1940-х годах Филипом Холлом и изучаются до сих пор. Об их структуре известно очень много.

Определение

А-группа является конечной группой с тем свойством , что все ее подгруппы Силова являются абелева .

История

Термин A-группа, вероятно, впервые был использован в ( Hall 1940 , Sec. 9), где внимание было ограничено разрешимыми A-группами. Изложение Холла было довольно кратким без доказательств, но его замечания вскоре были дополнены доказательствами в ( Taunt 1949 ). Теория представлений A-групп изучалась в ( Itô, 1952 ). Затем Картер опубликовал важную взаимосвязь между подгруппами Картера и работой Холла в ( Carter 1962 ). Работы Холла, Таунта и Картера были представлены в виде учебника в ( Huppert 1967 ). Фокус на разрешимых A-группах расширился с классификацией конечных простых A-групп в ( Walter 1969 ), которая позволила обобщить работу Таунта на конечные группы в ( Broshi, 1971 ). Интерес к A-группам также расширился из-за важного отношения к разновидностям групп, обсуждаемых в ( Ol'šanski 1969 ). Современный интерес к A-группам возродился, когда новые методы перечисления позволили установить точные асимптотические границы для числа различных классов изоморфизма A-групп в ( Venkataraman 1997 ).

Свойства

Об А-группах можно сказать следующее:

• Каждая подгруппа , фактор-группа и прямое произведение A-групп являются A-группами.
• Каждая конечная абелева группа является A-группой.
• Конечная нильпотентная группа является A-группой тогда и только тогда, когда она абелева.
• Симметричная группа по трем точкам является А-группой , которая не является абелевой.
• Каждая группа порядка без куба является A-группой.
• Производная длина A-группы может быть сколь угодно большой, но не больше, чем число различных простых делителей порядка, указанного в ( Hall 1940 ) и представленного в учебной форме как ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.16). ).
• В нижних рядах нилъпотентные совпадают с производными сериями ( Hall 1940 ).
• У разрешимой A-группы есть единственная максимальная абелева нормальная подгруппа ( Hall 1940 ).
• Fitting подгруппа из решаемой А-группы равна прямому произведению центров с условиями полученных серий , впервые указанных в ( Hall 1940 ), а затем доказано в ( Taunt 1949 ), и представлены в виде учебника в ( Хупперта 1967 , кап. VI, Satz 14.8).
• Неабелева конечная простая группа является A-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна первой группе Янко или PSL (2, q ), где q > 3 и либо q = 2 ^n, либо q ≡ 3,5 mod 8 , как показано в ( Walter 1969 ).
• Все группы в многообразии, порожденном конечной группой, финитно аппроксимируемы тогда и только тогда, когда эта группа является A-группой, как показано в ( Ol'šanskiĭ 1969 ).
• Подобно Z-группам , силовские подгруппы которых циклические, A-группы легче изучать, чем общие конечные группы из-за ограничений на локальную структуру. Например, более точное перечисление разрешимых A-групп было найдено после перечисления разрешимых групп с фиксированными, но произвольными силовскими подгруппами ( Venkataraman 1997 ). Более неторопливое изложение дано в ( Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007 , Ch. 12).

Ссылки

• Блэкберн, Саймон Р .; Neumann, Peter M .; Венкатараман, Гита (2007), Перечисление конечных групп , Кембриджские трактаты по математике, № 173 (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC  154682311
• Броши, Aviad М. (1971), "Конечные группы, силовские подгруппы абелевых", журнал алгебры , 17 : 74-82, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (71) 90044-5 , ISSN  0021-8693 , МР  0269741
• Картер, Роджер В. (1962), «Нильпотентное самонормализуем подгруппы и системы нормализаторы», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 12 : 535-563, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-12.1.535 , MR  0140570
• Холл, Филип (1940), «Построение растворимых групп», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 206–214, ISSN  0075-4102 , MR  0002877
• Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, Руководство по ремонту  0224703 , OCLC  527050, особенно Кап. VI, §14, стр. 751–760
• Ито, Нобору (1952), «Заметка об А-группах» , Nagoya Mathematical Journal , 4 : 79–81, ISSN  0027-7630 , MR  0047656
• Ольшанский, А.Ю. (1969), «Многообразия финитно аппроксимируемых групп», Известия Академии Наук СССР. Серия математическая , 33 : 915–927, ISSN  0373-2436 , MR  0258927
• Таунт, Д. Р. (1949), "Об A-группах", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 45 : 24-42, Bibcode : 1949PCPS ... 45 ... 24T , DOI : 10,1017 / S0305004100000414 , MR  0027759
• Венкатараман, Гит (1997), "Перечисление конечных разрешимых групп с абелевыми силовскими подгруппами", Ежеквартальный журнал математика , Вторая серия, 48 (189): 107-125, DOI : 10,1093 / qmath / 48.1.107 , МР  1439702
• Вальтер, Джон Х. (1969), "Характеристика конечных групп с абелевых Силова 2-подгрупп.", Анналы математики , второй серии 89 (3): 405-514, DOI : 10,2307 / 1970648 , JSTOR  1970648 , М.Р.  0249504