Акустический импеданс - Acoustic impedance

Звуковые измерения
Характерная черта	Символы
Звуковое давление	p , SPL, L PA
Скорость частиц	v , SVL
Смещение частиц	δ
Интенсивность звука	I , SIL
Звуковая мощность	P , SWL, L WA
Звуковая энергия	W
Плотность звуковой энергии	ш
Звуковое воздействие	E , SEL
Акустический импеданс	Z
Частота звука	AF
Потеря передачи	TL
v т е

Акустический импеданс и удельный акустический импеданс - это меры сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления, приложенного к системе. В системе СИ единица акустического импеданса - паскаль-секунда на кубический метр ( Па · с / м ³ ), или в системе MKS - рейл на квадратный метр ( рейл / м ² ), а удельное акустическое сопротивление - паскаль-м3. секунда на метр ( Па · с / м ), или в системе MKS рейл. Существует близкая аналогия с электрическим импедансом , который измеряет сопротивление , которое система оказывает электрическому току, возникающему в результате приложения напряжения к системе.

Математические определения

Акустический импеданс

Для линейной системы, не зависящей от времени , соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей объемной скоростью акустического потока через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке его приложения, определяется следующим образом:

${\ Displaystyle р (т) = [р * Q] (т),}$

или, что эквивалентно

${\ Displaystyle Q (t) = [G * p] (t),}$

куда

• p - акустическое давление;
• Q - объемный акустический расход;
• ${\ displaystyle *}$- оператор свертки ;
• R - акустическое сопротивление во временной области ;
• G = R ^-1 - акустическая проводимость во временной области ( R ^-1 - свертка, обратная R ).

Акустический импеданс , обозначается Z , является преобразование Лапласа , или преобразование Фурье , или аналитическое представление о временной области акустического сопротивления:

${\ Displaystyle Z (s) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [R] (s) = {\ frac {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {{\ mathcal {L}} [Q] (s)}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [R] (\ omega) = {\ frac {{\ mathcal {F }} [p] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [Q] (\ omega)}},}$

${\ displaystyle Z (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} R _ {\ mathrm {a}} (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ left [p _ {\ mathrm {a}} * \ left (Q ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (t),}$

куда

• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ - оператор преобразования Лапласа;
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ - оператор преобразования Фурье;
• индекс «а» - оператор аналитического представления;
• Вопрос ^-1 является свертка обратного Q .

Акустическое сопротивление , обозначенное R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X , представляют собой действительную и мнимую части акустического импеданса соответственно:

${\ Displaystyle Z (s) = R (s) + iX (s),}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) = R (\ omega) + iX (\ omega),}$

${\ Displaystyle Z (т) = р (т) + iX (т),}$

куда

• i - мнимая единица ;
• в Z ( s ) R ( s ) не является преобразованием Лапласа акустического сопротивления R ( t ) во временной области , Z ( s ) равно;
• в Z ( ω ), R ( ω ) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( ω ) равно;
• в Z ( t ), R ( t ) - акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) - это преобразование Гильберта акустического сопротивления R ( t ) во временной области , согласно определению аналитического представления.

Индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X _L , и емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное X _C , являются положительной и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно:

${\ Displaystyle X (s) = X_ {L} (s) -X_ {C} (s),}$

${\ Displaystyle X (\ omega) = X_ {L} (\ omega) -X_ {C} (\ omega),}$

${\ Displaystyle X (t) = X_ {L} (t) -X_ {C} (t).}$

Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление акустической проводимости во временной области :

${\ Displaystyle Y (s) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [G] (s) = {\ frac {1} {Z (s) }} = {\ frac {{\ mathcal {L}} [Q] (s)} {{\ mathcal {L}} [p] (s)}},}$

${\ Displaystyle Y (\ omega) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [G] (\ omega) = {\ frac {1} {Z ( \ omega)}} = {\ frac {{\ mathcal {F}} [Q] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [p] (\ omega)}},}$

${\ Displaystyle Y (T) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} G _ {\ mathrm {a}} (t) = Z ^ {- 1} (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ Left [Q _ {\ mathrm {a}} * \ left (p ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (T), }$

куда

• Z ⁻¹ - свертка, обратная Z ;
• p ⁻¹ - свертка, обратная p .

Акустическая проводимость , обозначенная G , и акустическая восприимчивость , обозначенная B , представляют собой действительную и мнимую части акустической проводимости соответственно:

${\ Displaystyle Y (s) = G (s) + iB (s),}$

${\ Displaystyle Y (\ omega) = G (\ omega) + iB (\ omega),}$

${\ Displaystyle Y (t) = G (t) + iB (t),}$

куда

• в Y ( s ), G ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости G ( t ) во временной области , Y ( s ) есть;
• в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( ω ) есть;
• в Y ( t ), G ( t ) - это акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) - это преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G ( t ) в соответствии с определением аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет собой перенос энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа выполняется в среде перед волной; кроме того, он представляет давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает передачи средней энергии. Например, в закрытой колбе, соединенной с трубкой органа, будет поступать воздух и давление, но они не в фазе, поэтому в нее не передается полезная энергия. Когда давление повышается, воздух входит, а когда он падает, он движется наружу, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при его выходе, поэтому мощность течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии. передача. Другая электрическая аналогия - это конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не совпадает по фазе с напряжением, поэтому полезная мощность в него не передается.

Удельный акустический импеданс

Для линейной системы, не зависящей от времени , соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке его приложения определяется выражением

${\ Displaystyle п (т) = [г * в] (т),}$

или эквивалентно:

${\ Displaystyle v (т) = [г * р] (т),}$

куда

• p - акустическое давление;
• v - скорость частицы;
• r - удельное акустическое сопротивление во временной области ;
• g = r ^-1 - удельная акустическая проводимость во временной области ( r ^-1 - свертка, обратная r ).

Удельный акустический импеданс , обозначенный z, представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области :

${\ displaystyle z (s) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [r] (s) = {\ frac {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {{\ mathcal {L}} [v] (s)}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [r] (\ omega) = {\ frac {{\ mathcal {F }} [p] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [v] (\ omega)}},}$

${\ displaystyle z (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} r _ {\ mathrm {a}} (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ left [p _ {\ mathrm {a}} * \ left (v ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (t),}$

где v ⁻¹ - свертка, обратная к v .

Удельное акустическое сопротивление , обозначенное r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x , представляют собой действительную и мнимую части удельного акустического импеданса соответственно:

${\ Displaystyle Z (s) = r (s) + ix (s),}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) = r (\ omega) + ix (\ omega),}$

${\ Displaystyle г (т) = г (т) + ix (т),}$

куда

• в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( s ) равно;
• в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье удельного акустического сопротивления временной области r ( t ), z ( ω ) равно;
• в z ( t ), r ( t ) - удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) - это преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления r ( t ) во временной области в соответствии с определением аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x _L , и удельное емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначенное x _C , являются соответственно положительной и отрицательной частью удельного акустического реактивного сопротивления:

${\ Displaystyle х (s) = x_ {L} (s) -x_ {C} (s),}$

${\ Displaystyle х (\ omega) = x_ {L} (\ omega) -x_ {C} (\ omega),}$

${\ Displaystyle x (t) = x_ {L} (t) -x_ {C} (t).}$

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области :

${\ displaystyle y (s) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [g] (s) = {\ frac {1} {z (s) }} = {\ frac {{\ mathcal {L}} [v] (s)} {{\ mathcal {L}} [p] (s)}},}$

${\ displaystyle y (\ omega) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [g] (\ omega) = {\ frac {1} {z ( \ omega)}} = {\ frac {{\ mathcal {F}} [v] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [p] (\ omega)}},}$

${\ displaystyle y (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} g _ {\ mathrm {a}} (t) = z ^ {- 1} (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ Left [v _ {\ mathrm {a}} * \ left (p ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (T), }$

куда

• z ⁻¹ - свертка, обратная z ;
• p ⁻¹ - свертка, обратная p .

Удельная акустическая проводимость , обозначенная g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначенная b , являются действительной и мнимой частью удельной акустической проводимости соответственно:

${\ Displaystyle y (s) = g (s) + ib (s),}$

${\ Displaystyle у (\ омега) = г (\ омега) + ib (\ омега),}$

${\ Displaystyle у (т) = г (т) + ib (т),}$

куда

• в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( s ) равно;
• в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( ω ) есть;
• в y ( t ), g ( t ) - это акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) - это преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ) в соответствии с определением аналитического представления.

Удельный акустический импеданс z - это интенсивное свойство конкретной среды (например, можно указать z воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является обширным свойством конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом).

Отношение

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , объемный акустический расход Q представляет собой объем среды, проходящей через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , то объем проходящей среды равен d V = A d x , поэтому:

${\ displaystyle Q = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t}} = A {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = Av. }$

При условии, что волна только одномерная, она дает

${\ Displaystyle Z (s) = {\ гидроразрыва {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {{\ mathcal {L}} [Q] (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {A {\ mathcal {L}} [v] (s)}} = {\ frac {z (s)} {A}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega) = {\ frac {{\ mathcal {F}} [p] (\ omega)} {{\ mathcal {F}} [Q] (\ omega)}} = {\ frac { {\ mathcal {F}} [p] (\ omega)} {A {\ mathcal {F}} [v] (\ omega)}} = {\ frac {z (\ omega)} {A}},}$

${\ displaystyle Z (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ left [p _ {\ mathrm {a}} * \ left (Q ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a }} \ right] \! (t) = {\ frac {1} {2}} \! \ left [p _ {\ mathrm {a}} * \ left ({\ frac {v ^ {- 1}} { A}} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (T) = {\ frac {z (t)} {A}}.}$

Характеристический акустический импеданс

Характеристический удельный акустический импеданс

Основной закон недисперсной линейной акустики в одном измерении устанавливает связь между напряжением и деформацией:

${\ displaystyle p = - \ rho c ^ {2} {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial x}},}$

куда

• p - акустическое давление в среде;
• ρ - объемная массовая плотность среды;
• c - скорость распространения звуковых волн в среде;
• δ - смещение частицы ;
• x - пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В

• жидкости , ρc ² = K ( K означает объемный модуль );
• твердых тел , ρc ² = K + 4/3 G ( G означает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc ² = G для поперечных волн .

Второй закон Ньютона, применяемый локально в среде, дает:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}.}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial x ^ {2}}}.}$

В плоские волны

${\ Displaystyle \ дельта (\ mathbf {г}, \, т) = \ дельта (х, \, т)}$

которые являются решениями этого волнового уравнения, состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн, движущихся вдоль x с одинаковой скоростью и противоположными путями :

${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r}, \, t) = f (x-ct) + g (x + ct)}$

из которого может быть получено

${\ Displaystyle v (\ mathbf {r}, \, t) = {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial t}} (\ mathbf {r}, \, t) = - с {\ big [} f '(x-ct) -g' (x + ct) {\ big]},}$

${\ displaystyle p (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial x}} (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} {\ big [} f '(x-ct) + g' (x + ct) {\ big]}.}$

Для прогрессивных плоских волн:

${\ displaystyle {\ begin {case} p (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} \, f '(x-ct) \\ v (\ mathbf {r}, \ , t) = - c \, f '(x-ct) \ end {case}}}$

или

${\ displaystyle {\ begin {case} p (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} \, g '(x + ct) \\ v (\ mathbf {r}, \ , t) = c \, g '(x + ct). \ end {case}}}$

Наконец, удельный акустический импеданс z равен

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r}, \, s) = {\ frac {{\ mathcal {L}} [p] (\ mathbf {r}, \, s)} {{\ mathcal {L}} [v] (\ mathbf {r}, \, s)}} = \ pm \ rho c,}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r}, \, \ omega) = {\ frac {{\ mathcal {F}} [p] (\ mathbf {r}, \, \ omega)} {{\ mathcal {F }} [v] (\ mathbf {r}, \, \ omega)}} = \ pm \ rho c,}$

${\ displaystyle z (\ mathbf {r}, \, t) = {\ frac {1} {2}} \! \ left [p _ {\ mathrm {a}} * \ left (v ^ {- 1} \ right) _ {\ mathrm {a}} \ right] \! (\ mathbf {r}, \, t) = \ pm \ rho c.}$

Абсолютное значение этого специфического акустического импеданса часто называют характеристику конкретных акустическим импедансом и обозначаются г ₀ :

${\ displaystyle z_ {0} = \ rho c.}$

Уравнения также показывают, что

${\ displaystyle {\ frac {p (\ mathbf {r}, \, t)} {v (\ mathbf {r}, \, t)}} = \ pm \ rho c = \ pm z_ {0}.}$

Влияние температуры

Температура влияет на скорость звука и массовую плотность и, следовательно, на удельный акустический импеданс.

Влияние температуры на свойства воздуха

Температура, T ( ° C )	Скорость звука, ц ( м / с )	Плотность воздуха, ρ ( кг / м 3 )	Характеристический удельный акустический импеданс, z 0 ( Па · с / м )
35 год	351,88	1,1455	403,2
30	349,02	1,1644	406,5
25	346,13	1,1839	409,4
20	343,21	1,2041	413,3
15	340,27	1,2250	416,9
10	337,31	1,2466	420,5
5	334,32	1,2690	424,3
0	331,30	1,2922	428,0
−5	328,25	1,3163	432,1
−10	325,18	1,3413	436,1
−15	322,07	1,3673	440,3
−20	318,94	1,3943	444,6
−25	315,77	1,4224	449,1

Характеристический акустический импеданс

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессивной плоской волной, то:

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r}, \, s) = \ pm {\ frac {\ rho c} {A}},}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r}, \, \ omega) = \ pm {\ frac {\ rho c} {A}},}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r}, \, t) = \ pm {\ frac {\ rho c} {A}}.}$

Абсолютное значение этого акустического импеданса часто называют характеристикой акустического импеданса и обозначается Z ₀ :

${\ displaystyle Z_ {0} = {\ frac {\ rho c} {A}}.}$

а характеристический удельный акустический импеданс равен

${\ displaystyle {\ frac {p (\ mathbf {r}, \, t)} {Q (\ mathbf {r}, \, t)}} = \ pm {\ frac {\ rho c} {A}} = \ pm Z_ {0}.}$

Если отверстие с площадью A является началом трубы и в трубу направляется плоская волна, волна, проходящая через отверстие, будет прогрессивной плоской волной при отсутствии отражений, и обычно отражения от другого конца трубы. , открытые или закрытые, представляют собой сумму волн, проходящих от одного конца до другого. (Возможно отсутствие отражений, когда труба очень длинная, из-за длительного времени, необходимого для возврата отраженных волн, и их затухания за счет потерь на стенке трубы.) Такие отражения и возникающие стоячие волны очень важны для конструкция и эксплуатация музыкальных духовых инструментов.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

• Что такое акустический импеданс и почему это важно?
• Волновое уравнение для звука