Теорема сложения - Addition theorem

В математике , теорема сложения формула , такая как , что для экспоненциальной функции :

е х  +  у = е х  ·  е у ,

который выражает для конкретной функции f , f ( x  +  y ) через f ( x ) и f ( y ). В более общем плане, как в случае с тригонометрическими функциями sin и cos , могут быть задействованы несколько функций; это более очевидно , чем реальной, в этом случае, поскольку соз является алгебраической функцией от греха (другими словами, мы обычно их функции и определены на единичной окружности ).

Объем идеи теоремы сложения был полностью исследован в девятнадцатом веке, чему способствовало открытие теоремы сложения для эллиптических функций . Чтобы «классифицировать» теоремы сложения, необходимо наложить некоторые ограничения на тип допускаемой функции G , такие, что

F ( x  + 'y ) = G ( F ( x ), F ( y )).

В этом тождестве можно считать, что F и G векторнозначны (имеют несколько компонент). Теорема алгебраического сложения является один , в котором G может быть принят вектором многочленов , в некотором множестве переменных. Математики того времени пришли к выводу, что теория абелевых функций по существу исчерпала интересные возможности: если рассматривать ее как функциональное уравнение, которое нужно решать с помощью многочленов, или, действительно, рациональных функций или алгебраических функций , то никаких других типов решений не существовало.

На более современном языке это появляется как часть теории алгебраических групп , имеющая дело с коммутативными группами. Примеры связного проективного многообразия действительно исчерпываются абелевыми функциями, как показывает ряд результатов, характеризующих абелево многообразие довольно слабыми условиями на его групповой закон. Известно, что так называемые квазиабелевы функции являются результатом расширений абелевых многообразий коммутативными многообразиями аффинных групп. Таким образом, можно сказать, что старые выводы относительно области применения глобальных алгебраических теорем сложения верны. Более современный аспект - теория формальных групп .

Смотрите также

использованная литература

  • "Теоремы сложения в теории специальных функций" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]