Аддитивная функция - Additive function

В теории чисел ,аддитивная функция является арифметическая функция F ( п ) положительного целого числа переменной п таким образом, что всякий раз , когда и Ь являются взаимно просты , то функция применяется к продукту AB является суммой значений функции применяются к и б :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Полностью аддитивный

Аддитивная функция f ( n ) называется полностью аддитивной, если f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) выполняется для всех положительных целых чисел a и b , даже если они не взаимно просты. Полностью аддитивная также используется в этом смысле по аналогии с полностью мультипликативными функциями. Если f - полностью аддитивная функция, то f (1) = 0.

Каждая полностью аддитивная функция аддитивна, но не наоборот.

Примеры

Примеры полностью аддитивных арифметических функций:

• Ограничение логарифмической функции на N .
• Кратность из простого множителя р в п , что является самым большим показателем т , для которых р ^м делит п .
• a ₀ ( n ) - сумма простых чисел, делящих n, считая кратность, иногда называемую sopfr ( n ), степенью n или целым логарифмом n (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

а ₀ (4) = 2 + 2 = 4

а ₀ (20) = а ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

а ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

а ₀ (144) = а ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

а ₀ (2000) = а ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

а ₀ (2003 г.) = 2003 г.

а ₀ (54 032 858 972 279) = 1240658

а ₀ (54 032 858 972 302) = 1780417

а ₀ (20 802 650 704 327 415) = 1240681

• Функция Ω ( п ), определяется как общее число простых множителей в п , подсчет множество факторов несколько раз, иногда называют «Большой функцией Омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω (1) = 0, поскольку 1 не имеет простых делителей

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ом (2001) = 3

Ом (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ом (54 032 858 972 279) = 3

Ом (54 032 858 972 302) = 6

Ом (20,802,650,704,327,415) = 7

Примеры аддитивных, но не полностью аддитивных арифметических функций:

• ω ( п ), определяется как общее число различных простых множителей из п (последовательность A001221 в OEIS ). Например:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54 032 858 972 279) = 3

ω (54 032 858 972 302) = 5

ω (20,802,650,704,327,415) = 5

• a ₁ ( n ) - сумма различных простых чисел, делящих n , иногда называемая sopf ( n ) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

а ₁ (1) = 0

а ₁ (4) = 2

а ₁ (20) = 2 + 5 = 7

а ₁ (27) = 3

а ₁ (144) = а ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₁ (2 ⁴ ) + а ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

а ₁ (2001) = 55

а ₁ (2002) = 33

а ₁ (2003 г.) = 2003 г.

а ₁ (54 032 858 972 279) = 1238665

а ₁ (54 032 858 972 302) = 1780 410

а ₁ (20 802 650 704 327 415) = 1238677

Мультипликативные функции

Из любой аддитивной функции f ( n ) легко создать связанную мультипликативную функцию g ( n ), то есть со свойством, что всякий раз, когда a и b взаимно просты, мы имеем:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Одним из таких примеров является g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Сумматорные функции

Для аддитивной функции пусть ее суммирующая функция определяется как . Среднее значение дается точно как ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha}}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

Сумматорные функции могут быть расширены как где ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} E (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) p ^ {- \ alpha} (1-p ^ {-1}) \\ D ^ {2} (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} | f (p ^ {\ alpha}) | ^ {2} p ^ {- \ альфа}. \ конец {выровнено}}}$

Среднее значение функции также выражается этими функциями как ${\ displaystyle f ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Существует всегда абсолютная константа , что для всех натуральных чисел , ${\ displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ Displaystyle х \ geq 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} \ leq C_ {f} \ cdot xD ^ {2} (x).}$

Позволять

${\ displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \ # \! \ left \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Предположим, что это аддитивная функция с такой, что как , ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle -1 \ Leq е (п ^ {\ альфа}) = е (р) \ Leq 1}$${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f ^ {2} (p) / p \ rightarrow \ infty.}$

Тогда где - функция распределения Гаусса${\ Displaystyle \ ню (х; г) \ сим G (г)}$${\ Displaystyle G (z)}$

${\ displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt. }$

Примеры этого результата, относящиеся к простой омега-функции и числам простых делителей сдвинутых простых чисел, включают следующие для фиксированного, где соотношения выполняются для : ${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle х \ gg 1}$

${\ Displaystyle \ # \ {п \ leq x: \ omega (n) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ Displaystyle \ # \ {p \ Leq x: \ omega (p + 1) - \ log \ log x \ Leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Смотрите также

• Аддитивность сигмы
• Основная функция омега
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция

использованная литература

дальнейшее чтение