Диск Эйри - Airy disk

Компьютерное изображение диска Эйри. В оттенках серые интенсивностей были скорректированы для повышения яркости внешних колец узора Эри.
Компьютерный диск Эйри из дифрагированного белого света ( спектр D65 ). Обратите внимание, что красный компонент дифрагирует больше, чем синий, поэтому центр выглядит слегка голубоватым.
Настоящий диск Эйри, созданный путем прохождения красного лазерного луча через отверстие с микроотверстиями диаметром 90 микрометров с дифракцией 27 порядков.
Диск Эйри запечатлен объективом камеры 2000 мм при диафрагме f / 25. Размер изображения: 1 × 1 мм.

В оптике , то диск Эйри (или Эйри диск ) и Эйри модели являются описания Best- сфокусированного пятна от света , что идеальный объектив с круглым отверстием можно сделать, ограничиваемые дифракции света. Диск Эйри имеет важное значение в физике , оптике и астрономии .

Дифракционная картина, полученная в результате равномерно освещенной круглой апертуры, имеет яркую центральную область , известную как диск Эйри, которая вместе с серией концентрических колец вокруг называется картиной Эйри. Оба названы в честь Джорджа Бидделла Эйри . Феномен диска и колец был известен еще до Эйри; Джон Гершель описал появление яркой звезды, видимой в телескоп при большом увеличении, для статьи 1828 года о свете для Encyclopedia Metropolitana :

... тогда звезда рассматривается (при благоприятных условиях спокойной атмосферы, постоянной температуры и т. д.) как идеально круглый, четко очерченный планетный диск, окруженный двумя, тремя или более попеременно темными и яркими кольцами, которые, если при внимательном рассмотрении видны слегка окрашенные по краям. Они следуют друг за другом почти через равные промежутки времени вокруг центрального диска ...

Эйри написал первую полную теоретическую трактовку, объясняющую это явление (его 1835 г. «О дифракции на предметном стекле с круглой апертурой»).

Математически дифракционная картина характеризуется длиной волны света, освещающего круглую апертуру, и размером апертуры. Внешний вид дифракционной картины дополнительно характеризуется чувствительностью глаза или другого детектора, используемого для наблюдения картины.

Наиболее важное применение этой концепции - камеры , микроскопы и телескопы. Из-за дифракции наименьшая точка, в которую линза или зеркало может сфокусировать луч света, имеет размер диска Эйри. Даже если бы можно было сделать идеальный объектив, все равно есть предел разрешающей способности изображения, создаваемого таким объективом. Оптическая система, в которой разрешение больше не ограничивается дефектами линз, а только дифракцией, называется дифракционно ограниченной .

Размер

Вдали от апертуры угол, под которым возникает первый минимум, отсчитываемый от направления падающего света, определяется по приблизительной формуле:

или, для малых углов, просто

где θ в радианах, λ - длина волны света в метрах, а d - диаметр апертуры в метрах. Эйри написал это как

где s был углом первого минимума в дуговых секундах, a был радиусом апертуры в дюймах, а длина волны света была принята равной 0,000022 дюйма (560 нм; среднее значение видимых длин волн). Это равно угловому разрешению круглой апертуры. Критерий Рэлея для решения едва два объектов , которые являются точечными источниками света, таких как звезды видели через телескоп, является то , что центр диска Эйри для первого объекта происходит при первом минимуме диска Эри второй. Это означает, что угловое разрешение системы с дифракционным ограничением определяется теми же формулами.

Однако, хотя угол, под которым возникает первый минимум (который иногда называют радиусом диска Эйри), зависит только от длины волны и размера апертуры, внешний вид дифракционной картины будет варьироваться в зависимости от интенсивности (яркости) источника света. . Поскольку любой детектор (глазной, пленочный, цифровой), используемый для наблюдения дифракционной картины, может иметь пороговое значение интенсивности для обнаружения, полная дифракционная картина может быть не видна. В астрономии внешние кольца часто не видны даже на сильно увеличенном изображении звезды. Возможно, ни одно из колец не видно, и в этом случае изображение звезды выглядит как диск (только центральный максимум), а не как полная дифракционная картина. Более того, более слабые звезды будут выглядеть как диски меньшего размера, чем более яркие звезды, потому что меньшая часть их центрального максимума достигает порога обнаружения. Хотя теоретически все звезды или другие "точечные источники" с заданной длиной волны и наблюдаемые через заданную апертуру имеют одинаковый радиус диска Эйри, описываемый приведенным выше уравнением (и одинаковый размер дифракционной картины), различающийся только по интенсивности, внешний вид выглядит следующим образом: более слабые источники отображаются как диски меньшего размера, а более яркие источники - как диски большего размера. Это было описано Эйри в его оригинальной работе:

Быстрое уменьшение света в следующих друг за другом кольцах в достаточной мере объясняет видимость двух или трех колец с очень яркой звездой и невидимость колец со слабой звездой. Разница диаметров центральных пятен (или ложных дисков) разных звезд ... также полностью объяснена. Таким образом, радиус ложного диска слабой звезды, где свет менее половины интенсивности центрального света не производит впечатления на глаз, определяется как [ s = 1,17 / a ], тогда как радиус ложного диска яркая звезда, где ощущается свет 1/10 интенсивности центрального света, определяется как [ s = 1,97 / a ].

Несмотря на эту особенность работы Эйри, радиус диска Эйри часто задается просто как угол первого минимума даже в стандартных учебниках. На самом деле угол первого минимума является предельным значением для размера диска Эйри, а не определенным радиусом.

Примеры

Логарифмический график зависимости диаметра апертуры от углового разрешения на дифракционном пределе для различных длин волн света по сравнению с различными астрономическими инструментами. Например, синяя звезда показывает, что космический телескоп Хаббл практически ограничен дифракцией в видимом спектре на 0,1 угловой секунды, тогда как красный кружок показывает, что человеческий глаз теоретически должен иметь разрешающую способность 20 угловых секунд, хотя зрение 20/20 разрешается только до 60 угловых секунд (1 угловая минута)

Камеры

Если два объекта, отображаемых камерой, разделены достаточно маленьким углом, чтобы их диски Эйри на детекторе камеры начали перекрываться, объекты больше не могут быть четко разделены на изображении, и они начинают размываться вместе. Два объекта считаются разрешенными, когда максимум первого паттерна Эйри попадает поверх первого минимума второго паттерна Эйри ( критерий Рэлея ).

Следовательно, наименьшее угловое разделение двух объектов, которое может иметь место до того, как они существенно размываются вместе, определяется, как указано выше, выражением

Таким образом, способность системы разрешать детали ограничена отношением λ / d . Чем больше апертура для данной длины волны, тем мельчайшие детали можно различить на изображении.

Это также можно выразить как

где - разделение изображений двух объектов на пленке, а - расстояние от линзы до пленки. Если принять расстояние от линзы до пленки примерно равным фокусному расстоянию линзы, находим

но это диафрагменное число объектива. Типичная настройка для использования в пасмурный день - f / 8 (см. Правило Sunny 16 ). Для фиолетового 380-450 нм, самого коротковолнового видимого света, длина волны λ составляет около 420 нанометров (см. Конические ячейки для определения чувствительности S-конических ячеек). Это дает значение около 4 мкм. В цифровой камере уменьшение пикселей датчика изображения меньше половины этого значения (один пиксель для каждого объекта, по одному для каждого промежутка между ними) не приведет к значительному увеличению разрешения захваченного изображения . Однако это может улучшить окончательное изображение за счет передискретизации, что позволит снизить уровень шума.

Человеческий глаз

Продольные сечения сфокусированного луча с отрицательной (вверху), нулевой (в центре) и положительной сферической аберрацией (внизу). Объектив слева.

Самое быстрое f-число для человеческого глаза составляет около 2,1, что соответствует функции рассеяния точки с ограничением дифракции с диаметром приблизительно 1 мкм. Однако при этом значении f сферическая аберрация ограничивает остроту зрения, а диаметр зрачка 3 мм (f / 5,7) приближается к разрешению, достигаемому человеческим глазом. Максимальная плотность колбочек в ямке человека составляет приблизительно 170 000 на квадратный миллиметр, что означает, что расстояние между конусами в человеческом глазу составляет около 2,5 мкм, что приблизительно равно диаметру функции рассеяния точки при f / 5.

Сфокусированный лазерный луч

Круговой лазерный луч с равномерной интенсивностью поперек круга (луч с плоским верхом), сфокусированный линзой, образует в фокусе узор диска Эйри. Размер диска Эйри определяет интенсивность лазера в фокусе.

Прицельный прицел

Некоторые прицелы для прицеливания оружия (например, FN FNC ) требуют, чтобы пользователь выровнял визир (задний, ближний прицел, т.е. который будет не в фокусе) с наконечником (который должен быть сфокусирован и наложен на цель) в конце бочка. Глядя через визир, пользователь заметит диск Эйри, который поможет центрировать прицел над штифтом.

Условия наблюдения

Свет от равномерно освещенной круглой апертуры (или от равномерного плоского луча) будет демонстрировать дифракционную картину Эйри вдали от апертуры из-за дифракции Фраунгофера ( дифракции в дальней зоне ).

Условия для нахождения в дальнем поле и проявления паттерна Эйри следующие: падающий свет, освещающий апертуру, представляет собой плоскую волну (без изменения фазы в апертуре), интенсивность постоянна по площади апертуры и расстояние от апертуры апертура, на которой наблюдается дифрагированный свет (расстояние до экрана), велика по сравнению с размером апертуры, а радиус апертуры не намного больше, чем длина волны света. Последние два условия формально можно записать как .

На практике условия равномерного освещения могут быть выполнены, если источник освещения находится далеко от апертуры. Если условия для дальнего поля не выполняются (например, если диафрагма большая), дифракционная картина Эйри в дальней зоне также может быть получена на экране, гораздо более близком к диафрагме, с помощью линзы сразу после диафрагмы (или линзы сам может формировать проем). В этом случае узор Эйри будет сформирован в фокусе линзы, а не на бесконечности.

Следовательно, фокусное пятно однородного кругового лазерного луча (плоского луча), сфокусированного линзой, также будет узором Эйри.

В камере или системе формирования изображения объект, находящийся на большом расстоянии, отображается линзой объектива на пленку или плоскость детектора, и на детекторе наблюдается дифракционная картина в дальней зоне. Результирующее изображение представляет собой свертку идеального изображения с дифракционной картиной Эйри из-за дифракции на диафрагме или из-за конечного размера линзы. Это приводит к конечному разрешению системы линз, описанной выше.

Математическая формулировка

Дифракция на круглом отверстии. Образец Эйри наблюдается, когда (т. Е. В дальней зоне)
Дифракция на диафрагме с линзой. Изображение в дальней зоне будет (только) сформировано на экране на расстоянии одного фокусного расстояния, где R = f (f = фокусное расстояние). Угол обзора остается таким же, как и в безлинзовом корпусе.

Интенсивность рисунка Эри следует дифракции Фраунгофера картину круговой апертуры, задаваемой квадрата модуля преобразования Фурье круговой апертуры:

где - максимальная интенсивность рисунка в центре диска Эйри, - функция Бесселя первого рода первого порядка, - волновое число, - радиус апертуры, - угол наблюдения, т. е. угол между осями круглой апертуры и линии между центром апертуры и точкой наблюдения. , где q - радиальное расстояние от точки наблюдения до оптической оси, R - ее расстояние до апертуры. Обратите внимание, что диск Эйри, как это дано вышеупомянутым выражением, действителен только для больших R , где применяется дифракция Фраунгофера ; Расчет тени в ближней зоне должен производиться с помощью дифракции Френеля .

Однако точный узор Эйри действительно появляется на конечном расстоянии, если линза помещена в диафрагму. Тогда паттерн Эйри будет идеально сфокусирован на расстоянии, определяемом фокусным расстоянием объектива (при условии, что на апертуру падает коллимированный свет), определяемым приведенными выше уравнениями.

Нули в . Из этого следует, что первое темное кольцо на дифракционной картине возникает там , где , или

.

Если линза используется для фокусировки рисунка Эйри на конечном расстоянии, тогда радиус первого темного кольца на фокальной плоскости определяется исключительно числовой апертурой A (тесно связанной с числом f ) выражением

где числовая апертура A равна радиусу апертуры d / 2, деленному на R ', расстояние от центра рисунка Эйри до края апертуры. Если рассматривать апертуру радиуса d / 2 и объектив как камеру (см. Диаграмму выше), проецирующую изображение на фокальную плоскость на расстоянии f , числовая апертура A связана с часто упоминаемым f-числом N = f / d (отношение фокусного расстояния к диаметру линзы) по ; для N >> 1 это просто аппроксимируется как . Это показывает, что наилучшее возможное разрешение изображения камеры ограничено числовой апертурой (и, следовательно, числом f) ее линзы из-за дифракции .

Половина максимума центрального диска Эйри (где ) находится в точке ; точка 1 / e 2 (где ) находится в точке , а максимум первого кольца находится в точке .

Интенсивность в центре дифракционной картины связана с полной мощностью, падающей на апертуру, соотношением

где - мощность источника на единицу площади апертуры, A - площадь апертуры ( ), а R - расстояние от апертуры. В фокальной плоскости линзы . Интенсивность в максимуме первого кольца составляет около 1,75% от интенсивности в центре диска Эйри.

Выражение выше можно проинтегрировать, чтобы получить полную мощность, содержащуюся в дифракционной картине внутри круга заданного размера:

где и - функции Бесселя . Следовательно, доли общей мощности, содержащиеся в первом, втором и третьем темных кольцах (где ), составляют 83,8%, 91,0% и 93,8% соответственно.

Паттерн Эйри на интервале ka sin θ  = [−10, 10]
Обведенная мощность отображается на графике рядом с интенсивностью.

Аппроксимация с использованием гауссова профиля

Радиальное сечение картины Эйри (сплошная кривая) и ее аппроксимация гауссова профиля (пунктирная кривая). Абсцисса дана в единицах длины волны, умноженной на f-число оптической системы.

Паттерн Эйри довольно медленно спадает до нуля с увеличением расстояния от центра, при этом внешние кольца содержат значительную часть интегральной интенсивности паттерна. В результате, корень средний квадрат (RMS) spotsize не определен (т.е. бесконечно). Альтернативной мерой размера пятна является игнорирование относительно небольших внешних колец паттерна Эйри и аппроксимация центрального лепестка гауссовым профилем, так что

где - энергетическая освещенность в центре рисунка, представляет собой радиальное расстояние от центра рисунка и является среднеквадратичной шириной по Гауссу (в одном измерении). Если мы приравняем пиковую амплитуду паттерна Эйри и гауссовского профиля, то есть , и найдем значение, дающее оптимальное приближение к паттерну, мы получим

где N - f-число . Если, с другой стороны, мы хотим добиться того, чтобы профиль Гаусса имел тот же объем, что и шаблон Эйри, тогда это становится

В теории оптических аберраций обычно описывают систему формирования изображений как ограниченную дифракцией, если радиус диска Эйри больше, чем среднеквадратичный размер пятна, определенный из геометрической трассировки лучей (см. Конструкция оптических линз ). Приближение гауссова профиля обеспечивает альтернативный способ сравнения: использование приведенного выше приближения показывает, что гауссова перетяжка гауссова приближения к диску Эйри составляет около одной трети радиуса диска Эйри, т. Е. В противоположность .

Затуманенный воздушный узор

Подобные уравнения также могут быть получены для затемненной дифракционной картины Эйри, которая является дифракционной картиной от кольцевой апертуры или луча, то есть однородной круглой апертуры (луча), закрытой круглым блоком в центре. Эта ситуация актуальна для многих конструкций телескопов общих отражателей , которые включают вторичное зеркало, в том числе ньютоновских телескопов и Шмидт-Кассегрены телескопами .

где - коэффициент затемнения кольцевой апертуры, или отношение диаметра загораживающего диска к диаметру апертуры (луча). , а x определяется, как указано выше: где - радиальное расстояние в фокальной плоскости от оптической оси, - длина волны и - f-число системы. Дробная окруженная энергия (доля полной энергии, содержащейся в круге радиуса с центром на оптической оси в фокальной плоскости) тогда определяется как:

Для формул уменьшите до незатененных версий выше.

Практический эффект наличия центрального препятствия в телескопе состоит в том, что центральный диск становится немного меньше, а первое яркое кольцо становится ярче за счет центрального диска. Это становится более проблематичным при использовании телескопов с коротким фокусным расстоянием, которым требуются вторичные зеркала большего размера.

Сравнение с фокусом гауссова луча

Круговой лазерный луч с равномерным профилем интенсивности, сфокусированный линзой, будет формировать узор Эйри в фокальной плоскости линзы. Интенсивность в центре фокуса будет равна, где - общая мощность луча, - площадь луча ( - диаметр луча), - длина волны, - это фокусное расстояние линзы.

Гауссов пучок диаметром D, сфокусированный через апертуру диаметром D, будет иметь профиль фокуса, близкий к гауссову, а интенсивность в центре фокуса будет составлять 0,924 раза .

Смотрите также

Примечания и ссылки

внешние ссылки