Аполлоний Пергский - Apollonius of Perga

В конических сечений , или двумерные фигуры , образованный пересечением плоскости с конусом под разными углами. Теория этих фигур была широко развита древнегреческими математиками, особенно сохранившись в таких работах, как работы Аполлония Пергского. Конические секции пронизывают современную математику.

Аполлоний Пергский ( греч . Ἀπολλώνιος ὁ εργαῖος ; лат . Apollonius Pergaeus ; ок.  240 г. до н.э.  - ок.  190 г. до н.э. ) был древнегреческим геометром и астрономом, известным своими работами по коническим сечениям . Начиная с работ Евклида и Архимеда по этой теме, он довел их до состояния, предшествовавшего изобретению аналитической геометрии . Его определения терминов эллипс , парабола и гипербола используются сегодня. Готфрид Вильгельм Лейбниц заявил: «Тот, кто понимает Архимеда и Аполлония, будет меньше восхищаться достижениями выдающихся людей более поздних времен».

Аполлоний работал над множеством других тем, включая астрономию. Большая часть этой работы не сохранилась, за исключением, как правило, фрагментов, на которые ссылаются другие авторы. Его гипотеза об эксцентрических орбитах для объяснения явно аберрантного движения планет , обычно считавшаяся до средневековья , была отвергнута в эпоху Возрождения . Кратер Аполлония на Луне назван в его честь.

Жизнь

Для такого важного сотрудника в области математики остается скудная биографическая информация. Греческий комментатор VI века Евтокий из Аскалона по главному произведению Аполлония, Конику , утверждает:

Геометрический Аполлоний ... прибыл из Перги в Памфилии во времена Птолемея Эвергета, так пишет Гераклей, биограф Архимеда ...

Перга в то время была эллинизированным городом Памфилии в Анатолии . Руины города еще стоят. Это был центр эллинистической культуры. Эвергет, «благодетель», отождествляет Птолемея III Эвергета , третьего греческого династа Египта в преемственности диадохов. Предположительно, его «времена» - это его царствование, 246–222 / 221 гг. До н. Э. Времена всегда записываются правителем или действующим магистратом, так что, если бы Аполлоний родился раньше 246 г., это были бы «времена» отца Эвергета. Личность Гераклея неясна. Таким образом, приблизительные времена Аполлония известны, но точные даты не могут быть названы. Цифры «Удельные годы рождения и смерти», указанные различными учеными, являются лишь предположениями.

Евтокий связывает Пергу с династией Птолемеев в Египте. Никогда не находившаяся под Египтом, Перга в 246 г. до н.э. принадлежала империи Селевкидов , независимому государству диадохов, управляемым династией Селевкидов. В течение последней половины 3-го века до нашей эры Перга несколько раз переходила из рук в руки, находясь то под властью Селевкидов, то под царством Пергама на севере, управляемым династией Атталидов . Можно было ожидать, что кто-то, названный «из Перги», жил и работал там. Напротив, если позже Аполлоний был отождествлен с Пергой, то не на основании его места жительства. Из оставшихся автобиографических материалов следует, что он жил, учился и писал в Александрии.

Письмо греческого математика и астронома Гипсикла изначально было частью приложения, взятого из книги XIV Евклида, входящей в тринадцать книг Евклида «Элементы».

Василид Тирский , о Протарх, когда он прибыл в Александрию и встретил моего отца, большую часть своего пребывания провел с ним из-за связи между ними из-за их общего интереса к математике. И однажды, глядя на трактат Аполлония о сравнении додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, то есть на вопрос, какое отношение они имеют друг к другу, они пришли к выводу: что Аполлоний трактовал это в этой книге неправильно; соответственно, как я понял от отца, они приступили к его исправлению и переписыванию. Но я сам впоследствии наткнулся на другую книгу, опубликованную Аполлонием, содержащую демонстрацию рассматриваемого вопроса, и меня очень привлекло его исследование этой проблемы. Теперь книга, изданная Аполлонием, доступна всем; поскольку он имеет большое распространение в форме, которая, кажется, была результатом более поздней тщательной разработки. Со своей стороны, я решил посвятить вам то, что считаю необходимым, в виде комментария, отчасти потому, что вы сможете, благодаря своим знаниям во всех областях математики и особенно в геометрии, вынести экспертное суждение о том, кто я такой. собираюсь написать, и отчасти потому, что из-за вашей близости с моим отцом и вашего дружеского отношения ко мне вы окажете любезное внимание моему исследованию. Но пора закончить с преамбулой и начать собственно трактат.

Времена Аполлония

Аполлоний жил ближе к концу исторического периода, который теперь называется эллинистическим периодом , характеризовавшимся наложением эллинской культуры на обширные неэллинские регионы на разную глубину, радикальным в одних местах и ​​почти совсем не в других. Изменения были инициированы Филиппом II Македонским и его сыном Александром Великим , которые, покорив всю Грецию в серии ошеломляющих побед, продолжили покорение Персидской империи , которая управляла территориями от Египта до Пакистана. Филипп был убит в 336 году до нашей эры. Александр продолжил выполнение своего плана, завоевав обширную Персидскую империю.

Краткая автобиография Аполлония

Материал находится в сохранившихся фальшивых «Предисловиях» к книгам его Коников. Это письма, доставленные влиятельным друзьям Аполлония с просьбой просмотреть книгу, приложенную к письму. Предисловие к Книге I, адресованное некоему Евдему, напоминает ему, что Коникс был первоначально запрошен гостем дома в Александрии, геометром, Навкратом, иначе неизвестным истории. К концу визита у Навкрата был первый черновик всех восьми книг. Аполлоний называет их «без полного очищения» ( ou diakatharantes по-гречески, ea non perpurgaremus по-латыни). Он намеревался проверить и исправить книги, выпуская каждую по мере ее завершения.

Услышав об этом плане от самого Аполлония во время последующего визита последнего в Пергам, Евдем настоял на том, чтобы Аполлоний послал ему каждую книгу перед выпуском. Обстоятельства предполагают, что на этом этапе Аполлоний был молодым геометром, ищущим компанию и совет опытных профессионалов. Папп утверждает, что он был с учениками Евклида в Александрии. Евклида давно не было. Это пребывание было, возможно, заключительным этапом обучения Аполлония. Евдем, возможно, был высокопоставленной фигурой в своем более раннем образовании в Пергаме; в любом случае есть основания полагать, что он был или стал руководителем Библиотечно-исследовательского центра ( музея ) Пергама. Аполлоний далее заявляет, что первые четыре книги были посвящены развитию элементов, а последние четыре были посвящены специальным темам.

Между Предисловиями I и II есть некоторый пробел. Аполлоний послал своего сына, тоже Аполлония, доставить II. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Евдемусу использовать книгу в специальных учебных группах, что подразумевает, что Евдемус был высокопоставленным лицом, если не директором, в исследовательском центре. Исследования в таких учреждениях, которые следовали за модель Lycaeum от Аристотеля в Афинах, из - за резиденции Александра Великого и его сподвижников в его северной ветви, были частью образовательных усилий, к которым библиотека и музей были придаток. В штате была всего одна такая школа. Принадлежащий королю, он находился под королевским патронажем, который, как правило, был ревнивым, восторженным и заинтересованным. Цари покупали, просили, занимали и крали драгоценные книги всякий раз, когда могли. Книги были очень ценными, доступными только для состоятельных читателей. Собирать их было королевской обязанностью. Пергамон был известен производством пергамента, поэтому слово « пергамент » происходит от слова «Пергамон».

Аполлоний вспоминает Филонида Лаодикийского , геометра, которого он представил Евдему в Эфесе . Филонид стал учеником Евдема. Он жил в основном в Сирии в 1-й половине 2-го века до нашей эры. Указывает ли встреча, что Аполлоний теперь жил в Эфесе, не решено. Интеллектуальное сообщество Средиземноморья было интернациональным по культуре. Ученые были мобильны в поисках работы. Все они общались через какую-то почтовую службу, государственную или частную. Сохранившиеся письма в изобилии. Они навещали друг друга, читали работы друг друга, делали предложения друг другу, рекомендовали студентов и накопили традицию, которую некоторые называют «золотым веком математики».

Предисловие III отсутствует. Во время перерыва скончался Евдем, говорит Аполлоний в IV, снова подтверждая мнение, что Евдем был старше Аполлония. Предисловия IV – VII носят более формальный характер, они опускают личную информацию и сосредоточены на обобщении книг. Все они адресованы таинственному Атталу, выбор, сделанный «потому», как Аполлоний пишет Атталу, «из вашего искреннего желания владеть моими произведениями». К тому времени такое желание было у многих в Пергаме. Предположительно, этот Аттал был кем-то особенным, получившим копии шедевра Аполлония прямо из рук автора. Одна сильная теория состоит в том, что Аттал - это Аттал II Филадельф , 220-138 гг. До н.э., генерал и защитник царства своего брата ( Эвмен II ), соправитель по болезни последнего в 160 г. до н.э. и наследник своего престола и его вдова в 158 г. до н.э. . Он и его брат были большими покровителями искусств, благодаря чему библиотека приобрела международное величие. Даты совпадают с датами Филонида, в то время как мотив Аполлония созвучен инициативе Аттала по сбору книг.

Аполлоний послал Атталу Предисловия V – VII. В Предисловии VII он описывает Книгу VIII как «приложение» ... «которое я постараюсь отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что он был отправлен или когда-либо завершен. Он может отсутствовать в истории, потому что он никогда не был в истории, Аполлоний умер до его завершения. Папп Александрийский , однако, предоставил для него леммы, так что по крайней мере какое-то его издание должно было когда-то находиться в обращении.

Документированные работы Аполлония

Аполлоний был плодовитым геометром, написавшим большое количество работ. Сохранилась только одна, « Коникс». Из восьми его книг только первые четыре имеют убедительные основания полагать, что они произошли от оригинальных текстов Аполлония. Книги 5-7 доступны только в арабском переводе Табита ибн Курры по заказу Бану Муса . Оригинальный греческий язык утерян. Статус Книги VIII неизвестен. Первый набросок существовал. Был ли когда-либо выпущен окончательный вариант, неизвестно. Его "реконструкция" Эдмонда Галлея существует на латыни. Невозможно узнать, насколько это действительно похоже на Аполлония. Галлей также реконструировал De Rationis Sectione и De Spatii Sectione . Помимо этих работ, за исключением нескольких фрагментов, заканчивается документация, которую можно каким-либо образом истолковать как происходящую от Аполлония.

Многие из утерянных произведений описаны или упомянуты комментаторами. Кроме того, есть идеи, приписываемые Аполлонию другими авторами без документации. Достоверно это или нет, но это слухи. Некоторые авторы называют Аполлония автором определенных идей, впоследствии названных его именем. Другие пытаются выразить Аполлония в современной нотации или фразеологии с неопределенной степенью точности.

Коники

В греческом тексте Conics используется евклидово расположение определений, фигур и их частей; т. е. «данные», за которыми следуют предложения, «подлежащие доказательству». В книгах I-VII представлено 387 предложений. Такое расположение можно увидеть в любом современном учебнике геометрии традиционного предмета. Как и в любом курсе математики, материал очень плотный, и его рассмотрение обязательно медленное. У Аполлония был план для каждой книги, который частично описан в Предисловиях . Заголовки, или указатели на план, в некоторой степени неполноценны, поскольку Аполлоний больше полагался на логическую последовательность тем.

Таким образом, для комментаторов веков создается интеллектуальная ниша. Каждый должен представить Аполлония наиболее ясным и актуальным для своего времени образом. Они используют множество методов: аннотации, обширный вводный материал, разные форматы, дополнительные рисунки, поверхностная реорганизация путем добавления capita и так далее. Есть тонкие вариации в интерпретации. Современный англоговорящий сталкивается с нехваткой материала на английском языке из-за того, что английские ученые предпочитают новую латынь. Такие интеллектуальные английские гиганты, как Эдмунд Галлей и Исаак Ньютон, настоящие потомки эллинистической традиции математики и астрономии, могут быть прочитаны и интерпретированы в переводе только населением, говорящим по-английски, незнакомым с классическими языками; то есть большинство из них.

Презентации, полностью написанные на английском языке, начинаются в конце 19 века. Особо следует отметить « Трактат Хита о конических сечениях» . Его обширный вводный комментарий включает такие элементы, как лексикон аполлонических геометрических терминов, дающих греческий язык, значения и использование. Комментируя, что «явно зловещая масса трактата удерживает многих от попыток познакомиться с ним», он обещает добавить заголовки, внешне изменяя организацию, и уточнить текст с помощью современных обозначений. Таким образом, в его работе упоминаются две системы организации, его собственная и система Аполлония, соответствие которым дано в скобках.

Работа Хита незаменима. Он преподавал на протяжении всего начала 20 века, скончавшись в 1940 году, но тем временем развивалась иная точка зрения. Колледж Св. Иоанна (Аннаполис / Санта-Фе) , который был военным училищем с колониальных времен, предшествовал Военно-морской академии США в Аннаполисе, штат Мэриленд , к которой он примыкает, в 1936 году лишился аккредитации и оказался на грани банкротства. . В отчаянии правление вызвало Стрингфеллоу Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета , где они разрабатывали новую теоретическую программу для преподавания классиков. Воспользовавшись этой возможностью, в 1937 году они учредили «новую программу» в Сент-Джонсе, позже получившую название « Программа Великих Книг », - фиксированный учебный план, по которому будут преподаваться произведения избранных ключевых участников культуры западной цивилизации. В соборе Святого Иоанна Аполлония начали учить как самого себя, а не как какое-то дополнение к аналитической геометрии .

«Наставником» Аполлония был Р. Кейтсби Талиаферро , получивший в 1937 году докторскую степень в Университете Вирджинии . Он был наставником до 1942 года, а затем в течение одного года, в 1948 году, сам предоставил английские переводы, перевел Альмагеста Птолемея и Коники Аполлония . Эти переводы вошли в серию « Великие книги западного мира» Британской энциклопедии . Включены только книги I-III с приложением по специальным темам. В отличие от Хита, Талиаферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписать его. Его перевод на современный английский язык довольно точно следует греческому. Он до некоторой степени использует современные геометрические обозначения.

Одновременно с работой Талиаферро Айвор Томас, преподаватель Оксфорда времен Второй мировой войны, проявлял большой интерес к греческой математике. Он спланировал сборник избранных материалов, который был реализован во время его военной службы в качестве офицера Королевского Норфолкского полка . После войны он нашел свое место в Классической библиотеке Леба , где он занимает два тома, все переведенные Томасом, с греческим на одной стороне страницы и английским на другой, как это принято для серии Леба. Работа Томаса послужила справочником для золотого века греческой математики. Что касается Аполлония, он включает в основном только те части Книги I, которые определяют разделы.

Хит, Талиаферро и Томас удовлетворяли общественный спрос на Аполлония в переводе на протяжении большей части 20-го века. Тема продолжается. Более поздние переводы и исследования включают новую информацию и точки зрения, а также исследуют старые.

Книга I

В книге I представлено 58 предложений. Его наиболее важным содержанием являются все основные определения, касающиеся конусов и конических сечений. Эти определения не совсем совпадают с современными определениями тех же слов. Этимологически современные слова происходят от древних, но этимон часто отличается по значению от его рефлекса .

Коническая поверхность порождается отрезком вращается вокруг биссектрисы точки таким образом, что конечные точки трассировки окружность , каждый в своем собственном самолете . Конуса , одна ветвь двойной конической поверхности, является поверхностью с точкой ( вершиной или вершины ), круг ( основание ), а ось, линия , соединяющая вершину и центр основания.

« Сечение » (лат. Sectio, греческий фолиант) - это воображаемое «разрезание» конуса плоскостью .

• Предложение I.3: «Если конус разрезан плоскостью через вершину, сечение будет треугольником». В случае двойного конуса сечение представляет собой два треугольника, так что углы при вершине являются вертикальными углами .
• Предложение I.4 утверждает, что сечения конуса, параллельные основанию, представляют собой окружности с центрами на оси.
• Предложение I.13 определяет эллипс, который понимается как разрезание единственного конуса плоскостью, наклоненной к плоскости основания и пересекающей последнюю по линии, перпендикулярной диаметру основания за пределами конуса (не показано). . Угол наклонной плоскости должен быть больше нуля, иначе сечение будет окружностью. Он должен быть меньше соответствующего угла основания осевого треугольника, при котором фигура становится параболой.
• Предложение I.11 определяет параболу. Его плоскость параллельна стороне конической поверхности осевого треугольника.
• Предложение I.12 определяет гиперболу. Его плоскость параллельна оси. Он разрезал обе шишки пары, получив две отдельные ветви (показана только одна).

Греческие геометры были заинтересованы в размещении избранных фигур из своего инвентаря в различных приложениях инженерии и архитектуры, как это делали великие изобретатели, такие как Архимед. Спрос на конические сечения был тогда и существует сейчас. Развитие математической характеристики переместило геометрию в направлении греческой геометрической алгебры , которая визуально демонстрирует такие алгебраические основы, как присвоение значений линейным сегментам в качестве переменных. Они использовали систему координат, промежуточную между сеткой измерений и декартовой системой координат . Теории пропорций и применения площадей позволили разработать визуальные уравнения. (См. Ниже в разделе «Методы Аполлония»).

Анимированный рисунок изображает метод «приложения площадей» для выражения математической зависимости, характеризующей параболу. Верхний левый угол изменяющегося прямоугольника с левой стороны и верхний правый угол с правой стороны - это «любая точка на секции». В анимации он находится после раздела. Оранжевый квадрат вверху - это «квадрат на расстоянии от точки до диаметра; т. Е. Квадрат ординаты. У Аполлония ориентация горизонтальна, а не вертикальна, как показано здесь. Здесь это квадрат абсциссы. . Независимо от ориентации, уравнение остается тем же, но имена изменены. Синий прямоугольник снаружи - это прямоугольник по другой координате и расстоянию p. В алгебре x ² = py, одна из форм уравнения для параболы. Если внешний прямоугольник по площади превышает py, сечение должно быть гиперболой, если меньше - эллипсом.

«Применение областей» неявно спрашивает, учитывая площадь и линейный сегмент, применима ли эта область; то есть равен ли он квадрату на отрезке? Если да, то применимость (парабола) установлена. Аполлоний вслед за Евклидом спросил, применим ли прямоугольник на абсциссе любой точки на разрезе к квадрату ординаты . Если это так, его слово-уравнение является эквивалентом одной из современных форм уравнения параболы . Прямоугольник имеет стороны и . Именно он соответственно назвал фигуру параболой «приложение». ${\ textstyle y ^ {2} {=} kx}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$

Случай «неприменимости» далее делится на две возможности. Дана функция, такая, что в случае применимости , в случае неприменимости либо или . В первом случае он не соответствует величине, называемой многоточием, «дефицит». В последнем случае превышается величина, называемая гиперболой, «избытком». ${\ textstyle f (x)}$${\ textstyle у ^ {2} {=} г (х)}$${\ textstyle y ^ {2}> g (x)}$${\ textstyle у ^ {2} <г (х)}$${\ textstyle g (x)}$${\ textstyle y ^ {2}}$${\ textstyle g (x)}$

Применимость может быть достигнута путем добавления дефицита или вычитания излишка . Фигура, компенсирующая дефицит, получила название эллипса; для избытка - гипербола. Члены современного уравнения зависят от перемещения и поворота фигуры от начала координат, но общее уравнение для эллипса, ${\ textstyle y ^ {2} {=} f (x) {=} g (x) + d}$${\ textstyle g (x) -s}$

Ax ² + By ² = C

можно поместить в форму

${\ displaystyle y ^ {2} {=} \ left | {\ frac {A} {B}} x ^ {2} \ right | + {\ frac {C} {B}}}$

где C / B - d, а уравнение гиперболы

Ax ² - By ² = C

становится

${\ displaystyle y ^ {2} {=} \ left | {\ frac {A} {B}} x ^ {2} \ right | - {\ frac {C} {B}}}$

где C / B - s.

Книга II

Книга II содержит 53 предложения. Аполлоний говорит, что он намеревался охватить «свойства, имеющие отношение к диаметрам и осям, а также асимптоты и другие вещи ... для пределов возможностей». Его определение «диаметра» отличается от традиционного, поскольку он считает необходимым направить предполагаемого получателя письма к своей работе для определения. Упомянутые элементы определяют форму и формирование фигур. Касательные рассматриваются в конце книги.

Книга III

Книга III содержит 56 предложений. Аполлоний заявляет об оригинальном открытии теорем «использования для построения твердых локусов ... трех- и четырехстрочного геометрического места ...» Географическое место конического сечения - это сечение. Задача трехлинейного геометрического места (как указано в приложении Талиаферо к Книге III) находит «геометрическое место точек, расстояния которых от трех заданных фиксированных прямых ... таковы, что квадрат одного из расстояний всегда находится в постоянном отношении к прямоугольник, содержащийся в двух других расстояниях ". Это доказательство применения площадей, образующих параболу. Задача с четырьмя линиями приводит к эллипсу и гиперболе. Аналитическая геометрия выводит одни и те же локусы из более простых критериев, поддерживаемых алгеброй, а не геометрией, за что Декарт получил высокую оценку. Он превосходит Аполлония в своих методах.

Книга IV

Книга IV содержит 57 предложений. Первый, посланный Атталу, а не Евдему, таким образом, представляет его более зрелую геометрическую мысль. Тема довольно специализированная: «наибольшее количество точек, в которых части конуса могут пересекаться друг с другом или пересекаться с окружностью круга…». Тем не менее, он говорит с энтузиазмом, называя их «весьма полезными». в решении проблем (Предисловие 4).

Книга V

Книга V, известная только благодаря переводам с арабского, содержит 77 предложений, больше, чем любая книга. Они покрывают эллипс (50 предложений), параболу (22) и гиперболу (28). Это не явная тема, которая в Предисловиях I и V Аполлониус утверждает как максимальные и минимальные строки. Эти термины не поясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и объяснений.

Двусмысленность притягивает толкователей Аполлония, которые вынуждены толковать, не зная смысла основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии следует рассматривать как нормали к сечениям. Нормально в этом случае является перпендикулярной к кривой в точке касания иногда называемой стопы. Если разрез построен в соответствии с системой координат Аполлония (см. Ниже в разделе «Методы Аполлония»), с диаметром (переведенным Хитом как ось) по оси x и вершиной в начале координат слева, фразеология предложения указывает, что минимумы / максимумы должны быть найдены между сечением и осью. Хит приходит к выводу о том, что неподвижная точка p на участке служит одновременно точкой касания и одним концом линии. Тогда минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно быть нормалью от p.

В современной математике нормали к кривым известны как местоположение центра кривизны той небольшой части кривой, расположенной вокруг стопы. Расстояние от ступни до центра - это радиус кривизны . Последний представляет собой радиус круга, но для других кривых, кроме круговых, небольшую дугу можно аппроксимировать дугой окружности. Кривизна некруглых кривых; например, конические секции должны меняться по секции. Карта центра кривизны; то есть его локус, когда ступня движется по секции, называется эволюцией секции. Такая фигура, край последовательных позиций линии, сегодня называется конвертом . Хит полагал, что в Книге V мы видим, как Аполлоний устанавливает логическое основание теории нормалей, эволюций и конвертов.

Хитс считался авторитетной интерпретацией Книги V на протяжении всего 20-го века, но смена века повлекла за собой изменение взглядов. В 2001 году ученые Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, возразили против историчности анализа Хита Книги V, заявив, что он «переработал оригинал, чтобы сделать его более подходящим для современного математика ... такие вещи, которые делают работу Хита сомнительной ценностью для историка, раскрывая больше мыслей Хита, чем Аполлония ». Некоторые из его аргументов сводятся к следующему. Ни в предисловиях, ни в самих книгах нет никаких упоминаний о том, что максимумы / минимумы сами по себе являются нормами. Из 50 предложений Хита, которые, как утверждается, покрывают нормали, только 7, Книга V: 27-33, заявляют или подразумевают, что линии максимума / минимума перпендикулярны касательным. Эти 7 Фрид классифицирует как изолированные, не связанные с основными положениями книги. Они никоим образом не подразумевают, что максимумы / минимумы в целом являются нормальными. В своем обширном исследовании других 43 утверждений Фрид доказывает, что многого быть не может.

Фрид и Унгуру возражают, изображая Аполлония как продолжение прошлого, а не предзнаменование будущего. Во-первых, это полное филологическое исследование всех ссылок на минимальные и максимальные строки, раскрывающее стандартную фразеологию. Есть три группы по 20-25 предложений в каждой. Первая группа содержит фразу «от точки на оси к сечению», которая является полной противоположностью гипотетической «от точки на сечении к оси». Первое не должно быть нормальным ни к чему, хотя может быть. Учитывая фиксированную точку на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимальной) и одной самой короткой (минимальной). Другие фразы: «в разрезе», «извлечены из раздела», «отрезаны между частью и его осью», «отрезаны по оси», - все они относятся к одному и тому же изображению.

По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V - это именно то, о чем говорит Аполлоний, - строки максимума и минимума. Это не кодовые слова для будущих концепций, а относятся к использовавшимся тогда древним концепциям. Авторы цитируют Евклида, Элементы, Книгу III, в которой рассматриваются окружности, а также максимальные и минимальные расстояния от внутренних точек до окружности. Не допуская какой-либо конкретной общности, они используют такие термины, как «подобное» или «аналог». Они известны тем, что вводят термин «неусис-подобный». Невсис был метод установки заданного сегмента между двумя заданными кривыми. Дана точка P и линейка с отмеченным на ней отрезком. один вращает линейку вокруг P, разрезая две кривые, пока сегмент не будет соответствовать между ними. В Книге V буквой P обозначена точка на оси. Вращая вокруг него линейку, обнаруживают расстояния до сечения, на которых можно различить минимум и максимум. Техника не применима к ситуации, так что это не невзирая. Авторы используют neusis-подобный, видя архетипическое сходство с древним методом.

Книга VI

Книга VI, известная только благодаря переводам с арабского, содержит 33 предложения, наименьшее из всех книг. В нем также есть большие лакуны или пробелы в тексте из-за повреждений или искажений в предыдущих текстах.

Тема относительно ясная и бесспорная. В предисловии 1 говорится, что это «равные и похожие сечения конусов». Аполлоний расширяет концепции конгруэнтности и подобия, представленные Евклидом, на более элементарные фигуры, такие как треугольники, четырехугольники, на конические сечения. В предисловии 6 упоминаются «участки и сегменты», которые «равны и неравны», а также «сходны и непохожи», и добавляется некоторая конструктивная информация.

Книга VI имеет возврат к основным определениям в начале книги. « Равенство » определяется приложением площадей. Если одна цифра; то есть секция или сегмент «применяется» к другому (Галлея si Applicari Possit altera super alteram ), они «равны» ( aequales Галлея ), если они совпадают и ни одна линия одного не пересекает любую линию другого. Это, очевидно, стандарт соответствия после Евклида, Книга I, Общие понятия, 4: «и вещи, совпадающие ( epharmazanta ) друг с другом, равны ( isa )». Совпадение и равенство пересекаются, но это не одно и то же: применение областей, используемых для определения разделов, зависит от количественного равенства площадей, но они могут принадлежать к разным фигурам.

Между экземплярами, которые являются одинаковыми (homos), равными друг другу, и теми, которые различны или неравны , находятся фигуры, которые являются «одинаковыми» (hom-oios) или подобными . Они не являются ни полностью одинаковыми, ни разными, но имеют общие аспекты, которые одинаковы, и не имеют общих аспектов, которые отличаются друг от друга. Интуитивно геометры имели в виду масштаб ; например, карта похожа на топографический регион. Таким образом, у фигурок могут быть большие или меньшие версии самих себя.

Аспекты, которые совпадают на аналогичных рисунках, зависят от рисунка. В 6-й книге «Элементов» Евклида представлены треугольники, похожие на те, которые имеют такие же соответствующие углы. Таким образом, треугольник может иметь сколь угодно маленькие миниатюры или гигантские версии, и при этом оставаться «таким же» треугольником, что и оригинал.

В определениях Аполлония в начале книги VI подобные правые конусы имеют аналогичные осевые треугольники. Подобные участки и отрезки участков находятся прежде всего в одинаковых конусах. Кроме того, для каждой абсциссы одного должна существовать абсцисса другого в желаемом масштабе. Наконец, абсцисса и ордината одного должны совпадать с координатами того же отношения ординаты к абсциссе, что и у другого. Общий эффект такой, как если бы секция или сегмент перемещались вверх и вниз по конусу для достижения другого масштаба.

Книга VII

Книга VII, также перевод с арабского, содержит 51 предложение. Это последнее, что Хит рассматривает в своем издании 1896 года. В Предисловии I Аполлоний не упоминает о них, подразумевая, что на момент написания первого наброска они, возможно, не существовали в достаточно связной форме для описания. Аполлоний использует непонятный язык, говоря, что это «peri dioristikon Theorematon», что Галлей перевел как «de Theorematis ad definitionem pertinentibus», а Хит - как «теоремы, включающие определения пределов». Это язык определений, но никаких определений не последовало. Вопрос о том, может ли ссылка относиться к определенному виду определений, является предметом обсуждения, но на сегодняшний день не предложено ничего достоверного. Тема Книги VII, завершенной к концу жизни и карьеры Аполлония, сформулирована в Предисловии VII как диаметры и «фигуры, описанные на них», которые должны включать сопряженные диаметры , поскольку он в значительной степени полагается на них. Каким образом могут применяться термины «пределы» или «определения», не упоминается.

Диаметры и их сопряжения определены в Книге I (Определения 4-6). Не каждый диаметр имеет сопряжение. Топография диаметра (греч. Diametros) требует правильной изогнутой фигуры . Области неправильной формы, к которым обращаются в наше время, не входили в древний план игры. Аполлоний, конечно, имеет в виду конические сечения, которые он описывает часто запутанным языком: «кривая в одной плоскости» - это круг, эллипс или парабола, а «две кривые в одной плоскости» - это гипербола. Аккорд представляет собой прямую линию , чьи две конечные точки на рисунке; т.е. разрезает фигуру в двух местах. Если на фигуру наложена сетка из параллельных хорд, то диаметр определяется как линия, разделяющая все хорды пополам и достигающая самой кривой в точке, называемой вершиной. Нет необходимости в закрытой фигуре; например, парабола имеет диаметр.

Парабола имеет одномерную симметрию . Если вы представите, что он сложен на один диаметр, две половинки совпадают или подходят друг к другу. То же самое можно сказать об одной ветви гиперболы. Сопряженные диаметры (греч. Suzugeis diametroi, где suzugeis «связаны вместе»), однако, симметричны в двух измерениях. Фигуры, к которым они относятся, требуют также центра площади (греч. Kentron), сегодня называемого центроидом , служащего центром симметрии в двух направлениях. Эти фигуры представляют собой круг, эллипс и двуветвленную гиперболу. Есть только один центроид, который нельзя путать с фокусами . Диаметр - это хорда, проходящая через центр тяжести, который всегда делит его пополам.

Для круга и эллипса пусть сетка параллельных хорд будет наложена на фигуру так, чтобы самая длинная из них была диаметром, а остальные последовательно короче, пока последняя не стала хордой, а стала точкой касания. Касательная должна быть параллельна диаметру. Сопряженный диаметр делит хорды пополам между центром тяжести и точкой касания. Более того, оба диаметра сопряжены друг с другом и называются сопряженной парой. Очевидно, что любые сопряженные пары окружностей перпендикулярны друг другу, но в эллипсе только большая и малая оси, а удлинение разрушает перпендикулярность во всех остальных случаях.

Сопряжения определены для двух ветвей гиперболы, образовавшейся в результате разрезания двойного конуса одной плоскостью. Их называют сопряженными ветвями. У них одинаковый диаметр. Его центроид делит пополам отрезок между вершинами. Есть место для еще одной диаметральной линии: пусть сетка линий, параллельных диаметру, разрезает обе ветви гиперболы. Эти линии похожи на хорды, за исключением того, что они не заканчиваются на одной и той же непрерывной кривой. Сопряженный диаметр может быть проведен от центра тяжести, чтобы разделить хордовидные линии пополам.

Эти концепции в основном из Книги I позволяют нам начать с 51 предложения Книги VII, детально определяющего отношения между сечениями, диаметрами и сопряженными диаметрами. Как и в случае с некоторыми другими специализированными темами Аполлония, их полезность сегодня по сравнению с аналитической геометрией еще предстоит увидеть, хотя он утверждает в предисловии VII, что они одновременно полезны и новаторски; то есть он берет на себя заслугу перед ними.

Утраченные и восстановленные произведения, описанные Паппом

Папп упоминает и другие трактаты Аполлония:

1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione («Сокращение соотношения»)
2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione («Вырезание территории»)
3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata («Определенное сечение»)
4. Ἐπαφαί, De Tactionibus («Касания»)
5. Νεύσεις, De Inclinationibus («Наклоны»)
6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis («Плоские места»).

Каждая из них была разделена на две книги и - вместе с Данными , Поризмами и Поверхностными локусами Евклида и Кониками Аполлония - были, согласно Паппу, включены в основную часть античного анализа. Далее следуют описания шести упомянутых выше работ.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione стремился решить простую проблему: для заданных двух прямых линий и точки в каждой провести через третью заданную точку прямую линию, пересекающую две фиксированные линии, таким образом, чтобы части пересекались между заданными точками на них и точками пересечения. с этой третьей строкой может иметь заданное соотношение.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione обсуждал аналогичную проблему, требуя, чтобы прямоугольник, содержащийся в двух перехватах, был равен заданному прямоугольнику.

В конце 17 века Эдвард Бернар обнаружил версию De Rationis Sectione в Бодлианской библиотеке . Хотя он начал перевод, именно Галлей закончил его и включил в том 1706 года, восстановив De Spatii Sectione .

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata решает проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в соотношении с другими. Конкретные проблемы заключаются в следующем: даны две, три или четыре точки на прямой, найдите другую точку на ней так, чтобы ее расстояния от данных точек удовлетворяли условию, что квадрат на одной или прямоугольник, содержащийся двумя, имеет заданное соотношение либо ( 1) к квадрату на оставшейся одной или к прямоугольнику, содержащемуся в оставшихся двух, или (2) к прямоугольнику, содержащемуся в оставшейся одной и другой заданной прямой. Некоторые пытались восстановить текст, чтобы найти решение Аполлония, среди них Снеллиус ( Виллеброрд Снелл , Лейден , 1698); Александр Андерсон из Абердина в дополнении к его « Аполлонию Редививу» (Париж, 1612 г.); и Роберт Симсон в его Opera quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.), безусловно, лучшая попытка.

De Tactionibus

De Tactionibus охватил следующую общую проблему: учитывая три вещи (точки, прямые или окружности) в позиции, описать круг, проходящий через заданные точки и касающийся заданных прямых линий или окружностей. Самый сложный и исторически интересный случай возникает, когда данные три вещи представляют собой круги. В 16 веке Виета представил эту проблему (иногда известную как проблема Аполлона) Адриану Роману , который решил ее с помощью гиперболы . Вслед за этим Виета предложил более простое решение, что в конечном итоге привело его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшом труде « Аполлоний Галл» (Париж, 1600 г.). История проблемы подробно исследуется в предисловии к краткой статье Дж. В. Камерера Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus и т. Д. (Gothae, 1795, 8vo).

De Inclinationibus

Целью De Inclinationibus было продемонстрировать, как прямая линия заданной длины, стремящаяся к заданной точке, может быть вставлена ​​между двумя заданными (прямыми или круговыми) линиями. Хотя Марин Гетальдич и Гюго д'Омерик ( Геометрический анализ , Кадис, 1698) пытались реставрировать, лучший из них - Самуэль Хорсли (1770).

De Locis Planis

De Locis Planis - это собрание предложений, относящихся к местам, которые представляют собой прямые или окружности. Поскольку Папп подробно излагает свои положения, этот текст также видел попытки восстановить его не только П. Ферма ( Oeuvres , i., 1891, стр. 3–51) и Ф. Шутен (Лейден, 1656), но и также, наиболее удачно, Р. Симсоном (Глазго, 1749).

Утраченные произведения, упомянутые другими древними писателями

Древние писатели ссылаются на другие сочинения Аполлония, которые уже не сохранились:

1. Περὶ τοῦ πυρίου, О горящем стекле , трактат, вероятно, исследующий фокусные свойства параболы
2. Περὶ τοῦ κοχλίου, О цилиндрической спирали (упоминается Проклом)
3. Сравнение додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну сферу
4. Ἡ καθόλου πραγματεία, работа по общим принципам математики, которая, возможно, включала критику Аполлония и предложения по улучшению Элементов Евклида
5. Ὠκυτόκιον («Быстрое рождение»), в котором, согласно Евтокию, Аполлоний продемонстрировал, как найти более близкие пределы для значения π, чем те, что были у Архимеда , который вычислил 3+1 ⁄ 7 в качестве верхнего предела и 3+10 ⁄ 71 как нижний предел
6. арифметическая работа (см. Папп ) по системе как для выражения больших чисел на языке, более повседневном, чем в « Счетчике песка» Архимеда, так и для умножения этих больших чисел
7. великое расширение теории иррациональных чисел, изложенных в Евклиде, Книга X, от биномиальных к полиномиальным и от упорядоченных к неупорядоченным иррациональным (см. отрывки из сообщения Паппа о Евкл. x., сохраненные на арабском языке и опубликованные Woepke , 1856 г.) .

Ранние печатные издания

Страницы из арабского перевода Коник IX века

Издание 1654 года « Коники » Аполлония под редакцией Франческо Маволико

Первопечатные издания начались по большей части в 16 веке. В то время ожидалось, что научные книги будут на латыни, сегодняшней новой латыни . Поскольку рукописей на латыни почти не было, редакторы старопечатных произведений переводили с греческого или арабского на латынь. Греческий и латинский языки обычно сопоставлялись, но только греческий является оригинальным, иначе редактор восстановил то, что он считал оригиналом. Критические аппараты были на латыни. Однако древние комментарии были на древнегреческом или средневековом греческом языке. Только в 18-19 веках начали появляться современные языки. Ниже приводится репрезентативный список старопечатных изданий. Оригиналы этих репродукций редки и дороги. Для современных изданий на современных языках смотрите ссылки.

1. Пергей, Аполлоний (1566 г.). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis Философская библиотека duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (на древнегреческом и латинском языках). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.Презентация первых четырех книг Коников на греческом языке Фредерика Командина с его собственным переводом на латинский язык и комментариями Паппа Александрийского , Евтокия из Аскалона и Серена Антиноплисского .
2. Аполлоний; Барроу, I (1675 г.). Apollonii conica: Methodo nova illustrata и succinctè manifestrata (на латыни). Londini: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, in vico Little Britain.Перевод Барроу с древнегреческого на неолатинский язык первых четырех книг Коников . Связанная здесь копия, находящаяся в Бостонской публичной библиотеке , когда-то принадлежала Джону Адамсу .
3. Аполлоний; Паппус ; Галлей, Э. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabico ms. Латинская версия. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (на латыни). Oxonii.Презентация двух утраченных, но восстановленных работ Аполлония. De Sectione Rationis происходит из неопубликованной рукописи на арабском языке в Бодлианской библиотеке в Оксфорде, первоначально частично переведенной Эдвардом Бернаром, но прерванной его смертью. Ее вручили Эдмонду Галлею , профессору, астроному, математику и исследователю, в честь которого позже была названа комета Галлея . Не сумев расшифровать испорченный текст, он отказался от него. Впоследствии Дэвид Грегори (математик) восстановил арабский язык для Генри Олдрича , который снова передал его Галлею. Изучая арабский язык, Галлей создал De Sectione Rationis и в качестве дополнительного вознаграждения для читателя создал неолатинский перевод версии De Sectione Spatii, реконструированной на основе комментариев Паппа. Два неолатинских сочинения и древнегреческий комментарий Паппа были объединены в единый том 1706 года. Автор арабской рукописи неизвестен. Основываясь на заявлении, что он был написан под «покровительством» Аль-Мамуна , латинского Алмамона, астронома и халифа Багдада в 825 году, Галлей датирует его 820 годом в своем «Praefatio ad Lectorem».
4. Аполлоний; Александрин Папп ; Галлей, Эдмонд ; Евтокий ; Серен (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (на латинском и древнегреческом языках). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Ободренный успехом своего перевода исправленного арабского текста Давида Грегори de Sectione rationis , опубликованного в 1706 году, Галлей продолжил восстановление и перевод на латинский язык всего elementa conica . Книги I-IV никогда не терялись. Они появляются с греческим в одном столбце и латынью Галлея в параллельном столбце. Книги V-VI появились в результате неожиданного открытия ранее недооцененного перевода с греческого на арабский язык, который был куплен ученым-антикваром Якобом Голиусом в Алеппо в 1626 году. После его смерти в 1696 году они были переданы в наследство бодлеанцам. Библиотека (первоначально как MS Marsh 607, датированная 1070 годом). Перевод, датированный гораздо более ранним временем, происходит из отделения школы Алмамона под названием Banū Mūsā , «сыновья Мусы», группа из трех братьев, живших в 9 веке. Перевод выполнили работавшие для них писатели. В работе Галлея дан только латинский перевод Книг V-VII. Это его первое печатное издание. Книга VIII была потеряна до того, как ученые Алмамона смогли приложить руку к ее сохранению. Выдумка Галлея, основанная на ожиданиях, изложенных в книге VII, и леммах Паппа, дана на латыни. Комментарий Евтокия, леммы Паппа и два связанных трактата Серена включены в качестве руководства к интерпретации Коник .

Идеи, приписываемые Аполлонию другими писателями

Вклад Аполлония в астрономию

Ему приписывается эквивалентность двух описаний движений планет, одно с использованием эксцентриков, а другое - деферентных и эпициклов . Птолемей описывает эту эквивалентность как теорему Аполлония в Альмагесте XII.1.

Методы Аполлония

По словам Хита, «Методы Аполлония» не были его и не были личными. Какое бы влияние он ни оказал на более поздних теоретиков, было влияние геометрии, а не его собственных технических новшеств. Хит говорит:

В качестве предварительной подготовки к подробному рассмотрению методов, использованных в Кониках, можно в целом заявить, что они неуклонно следуют принятым принципам геометрического исследования, которые нашли свое окончательное выражение в Элементах Евклида.

Что касается современных людей, говорящих о геометрах золотого века, термин «метод» означает, в частности, визуальный, реконструктивный способ, которым геометр неосознанно дает тот же результат, что и алгебраический метод, используемый сегодня. В качестве простого примера алгебра находит площадь квадрата, возводя его в квадрат. Геометрический метод достижения того же результата - построение визуального квадрата. В золотой век геометрические методы могли дать большинство результатов элементарной алгебры.

Геометрическая алгебра

Визуальная форма теоремы Пифагора, как ее видели древние греки. Площадь синего квадрата - это сумма площадей двух других квадратов.

Хит продолжает использовать термин геометрическая алгебра для обозначения методов всего золотого века. По его словам, этот термин назван «правильно». Сегодня этот термин возродился для использования в других смыслах (см. Раздел геометрической алгебры ). Хит использовал его, как это было определено Генри Берчардом Файном в 1890 году или раньше. Штраф применяет его к La Geometrie от Рене Декарта , первой полномасштабной работы аналитической геометрии . Устанавливая в качестве предварительного условия, что «две алгебры формально идентичны, фундаментальные операции которых формально одинаковы», Файн говорит, что работа Декарта «не ... просто числовая алгебра, но то, что из-за отсутствия лучшего названия может быть названо алгеброй отрезки линии. Его символика такая же, как и у числовой алгебры; .... »

Например, в Аполлонии отрезок AB (линия между точкой A и точкой B) также является числовой длиной отрезка. Он может иметь любую длину. Следовательно, AB становится тем же, что и алгебраическая переменная , такая как x (неизвестное), которой может быть присвоено любое значение; например, x = 3.

Переменные определены в Аполлонии с помощью таких словесных выражений, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки на сечении до диаметра», практика, которая продолжается в алгебре сегодня. Каждый студент, изучающий основы алгебры, должен научиться преобразовывать «словесные задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры при решении относительно x . У Аполлония таких правил не было. Его решения геометрические.

Отношения, которые трудно поддаются живописным решениям, были ему недоступны; однако его репертуар живописных решений возник из множества сложных геометрических решений, которые сегодня обычно не известны (или не требуются). Одним из хорошо известных исключений является обязательная теорема Пифагора , которая даже сейчас представлена ​​прямоугольным треугольником с квадратами на его сторонах, иллюстрирующими такое выражение, как a ² + b ² = c ² . Греческие геометры называли эти термины «квадратом на AB» и т. Д. Точно так же площадь прямоугольника, образованного AB и CD, была «прямоугольником на AB и CD».

Эти концепции дали греческим геометрам алгебраический доступ к линейным функциям и квадратичным функциям , которыми являются конические сечения. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не особо использовал кубы (представленные в твердой геометрии ), хотя конус - это твердое тело. Его интересовали конические сечения, которые представляют собой плоские фигуры. Степени от 4 и выше были за гранью визуализации, требуя некоторой степени абстракции, недоступной в геометрии, но готовой в алгебре.

Система координат Аполлония

Декартова система координат, стандартная в аналитической геометрии

Все обычные измерения длины в общественных единицах, таких как дюймы, с использованием стандартных общедоступных устройств, таких как линейка, подразумевают общественное признание декартовой сетки ; то есть поверхность, разделенную на единичные квадраты, такие как один квадратный дюйм, и пространство, разделенное на единичные кубы, такие как один кубический дюйм. В древнегреческих единицы измерения предоставили такую сетку для греческих математиков с бронзового века. До Аполлония Менехм и Архимед уже начали размещать свои фигуры в подразумеваемом окне общей сетки, ссылаясь на расстояния, которые, как предполагалось, должны измеряться от левой вертикальной линии, обозначающей нижнюю меру, и нижней горизонтальной линии, обозначающей нижнюю меру, направления прямолинейны или перпендикулярны друг другу. Эти края окна становятся в декартовой системе координат осями. В качестве координат задаются прямолинейные расстояния любой точки от осей . У древних греков такой договоренности не было. Они просто ссылались на расстояния.

У Аполлония действительно есть стандартное окно, в которое он помещает свои фигуры. Вертикальное измерение происходит от горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». В греческом это слово такое же, как и в английском, но греческий язык несколько шире в своем понимании. Если фигура конического сечения разрезана сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все линейные сегменты, включенные между ветвями фигуры. Он должен проходить через макушку (коруфе, «корона»). Таким образом, диаметр включает как открытые фигуры, такие как парабола, так и замкнутые, такие как круг. Нет никаких указаний на то, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные.

Прямолинейное расстояние от точки на сечении до диаметра на греческом языке называется тетагменос, этимологически просто «протяженный». Поскольку оно всегда расширяется только «вниз» (ката-) или «вверх» (ана-), переводчики интерпретируют его как ординату . В этом случае диаметр становится осью x, а вершина - началом координат. Затем ось y становится касательной к кривой в вершине. Затем абсцисса определяется как отрезок диаметра между ординатой и вершиной.

Используя свою версию системы координат, Аполлонию удается представить в наглядной форме геометрические эквиваленты уравнений для конических сечений, что поднимает вопрос о том, можно ли считать его систему координат декартовой. Есть некоторые отличия. Декартова система должна рассматриваться как универсальная, охватывающая все цифры во всем пространстве, используемом до того, как будут выполнены какие-либо вычисления. Он состоит из четырех квадрантов, разделенных двумя скрещенными осями. Три квадранта включают отрицательные координаты, означающие направления, противоположные исходным осям нуля.

Аполлоний не имеет отрицательных чисел, явно не имеет числа, равного нулю, и не развивает систему координат независимо от конических сечений. Он работает по существу только в квадранте 1, все положительные координаты. Карл Бойер, современный историк математики, говорит:

Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась апостериори на заданную кривую, чтобы изучить ее свойства ... Аполлоний, величайший геометр древности, не смог развить аналитическую геометрию ...

Однако никто не отрицает, что Аполлоний занимает своего рода промежуточную нишу между сеточной системой традиционных измерений и полностью разработанной декартовой системой координат аналитической геометрии. Читая Аполлония, нужно стараться не принимать его термины в современном значении.

Теория пропорций

Аполлоний использует «теорию пропорций», изложенную в « Началах » Евклида , книги 5 и 6. Эта теория, разработанная Евдоксом Книдским, занимает промежуточное положение между чисто графическими методами и современной теорией чисел. Отсутствует стандартная десятичная система счисления, как и стандартная обработка дробей. Предложения, однако, выражают словами правила манипулирования дробями в арифметике. Хит предлагает заменить их умножением и делением.

Под термином «величина» Евдокс надеялся выйти за рамки чисел и перейти к общему пониманию размера, значение, которое он сохраняет до сих пор. Что касается фигур Евклида, это чаще всего означает числа, что было пифагорейским подходом. Пифагор считал, что Вселенная может быть охарактеризована количествами, что стало современной научной догмой. Книга V Евклида начинается с утверждения, что величина (мегетос, «размер») должна делиться поровну на единицы (мерос, «часть»). Таким образом, величина кратна единицам. Они не обязательно должны быть стандартными единицами измерения, такими как метры или футы. Одна единица может быть любым обозначенным линейным сегментом.

Далее следует, пожалуй, самое полезное фундаментальное определение, когда-либо придуманное в науке: соотношение (греч. Logos , что примерно означает «объяснение») - это утверждение относительной величины. Даны две величины, скажем, отрезков AB и CD. отношение AB к CD, где CD считается единицей, является количеством CD в AB; например, 3 части от 4 или 60 частей на миллион, где в ppm все еще используется терминология «части». Отношение является основой современной дроби, которая также по-прежнему означает «часть» или «фрагмент» от того же латинского корня, что и «перелом». Отношение является основой математического предсказания в логической структуре, называемой «пропорцией» (греч. Analogos). Пропорция утверждает, что если два сегмента, AB и CD, имеют такое же соотношение, как два других, EF и GH, тогда AB и CD пропорциональны EF и GH, или, как было бы сказано в Евклиде, AB относится к CD как EF. для GH.

Алгебра сводит это общее понятие к выражению AB / CD = EF / GH. Учитывая любые три члена, можно вычислить четвертое как неизвестное. Преобразуя приведенное выше уравнение, получаем AB = (CD / GH) • EF, в котором, выраженное как y = kx, CD / GH известно как «константа пропорциональности». Грекам было несложно брать кратные (греч. Pollaplasiein), вероятно, путем последовательного сложения.

Аполлоний использует отношения почти исключительно для отрезков и площадей, обозначенных квадратами и прямоугольниками. Переводчики обязались использовать обозначение двоеточия, введенное Лейбницем в Acta Eruditorum , 1684. Вот пример из Conics , Book I, по предложению 11:

Дословный перевод греческого: пусть будет надумано, что (квадрат) BC соответствует (прямоугольнику) BAC, как FH - FA.

Перевод Талиаферро: «Пусть будет надуманным, что кв. До н.э .: прямоугольник. BA.AC :: FH: FA »

Алгебраический эквивалент: BC ² / BA • BC = FH / FA

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Многие популярные сайты по истории математики, ссылки на которые приведены ниже, ссылаются или анализируют концепции, приписываемые Аполлонию в современных обозначениях и концепциях. Поскольку большая часть Аполлония подлежит интерпретации, и он сам по себе не использует современный словарь или концепции, приведенный ниже анализ может быть неоптимальным или точным. Они представляют собой исторические теории своих авторов.

• Редакторы Британской энциклопедии (2006). «Аполлоний Пергский» . Британская энциклопедия.
• Кункель, Пол (2016). "Коники Аполлония" . Математика Уистлер-Элли . whistleralley.com . Проверено 15 февраля 2017 года .
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Аполлоний Пергский" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет
• «Математика и математическая астрономия» . Брауновский университет.
• "Apollonii Pergaei Conicorum" . Цифровая коллекция библиотеки Линды Холл.
• Дэвид Деннис; Сьюзан Аддингтон (2009). «Аполлоний и конические сечения» (PDF) . Математические намерения . quadrivium.info.
• Стаудт, Гэри С. "Можете ли вы действительно вывести конические формулы из конуса?" . Математическая ассоциация Америки . Проверено 28 марта 2017 года .
• МакКинни, Колин Брайан Пауэлл (2010). Сопряженные диаметры: Аполлоний Пергский и Евтокий Аскалонский (доктор философии). Университет Айовы.