Уравнение движения Аппеля - Appell's equation of motion

В классической механике , уравнение Аппеля движения (иначе уравнение Гиббса-Аппель движения ) является альтернативой общая формулировка классической механики описывается Гиббс в 1879 году , и Аппель в 1900 году.

утверждение

Уравнение Гиббса-Аппеля гласит

{\ displaystyle Q_ {r} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}},}

где - произвольное обобщенное ускорение или вторая производная по времени от обобщенных координат , а - соответствующая ей обобщенная сила . Обобщенная сила дает проделанную работу ${\ displaystyle \ alpha _ {r} = {\ ddot {q_ {r}}}}$ ${\ displaystyle q_ {r}}$ ${\ displaystyle Q_ {r}}$

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r},}

где индекс пробегает обобщенные координаты , которые обычно соответствуют степеням свободы системы. Функция определяется как взвешенная по массе сумма квадратов ускорений частиц , ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle q_ {r}}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} ^ {2} \ ,,}

где индекс пробегает частицы, а ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle K}$

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}

- ускорение -й частицы, вторая производная по времени от ее вектора положения . Каждый выражается в терминах обобщенных координат и выражается в терминах обобщенных ускорений. ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k}}$

Связь с другими формулировками классической механики

Формулировка Аппеля не вводит никакой новой физики в классическую механику и как таковая эквивалентна другим переформулировкам классической механики, таким как лагранжева механика и гамильтонова механика . Вся физика содержится в законах движения Ньютона. В некоторых случаях уравнение движения Аппелла может быть более удобным, чем обычно используемая лагранжева механика, особенно когда речь идет о неголономных связях. Фактически, уравнение Аппеля напрямую ведет к уравнениям движения Лагранжа. Более того, его можно использовать для вывода уравнений Кейна, которые особенно подходят для описания движения сложных космических аппаратов. Формулировка Аппеля - это приложение принципа наименьшего принуждения Гаусса .

Вывод

Изменение положения частиц r _k при бесконечно малом изменении обобщенных координат D равно

{\ displaystyle d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {р}}}}

Взяв две производные по времени, мы получаем эквивалентное уравнение для ускорений

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}}}

Работа, совершаемая бесконечно малым изменением dq _r в обобщенных координатах, равна

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ CDOT d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k}}

где второй закон Ньютона для k- й частицы

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {k} = m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}}

был использован. Подставив формулу для d r _k и поменяв местами два суммирования, получаем формулы

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k } \ cdot \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}} \ right) = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}} \ right)}

Следовательно, обобщенные силы равны

{\ displaystyle Q_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} \ right)}

Это равно производной S по обобщенным ускорениям

{\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha _ {r}}} {\ frac {1} {2} } \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left | \ mathbf {a} _ {k} \ right | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} \ right)}

приводя к уравнению движения Аппеля

{\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} = Q_ {r}.}

Примеры

Уравнения Эйлера динамики твердого тела

Уравнения Эйлера служат прекрасной иллюстрацией формулировки Аппеля.

Рассмотрим твердое тело из N частиц, соединенных жесткими стержнями. Вращение тела можно описать вектором угловой скорости , а соответствующий вектор углового ускорения ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}}}

Обобщенная сила вращения - это крутящий момент , поскольку работа, совершаемая при бесконечно малом вращении, равна . Скорость -й частицы определяется выражением ${\ displaystyle {\ textbf {N}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle dW = \ mathbf {N} \ cdot \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {k}}

где - положение частицы в декартовых координатах; соответствующее ему ускорение ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ frac {d \ mathbf {v} _ {k}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ { k} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k}}

Следовательно, функцию можно записать как ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left \ {\ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ раз \ mathbf {r} _ {k} \ right) ^ {2} + \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) ^ {2} +2 \ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right )\право\}}

Установка производной S по отношению к крутящему моменту дает уравнения Эйлера ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$

{\ displaystyle I_ {xx} \ alpha _ {x} - \ left (I_ {yy} -I_ {zz} \ right) \ omega _ {y} \ omega _ {z} = N_ {x}}

{\ displaystyle I_ {yy} \ alpha _ {y} - \ left (I_ {zz} -I_ {xx} \ right) \ omega _ {z} \ omega _ {x} = N_ {y}}

{\ displaystyle I_ {zz} \ alpha _ {z} - \ left (I_ {xx} -I_ {yy} \ right) \ omega _ {x} \ omega _ {y} = N_ {z}}

Смотрите также

Ссылки

дальнейшее чтение

Парс, Л.А. (1965). Трактат по аналитической динамике . Вудбридж, Коннектикут: Ox Bow Press. С. 197–227, 631–632.
Уиттакер, ET (1937). Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.
Сигер (1930). «Уравнения Аппеля». Журнал Вашингтонской академии наук . 20 : 481–484.
Брелл, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz . 122 : 933–944.Связь формулировки Аппеля с принципом наименьшего действия .
PDF-копия статьи Аппеля в Геттингенском университете
PDF-копия второй статьи об уравнениях Аппеля и принципе Гаусса

Languages

In other projects