Приближения π -Approximations of π

График, показывающий историческую эволюцию рекордной точности числовых приближений к Пи, измеренной в десятичных разрядах (отображается в логарифмической шкале; время до 1400 не показано в масштабе).

Приближения для математической константы пи ( π ) в истории математики достигали точности в пределах 0,04% от истинного значения до начала нашей эры . В китайской математике это было улучшено до приближений, верных примерно до семи десятичных цифр к 5 веку.

Дальнейшего прогресса не было до 15 века (благодаря усилиям Джамшида аль-Каши ). Ранние современные математики достигли точности в 35 цифр к началу 17 века ( Людольф ван Сеулен ) и 126 цифр к 19 веку ( Юрий Вега ), превзойдя точность, требуемую для любого мыслимого приложения за пределами чистой математики.

Рекорд ручного приближения π принадлежит Уильяму Шанксу , который правильно вычислил 527 цифр в годы, предшествовавшие 1873 году. С середины 20-го века приближение π было задачей электронных цифровых компьютеров (для исчерпывающего счета, см. Хронологию вычисления π ). В марте 2019 года Эмма Харука Ивао , сотрудник Google из Японии , вычислила новый мировой рекорд длины в 31  триллион цифр с помощью службы облачных вычислений компании . Рекорд был побит 29 января 2020 года Тимоти Мулликаном, который рассчитал до 50 триллионов цифр с использованием устаревшего корпоративного серверного оборудования и программного обеспечения y-cruncher. 16 августа 2021 года Томас Келлер и Хайко Рёльке из Высшей школы Граубюндена установили новый рекорд - 62,8 триллиона цифр.

История ранних веков

Наиболее известные приближения к π, датируемые до нашей эры, имели точность до двух десятичных знаков; это было улучшено в китайской математике, особенно к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого не было никакого дальнейшего прогресса до позднего средневековья.

Некоторые египтологи утверждали, что древние египтяне использовали приближение π как 227 = 3,142857 (примерно на 0,04% больше) еще со времен Древнего царства . Это утверждение было встречено скептически.

Вавилонская математика обычно приближала π к 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (что особенно отражено в описании Храма Соломона в еврейской Библии ). Вавилоняне знали, что это приблизительное значение, и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная недалеко от Сузы в 1936 году (датированная 19-17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 258 = 3,125, что примерно на 0,528 процента ниже точное значение.

Примерно в то же время, египетский Папирус Ахмес (датирован второй промежуточный период , с. 1600 г. до н.э., хотя заявлены, копия старого, Среднее царство текста) означает приближение П , как 256 / 81 ≈ 3.16 ( с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга с помощью аппроксимации восьмиугольником .

Астрономические расчеты в Shatapatha Brahmana (ок. VI века до н. Э.) Используют дробное приближение 339108 ≈ 3,139 .

В III веке до нашей эры Архимед доказал точные неравенства 22371  <  π  <  227 с помощью правильных 96-угольников (точность 2 · 10 −4 и 4 · 10 −4 соответственно).

Во 2 веке нашей эры Птолемей использовал значение 377120 , первое известное приближение с точностью до трех десятичных знаков (точность 2 · 10 −5 ). Он равен двум шестидесятеричным цифрам.

Китайский математик Лю Хуэй в 263 CE вычислен π в диапазоне от3.141 024 и3.142 708 , вписав 96-угольники и 192-угольники; среднее значение этих двух значений равно3,141 866 (точность 9 · 10 −5 ). Он также предположил, что 3.14 было достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывают более поздний и более точный результат, π ≈ 39271250 = 3,1416 (точность 2 · 10 −6 ), хотя некоторые ученые вместо этого полагают, что это связано с более поздним (V век) китайским математиком Зу. Чунчжи . Известно, что Цзу Чунчжи вычислил π между 3,1415926 и 3,1415927, что с точностью до семи десятичных знаков. Он также дал два других приближения π : π ≈ 227 и π ≈ 355113 , которые не так точны, как его десятичный результат. Последняя дробь является наилучшим возможным рациональным приближением числа π с использованием менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результаты Цзу Чунчжи превосходят точность, достигнутую в эллинистической математике, и останутся без улучшения в течение почти тысячелетия.

В Индии эпохи Гупта (6 век) математик Арьябхата в своем астрономическом трактате Арьябхатия вычислил значение π до пяти значащих цифр π ≈ 6283220000 = 3,1416, используя это значение для вычисления приблизительной длины окружности Земли . Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» ( асанна «приближение») дает окружность круга. Его комментатор 15-го века Нилаканта Сомаяджи ( школа астрономии и математики Кералы ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримо (иррационально) .

Средний возраст

К V веку нашей эры число π было известно примерно до семи цифр в китайской математике и примерно до пяти цифр в индийской математике. Дальнейшего прогресса не было почти тысячелетие, до 14 века, когда индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграмы , основатель керальской школы астрономии и математики , нашел ряд Маклорена для арктангенса, а затем два бесконечных ряда для π . Одна из них теперь известна как серия Мадхава – Лейбница , основанная на

Другой был основан на

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (с 12 темно-синим цветом) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . S n - приближение после принятия n членов. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Он использовал первые 21 член, чтобы вычислить приближение π с точностью до 11 знаков после запятой, как3,141 592 653 59 .

Он также улучшил формулу, основанную на arctan (1), добавив поправку:

Неизвестно, как он придумал это исправление. Используя это, он нашел приближение π к 13 десятичным знакам точности при  n  = 75.

Джамшид аль-Каши (Кашани), персидский астроном и математик , правильно вычислил дробную часть от 2 π до 9 шестидесятичных цифр в 1424 году и перевел это в 16 десятичных цифр после десятичной точки:

что дает 16 правильных цифр для π после десятичной точки:

Он достиг такого уровня точности, вычислив периметр правильного многоугольника со сторонами 3 × 2 28 .

16-19 веков

Во второй половине XVI века французский математик Франсуа Виет открыл бесконечное произведение, сходящееся к π, известное как формула Вьете .

Немецко-голландский математик Цейльна ( около 1600) , вычислил первые 35 десятичных места П с 2 62 - угольником. Он так гордился этим достижением, что написал их на своем надгробии .

В Cyclometricus (1621) Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится по окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это было доказано Христианом Гюйгенсом в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-стороннего многоугольника .

В 1789 году словенский математик Юрий Вега вычислил первые 140 знаков после запятой для числа π , из которых первые 126 были правильными и удерживали мировой рекорд в течение 52 лет до 1841 года, когда Уильям Резерфорд вычислил 208 знаков после запятой, из которых первые 152 были правильными. . Вега улучшила формулу Джона Мачина 1706 года, и его метод до сих пор упоминается.

Величину такой точности (152 знака после запятой) можно учесть в контексте того факта, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, может быть рассчитана по его диаметру (93  миллиарда световых лет ) с точностью менее одна планковская длина (при1,6162 × 10 -35  метров , самая короткая единица длины, имеющая реальное значение) с использованием π, выраженного всего с 62 десятичными знаками.

Английский математик-любитель Уильям Шанкс , человек с независимыми средствами, потратил более 15 лет, вычисляя π с точностью до 607 знаков после запятой. Это было сделано в 1873 году, и первые 527 позиций были правильными. Он считал новые цифры все утро, а затем весь день проводил, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое продолжительное расширение π до появления электронных цифровых компьютеров три четверти века спустя.

20 и 21 века

В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан обнаружил несколько быстро сходящихся бесконечных рядов числа π , в том числе

который вычисляет еще восемь десятичных знаков числа π для каждого члена ряда. Его серия стала основой для самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Даже использование только первого члена дает

См. Серию Рамануджана – Сато .

Начиная с середины 20 века, все вычисления π производились с помощью калькуляторов или компьютеров .

В 1944 году Д. Ф. Фергюсон с помощью механического настольного калькулятора обнаружил, что Уильям Шанкс ошибся в 528-м десятичном разряде и что все последующие цифры были неправильными.

В первые годы существования компьютеров расширение π до100 000 знаков после запятой была вычислена Мэрилендом математика Даниэля Шанкс (никакого отношения к вышеупомянутому Уильяму хвостовикам) и его команде в лаборатории США военно - морских исследований в Вашингтоне, округ Колумбия , в 1961 году, Шанкс и его команда использовали два различных степенные ряды для вычисления цифр из π . С одной стороны, было известно, что любая ошибка приведет к слегка завышенному значению, а с другой - было известно, что любая ошибка приведет к немного низкому значению. И, следовательно, до тех пор, пока две серии давали одни и те же цифры, существовала очень высокая уверенность в их правильности. Первые 100 265 цифр числа π были опубликованы в 1962 году. Авторы обрисовали в общих чертах, что потребуется для вычисления числа π с точностью до 1 миллиона знаков после запятой, и пришли к выводу, что эта задача выходит за рамки современных технологий, но станет возможной через пять-семь лет.

В 1989 году братья Чудновские вычислили π с точностью до 1 миллиарда десятичных знаков на суперкомпьютере IBM 3090, используя следующую вариацию бесконечного ряда π Рамануджана :

С тех пор все записи велись с использованием алгоритма Чудновского . В 1999 году Ясумаса Канада и его команда из Токийского университета вычислили π с точностью до 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000 / MPP (128 узлов), используя другой вариант бесконечной серии π Рамануджана . В ноябре 2002 года Ясумаса Канада и его команда из 9 человек использовали Hitachi SR8000 , 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, чтобы вычислить π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов (25  дней).

Недавние записи

  1. В августе 2009 года японский суперкомпьютер под названием T2K Open Supercomputer более чем удвоил предыдущий рекорд, вычислив π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа 36 минут.
  2. В декабре 2009 года Фабрис Беллар использовал домашний компьютер для вычисления 2,7 триллиона десятичных знаков числа π . Вычисления проводились по основанию 2 (двоичный), затем результат был преобразован в основание 10 (десятичный). Этапы расчета, преобразования и проверки заняли в общей сложности 131 день.
  3. В августе 2010 года Сигеру Кондо использовал y-cruncher Александра Йи для вычисления 5 триллионов цифр числа π . Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что немаловажно, он был выполнен на домашнем компьютере, построенном Кондо. Расчет производился в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно.
  4. В октябре 2011 года Сигеру Кондо побил свой собственный рекорд, вычислив десять триллионов (10 13 ) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с более совершенным оборудованием.
  5. В декабре 2013 года Кондо во второй раз побил собственный рекорд, вычислив 12,1 триллиона цифр числа π .
  6. В октябре 2014 года Сандон Ван Несс, известный под псевдонимом «houkouonchi», использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллиона цифр числа π .
  7. В ноябре 2016 года Питер Труб и его спонсоры вычислили на y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр числа π (22 459 157 718 361 ( π e  × 10 12 )). Вычисление заняло (с тремя перерывами) 105 дней, при этом ограничением дальнейшего расширения было, прежде всего, место для хранения.
  8. В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудник Google , вычислила 31,4 триллиона цифр числа Пи с помощью y-cruncher и машин Google Cloud . Это заняло 121 день.
  9. В январе 2020 года Тимоти Мулликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня.
  10. 14 августа 2021 года команда (DAViS) из Университета прикладных наук Граубюндена объявила о завершении вычисления π до 62,8 триллиона цифр.

Практические приближения

В зависимости от цели вычисления π может быть аппроксимировано дробями для упрощения вычислений. Наиболее заметными такими приближениями являются 227 ( относительная ошибка около 4 · 10 −4 ) и 355113 (относительная ошибка около 8 · 10 −8 ).

Нематематические «определения» π

Некоторые примечательные моменты имеют юридические или исторические тексты, якобы «определяющие π » как имеющие некоторую рациональную ценность, такие как « Билль Индианы Пи » 1897 года, в котором говорилось, что «соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем» (что будет означать « π = 3,2 ») и отрывок из еврейской Библии, который подразумевает, что π = 3 .

Законопроект Индианы

Так называемый « Билль Индианы Пи » 1897 года часто характеризовался как попытка «узаконить значение Пи». Скорее, законопроект имел дело с предполагаемым решением проблемы геометрического « квадрата круга ».

Законопроект был почти принят Генеральной Ассамблеей штата Индиана в США и, как утверждается, подразумевает ряд различных значений π , хотя наиболее близким к явному утверждению одного из них является формулировка «соотношение диаметра и окружности равно как от пяти четвертых до четырех ", что составило бы π = 165 = 3,2 , расхождение почти в 2 процента. Профессор математики, который присутствовал в тот день, когда законопроект был внесен на рассмотрение в Сенат, после того, как он был принят Палатой представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание тщательно высмеяло его. Табличка на неопределенный срок.

Вмененная библейская ценность

Иногда утверждается, что еврейская Библия подразумевает, что « π равно трем», на основании отрывка из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4: 2, где размеры круглой чаши, расположенной перед Храмом в Иерусалиме, имеют диаметр. 10 локтей и 30 локтей в окружности.

Этот вопрос обсуждается в Талмуде и в раввинистической литературе . Среди множества объяснений и комментариев следующие:

  • Рабби Неемия объяснил это в своем Мишнат ха-Миддот (самый ранний известный еврейский текст по геометрии , около 150 г. н.э.), сказав, что диаметр измерялся от внешнего края, а окружность измерялась по внутреннему краю. Эта интерпретация подразумевает ширину полей примерно 0,225 локтя (или, если принять 18-дюймовый «локоть», около 4 дюймов) или одну и третью « ладонь » толщиной (ср. NKJV и NKJV ).
  • Маймонид утверждает (ок. 1168 г. н.э.), что π может быть известно только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Некоторые считают это самым ранним утверждением об иррациональности π .

В библейской науке до сих пор ведутся споры по поводу этого отрывка. Многие реконструкции чаши показывают более широкий край (или расширяющуюся кромку), выступающий наружу от самой чаши на несколько дюймов, чтобы соответствовать описанию, данному в NKJV. В последующих стихах край описывается как «толщина в ладонь; и край его был выполнен как край чашки, как цветок лилии: он принял и выдержал три тысячи ванн » NKJV , что предполагает форму, которую можно охватить веревкой короче, чем общая длина поля, например, цветок лилии или чашка .

Разработка эффективных формул

Приближение многоугольника к окружности

Архимед в своей работе « Измерение круга» создал первый алгоритм для вычисления π, основанный на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в круг, меньше длины окружности круга, который, в свою очередь, равен меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определяются. Затем он показывает, как вычислить периметры правильных многоугольников, у которых вдвое больше сторон, вписанных и описанных примерно в одном круге. Это рекурсивная процедура, которую сегодня можно было бы описать следующим образом: Пусть p k и P k обозначают периметры правильных многоугольников с k сторонами, которые вписаны и описаны примерно в одной и той же окружности, соответственно. Потом,

Архимед использует это, чтобы последовательно вычислить P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96 и p 96 . Используя эти последние значения, он получает

Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-стороннем многоугольнике; требуется только терпение, чтобы продолжить вычисления. Херон сообщает в своей Метрике (около 60 г. н.э.), что Архимед продолжил вычисления в уже утерянной книге, но затем приписывает ему неверное значение.

Архимед не использует тригонометрию в этом вычислении, и трудность применения метода заключается в получении хороших приближений для квадратных корней, которые используются. Тригонометрия в виде таблицы длин хорд в окружности, вероятно, использовалась Клавдием Птолемеем из Александрии для получения значения π, данного в Альмагесте (около 150 г. н.э.).

Прогресс в приближении π (когда методы известны) был достигнут за счет увеличения числа сторон многоугольников, используемых в вычислениях. Тригонометрическое усовершенствование Виллебрда Снелла (1621) дает лучшие оценки из пары границ, полученных с помощью метода многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим количеством сторон. Формула Виета , опубликованная Франсуа Виетом в 1593 году, была получена Виетом с использованием тесно связанного метода многоугольников, но с площадями, а не периметрами многоугольников, количество сторон которых равно степени двойки.

Последняя крупная попытка вычислить π этим методом была предпринята Гриенбергером в 1630 году, который вычислил 39 десятичных разрядов π, используя уточнение Снеллиуса.

Машиноподобная формула

Для быстрых вычислений можно использовать такие формулы, как Мачина :

вместе с разложением в ряд Тейлора функции arctan ( x ). Эта формула наиболее легко проверяется с помощью полярных координат из комплексных чисел , производство:

({ x , y } = {239, 13 2 } является решением уравнения Пелла x 2 −2 y 2 = −1.)

Формулы такого типа известны как формулы типа Мачина . Конкретная формула Мачина использовалась в компьютерную эру для вычисления рекордного количества цифр числа π , но в последнее время использовались и другие аналогичные формулы.

Например, Шанкс и его команда использовали следующую формулу Мачина в 1961 году для вычисления первых 100000 цифр числа π :

и они использовали другую формулу типа Мачина,

как чек.

По состоянию на декабрь 2002 года рекорд Ясумасы Канады из Токийского университета составлял 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Мачина:

К. Такано (1982).

FCM Størmer (1896 г.).

Другие классические формулы

Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок π, включают:

Лю Хуэй (см. Также формулу Вьете ):

Мадхава :

Эйлер :

Преобразование сходимости Ньютона / Эйлера:

где (2 k  + 1) !! обозначает произведение нечетных целых чисел до 2 k  + 1.

Рамануджан :

Давид Чудновский и Григорий Чудновский :

Работа Рамануджана легла в основу алгоритма Чудновского , самого быстрого алгоритма, использовавшегося на рубеже тысячелетий для вычисления π .

Современные алгоритмы

Очень длинные десятичные разложения П обычно вычисляется с итерационными формулами , как алгоритм Гаусса-Лежандр и алгоритм Borwein в . Последнее, обнаруженное в 1985 году Джонатаном и Питером Борвейном , очень быстро сходится:

Для и

где последовательность квартично сходится к π , давая около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр за 20 шагов. Алгоритм Гаусса – Лежандра (с временной сложностью , использующий алгоритм умножения Харви – Хувена ) асимптотически быстрее, чем алгоритм Чудновского (с временной сложностью ), но какой из этих алгоритмов на практике быстрее для «достаточно малых», зависит от технологических факторов, таких как объемы памяти и время доступа . Для установления мировых рекордов итерационные алгоритмы используются реже, чем алгоритм Чудновского, поскольку они требуют больших объемов памяти.

Первый миллион цифр π и 1π доступны в Project Gutenberg (см. Внешние ссылки ниже). Предыдущий расчетный рекорд (декабрь 2002 г.) Ясумасы Канады из Токийского университета составлял 1,24 триллиона цифр, которые были вычислены в сентябре 2002 года на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом основной памяти, который выполняет 2 триллиона операций в секунду, что почти вдвое больше, чем компьютер, использованный для предыдущего рекорда (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы, похожие на Machin:

 ( Кикуо Такано  (1982))
 ( Ф. К. М. Стёрмер  (1896)).

В этих приближениях так много цифр, что они больше не имеют практического применения, кроме тестирования новых суперкомпьютеров. Свойства как потенциальная нормальность от П всегда будут зависеть от бесконечной последовательности цифр в конце концов, не на любом конечном вычислении.

Разные приближения

Исторически для расчетов использовалось основание 60. В этом основании π можно округлить до восьми (десятичных) значащих цифр с числом 3; 8,29,44 60 , что составляет

(Следующая шестидесятеричная цифра - 0, поэтому усечение здесь дает относительно хорошее приближение.)

Кроме того, для оценки π можно использовать следующие выражения :

  • с точностью до трех цифр:
  • с точностью до трех цифр:
Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он считал, что это в точности π , и что это в какой-то мере объясняет уверенность Платона во всесторонней компетентности математической геометрии, а также неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольных треугольников, которые являются либо равнобедренными, либо половинами равносторонние треугольники.
Шишкович:
  • с точностью до четырех цифр:
  • с точностью до четырех цифр (или пяти значащих цифр):
  • приближение Рамануджана с точностью до 4 цифр (или пяти значащих цифр):
  • с точностью до пяти цифр:
  • с точностью до шести цифр [1] :
  • с точностью до семи цифр:
  • с точностью до девяти цифр:
Это от Рамануджана , который утверждал, что Богиня Намагири явилась ему во сне и рассказала ему истинное значение числа π .
  • с точностью до десяти цифр:
  • с точностью до десяти цифр (или одиннадцати значащих цифр):
Это любопытное приближение следует за наблюдением, что 193-я степень 1 / π дает последовательность 1122211125 ... Замена 5 на 2 завершает симметрию без уменьшения правильных цифр π , в то время как вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопровождающую величину на уровне 10 100 .
  • с точностью до 18 цифр:
Это основано на фундаментальном дискриминанте d = 3 (89) = 267, который имеет номер класса h (- d ) = 2, объясняющий алгебраические числа степени 2. Корневой радикал на 5 3 больше, чем фундаментальная единица, которая дает наименьшее решение {  x , y } = {500, 53} в уравнение Пелла x 2  - 89 y 2  = −1.
  • с точностью до 30 знаков после запятой:
Получено из близости константы Рамануджана к целому числу 640320³ + 744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах, потому что существует только конечное число чисел Хегнера и отрицательных дискриминантов d с номером класса h (- d ) = 1, а d = 163 является наибольшим по модулю .
  • с точностью до 52 знаков после запятой:
Как и выше, следствие j-инварианта . Среди отрицательных дискриминантов с номером класса 2 этот d самый большой по абсолютной величине.
  • с точностью до 161 знака после запятой:
где u - произведение четырех простых единиц квартики,
а также,
На основе одного, найденного Дэниелом Шэнксом . Подобно предыдущим двум, но на этот раз является частным от модульной формы , а именно функции эта Дедекинда , и где используется аргумент . Дискриминант d = 3502 имеет h (- d ) = 16.
  • Цепная дробь представление П может быть использовано для создания последовательных наилучших рациональных приближений . Эти приближения являются наилучшими возможными рациональными приближениями π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них:
Из всех них это единственная дробь в этой последовательности, которая дает более точные цифры π (т.е. 7), чем количество цифр, необходимое для ее аппроксимации (например, 6). Точность можно повысить, используя другие дроби с более крупными числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей требуется больше цифр при приближении, чем правильные значащие числа, полученные в результате.

Суммирование площади круга

Численное приближение π : поскольку точки случайным образом разбросаны внутри единичного квадрата, некоторые попадают в единичный круг. Доля точек внутри круга по мере добавления точек приближается к π / 4 .

Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:

Если нарисовать круг с радиусом r с центром в точке (0, 0), любая точка, расстояние от которой до начала координат меньше r , попадет внутрь круга. Теорема Пифагора дает расстояние от любой точки ( xy ) до центра:

Математическая «миллиметровка» формируется путем представления квадрата 1 × 1 с центром вокруг каждой ячейки ( xy ), где x и y - целые числа от - r до r . Затем можно подсчитать квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, проверяя, для каждой ли ячейки ( xy )

Таким образом, общее количество ячеек, удовлетворяющих этому условию, приблизительно равно площади круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π . Более близкие приближения можно получить, используя большие значения r .

Математически эту формулу можно записать:

Другими словами, начните с выбора значения r . Рассмотрим все ячейки ( xy ), в которых x и y являются целыми числами от - r до r . Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние от которой до начала координат (0,0) меньше или равно r . Когда закончите, разделите сумму, представляющую площадь круга радиуса r , на r 2, чтобы найти приближение π . Например, если r равно 5, рассматриваются следующие ячейки:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (-1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(-5,4) (-4,4) (−3,4) (-2,4) (-1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(-5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (-1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(-5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (-1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5, −1) (−4, −1) (−3, −1) (−2, −1) (-1, -1) (0, -1) (1, −1) (2, −1) (3, −1) (4, −1) (5, −1)
(−5, −2) (−4, −2) (−3, −2) (−2, −2) (-1, -2) (0, −2) (1, −2) (2, −2) (3, −2) (4, −2) (5, −2)
(−5, −3) (−4, −3) (−3, −3) (−2, −3) (-1, -3) (0, −3) (1, −3) (2, −3) (3, −3) (4, −3) (5, −3)
(−5, −4) (−4, −4) (−3, −4) (−2, −4) (-1, -4) (0, −4) (1, −4) (2, −4) (3, −4) (4, −4) (5, −4)
(−5, −5) (−4, −5) (−3, −5) (−2, −5) (-1, -5) (0, −5) (1, −5) (2, −5) (3, −5) (4, −5) (5, −5)
Этот круг, как если бы он был нарисован на декартовом координатном графике. Ячейки (± 3, ± 4) и (± 4, ± 3) помечены.

12 ячеек (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) находятся точно на круге, а 69 ячеек полностью внутри , поэтому приблизительная площадь 81, а π приблизительно равно 3,24, потому что 815 2 = 3,24. Результаты для некоторых значений r показаны в таблице ниже:

р площадь приближение π
2 13 3,25
3 29 3,22222
4 49 3,0625
5 81 год 3,24
10 317 3,17
20 1257 3,1425
100 31417 3,1417
1000 3141549 3,141549

Для связанных результатов см. Проблема круга: количество точек (x, y) в квадратной решетке с x ^ 2 + y ^ 2 <= n .

Точно так же более сложные приближения π, приведенные ниже, включают в себя повторные вычисления определенного рода, приводящие к более и более близким приближениям с увеличением числа вычислений.

Непрерывные дроби

Помимо представления простой цепной дроби [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], который не отображает различимого шаблона, π имеет множество обобщенных представлений непрерывной дроби, генерируемых простым правилом, включая эти два.

(Другие изображения доступны на сайте Wolfram Functions .)

Тригонометрия

Серия Григория – Лейбница

Серия Грегори – Лейбница

представляет собой степенной ряд для arctan (x), специализированный для x  = 1. Он сходится слишком медленно, чтобы представлять практический интерес. Однако степенной ряд сходится намного быстрее для меньших значений , что приводит к формулам, где возникает как сумма малых углов с рациональными касательными, известная как формулы типа Мачина .

Арктангенс

Зная, что 4 arctan 1 = π , формулу можно упростить и получить:

с такой сходимостью, что каждые дополнительные 10 членов дают как минимум еще три цифры.

Другая формула для включения функции арктангенса задается следующим образом:

где такое что . Приближения можно сделать, используя, например, быстро сходящуюся формулу Эйлера

В качестве альтернативы можно использовать следующую простую серию расширений функции арктангенса

куда

приблизить с еще более быстрой сходимостью. Сходимость в этой формуле арктангенса для улучшается по мере увеличения целого числа.

Константа также может быть выражена бесконечной суммой функций арктангенса как

а также

где это пчислом Фибоначчи . Однако эти две формулы для сходимости намного медленнее из-за набора функций арктангенса, которые участвуют в вычислениях.

Арксинус

Наблюдая за равносторонним треугольником и отмечая, что

дает

с такой сходимостью, что каждые пять дополнительных членов дают по крайней мере еще три цифры.

Методы извлечения цифр

Формула Бейли – Борвейна – Плуффа (BBP) для вычисления π была открыта в 1995 году Саймоном Плаффом. Используя математику с основанием 16 , формула может вычислить любую конкретную цифру числа π - возвращая шестнадцатеричное значение цифры - без необходимости вычислять промежуточные цифры (извлечение цифр).

В 1996 году Саймон Плафф разработал алгоритм для извлечения n- й десятичной цифры числа π (используя  математику с основанием 10 для извлечения  цифры с основанием 10), и который может делать это с улучшенной скоростью O ( n 3 (log n ) 3 ). время. Алгоритм практически не требует памяти для хранения массива или матрицы, поэтому одну миллионную цифру числа π можно вычислить с помощью карманного калькулятора. Однако это было бы довольно утомительно и непрактично.

Скорость вычисления формулы Plouffe была улучшена до O ( п 2 ) с помощью Беллара , который производного альтернативной формулы (хотя только в базовом  2 математике) для вычисления П .

Эффективные методы

Многие другие выражения для π были разработаны и опубликованы индийским математиком Шринивасой Рамануджаном . Он работал с математиком Годфри Гарольдом Харди в Англии в течение ряда лет.

Очень длинные десятичные разложения П , как правило , вычисляются с алгоритмом Гаусса-Лежандра и алгоритм Borwein в ; Также использовался алгоритм Саламина – Брента , изобретенный в 1976 году.

В 1997 году Дэвид Х. Бейли , Питер Борвейн и Саймон Плафф опубликовали статью (Bailey, 1997) о новой формуле для π как бесконечного ряда :

Эта формула позволяет довольно легко вычислить k- ю двоичную или шестнадцатеричную цифру числа π без необходимости вычислять предыдущие k  - 1 цифр. Веб-сайт Бейли содержит как производные, так и реализации на различных языках программирования . Проект PiHex вычислил 64 бита вокруг квадриллионного бита числа π (который оказался равным 0).

Фабрис Беллар еще больше улучшил BBP своей формулой :

Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок π, включают:

Ньютон .
Шриниваса Рамануджан .

Это чрезвычайно быстро сходится. Работа Рамануджана является основой для самых быстрых алгоритмов, используемых на рубеже тысячелетий для вычисления π .

В 1988 году Давид Чудновский и Григорий Чудновский нашли еще более быстро сходящийся ряд ( алгоритм Чудновского ):

.

Скорость различных алгоритмов вычисления числа "пи" до n правильных цифр показана ниже в порядке убывания асимптотической сложности. M (n) - сложность используемого алгоритма умножения.

Алгоритм Год Сложность времени или Скорость
Алгоритм Гаусса – Лежандра 1975 г.
Алгоритм Чудновского 1988 г.
Бинарное расщепление арктанового ряда в формуле Мачина
Формула Лейбница для π 1300-е годы Сублинейная сходимость. Пять миллиардов членов на 10 правильных десятичных знаков

Проекты

Пи Шестнадцатеричный

Pi Hex был проектом по вычислению трех конкретных двоичных цифр числа π с использованием распределенной сети из нескольких сотен компьютеров. В 2000 году, через два года, проект завершил вычисление пяти триллионного (5 * 10 12 ), сорок триллионного и квадриллионного (10 15 ) битов. Все трое оказались равными 0.

Программное обеспечение для расчета π

На протяжении многих лет, несколько программ , которые были написаны для вычисления π для многих цифр на персональных компьютерах .

Общее назначение

Большинство систем компьютерной алгебры могут вычислять π и другие общие математические константы с любой желаемой точностью.

Функции для вычисления π также включены во многие общие библиотеки для арифметики произвольной точности , например Class Library for Numbers , MPFR и SymPy .

Специального назначения

Программы, предназначенные для вычисления π, могут иметь лучшую производительность, чем математические программы общего назначения. Обычно они реализуют контрольные точки и эффективную замену дисков для облегчения чрезвычайно длительных и дорогостоящих вычислений.

  • TachusPi Фабриса Белларда - это программа, которую он использовал для вычисления мирового рекорда числа цифр Пи в 2009 году.
  • y -cruncherАлександра Йи - это программа, которую каждый мировой рекордсмен, начиная с Сигеру Кондо в 2010 году, использовал для вычислениямировых рекордов числа цифр. y-cruncher также может использоваться для вычисления других констант и удерживает мировые рекорды для некоторых из них.
  • PiFast от Xavier Gourdon была самой быстрой программой для Microsoft Windows в 2003 году. По словам ее автора, она может вычислить один миллион цифр за 3,5 секунды на Pentium 4 с тактовой частотой 2,4 ГГц . PiFast также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e и 2 . Он также может работать с меньшей эффективностью при очень небольшом объеме памяти (до нескольких десятков мегабайт для вычисления более миллиарда (10 9 ) цифр). Этот инструмент является популярным тестом в сообществе оверклокеров . PiFast 4.4 доступен на странице Stu Pi . PiFast 4.3 доступен на странице Гурдона.
  • QuickPi от Стива Паглиаруло для Windows быстрее, чем PiFast, и позволяет набирать до 400 миллионов цифр. Версия 4.5 доступна на странице Пи Стю ниже. Как и PiFast, QuickPi также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e , 2 и 3 . Программное обеспечение можно получить у Pi-Hacks Yahoo! форум, или со страницы Пи Стю .
  • Super PI от Kanada Laboratory в Токийском университете - это программа для Microsoft Windows, рассчитанная на количество цифр от 16 000 до 33 550 000. Он может вычислить один миллион цифр за 40 минут, два миллиона цифр за 90 минут и четыре миллиона цифр за 220 минут на Pentium 90 МГц. Версия Super PI 1.9 доступна на странице Super PI 1.9 .

Смотрите также

Примечания

использованная литература