Площадь круга - Area of a circle

В геометрии , то площадь окружена окружностью с радиусом г является π г 2 . Здесь греческая буква π представляет постоянное отношение длины окружности любого круга к его диаметру , примерно равное 3,1416.

Один из методов вывода этой формулы, который возник у Архимеда , включает рассмотрение круга как предела последовательности правильных многоугольников . Площадь правильного многоугольника - это половина его периметра, умноженная на расстояние от его центра до его сторон , и соответствующая формула, согласно которой площадь равна половине периметра, умноженному на радиус, а именно: A = 1/2× 2π r × r , выполняется в пределе для окружности.

Хотя в неформальном контексте часто называют площадью круга , строго говоря, термин диск относится к внутренней части круга, в то время как круг зарезервирован только для границы, которая является кривой и не покрывает саму площадь. Следовательно, площадь диска - это более точное выражение для области, заключенной в круг.

История

Современная математика может получить область, используя методы интегрального исчисления или его более сложное детище, реальный анализ . Однако площадь диска изучали еще древние греки . Евдокс Книдский в пятом веке до нашей эры обнаружил, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса. Архимед использовал инструменты евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника , основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга в его книге « Измерение круга» . Окружность равна 2 π r , а площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту, что дает площадь π r 2 для диска. До Архимеда Гиппократ Хиосский был первым, кто показал, что площадь диска пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры луны Гиппократа , но не определил константу пропорциональности .

Исторические аргументы

Исторически выдвигалось множество аргументов, чтобы установить уравнение с различной степенью математической строгости. Самым известным из них является метод исчерпания Архимеда , одно из первых применений математической концепции предела , а также происхождение аксиомы Архимеда, которая остается частью стандартной аналитической обработки системы действительных чисел . Первоначальное доказательство Архимеда не является строгим по современным стандартам, потому что оно предполагает, что мы можем сравнивать длину дуги окружности с длиной секущей и касательной, и аналогичные утверждения о площади, как геометрически очевидные.

Использование полигонов

Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженной на апофему . По мере того как количество сторон правильного многоугольника увеличивается, многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это говорит о том, что площадь диска равна половине длины окружности его ограничивающего круга, умноженной на радиус.

Доказательство архимеда

Следуя аргументу Архимеда в «Измерении круга» (около 260 г. до н. Э.), Сравните площадь, заключенную в круг, с прямоугольным треугольником, основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга. Если площадь круга не равна площади треугольника, то она должна быть больше или меньше. Мы устраняем каждый из них путем противоречия, оставляя равенство как единственную возможность. Таким же образом мы используем правильные многоугольники .

Не больше

Круг с вписанным квадратом и восьмиугольником, показывающий промежуток между областями

Предположим, что площадь C, заключенная в круг, больше, чем площадь T  = 12 cr треугольника. Пусть E обозначает избыточное количество. Впишите в круг квадрат так, чтобы его четыре угла лежали на круге. Между квадратом и кругом четыре сегмента. Если общая площадь этих промежутков G 4 больше E , разделите каждую дугу пополам. Это превращает вписанный квадрат во вписанный восьмиугольник и производит восемь сегментов с меньшим общим зазором, G 8 . Продолжайте до тех пор , расщепление общей площади зазора, G п , меньше , чем Е . Теперь площадь вписанного многоугольника P n  = C  -  G n должна быть больше, чем у треугольника.

Но это приводит к следующему противоречию. Нарисуйте перпендикуляр от центра к середине стороны многоугольника; его длина h меньше радиуса окружности. Также пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s ; тогда сумма сторон, ns , меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников с высотой h и основанием s , что равно 12 nhs . Но поскольку h  <  r и ns  <  c , площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника, 12 cr , противоречие. Следовательно, наше предположение, что C может быть больше, чем T, должно быть ошибочным.

Не менее

Круг с описанным квадратом и восьмиугольником, показывающий зазор в площади

Предположим, что площадь, заключенная в круг, меньше площади T треугольника. Пусть D обозначает сумму дефицита. Обведите квадрат так, чтобы середина каждого ребра лежала на окружности. Если общая площадь зазора между квадратом и окружностью, G 4 , больше , чем D , отрезают углы с круговыми касательных сделать восьмиугольник около окружности, и продолжать до тех пор , нарезка площадь зазора не меньше D . Площадь многоугольника, P п , должно быть меньше , чем T .

Это тоже вызывает противоречие. Действительно, перпендикуляр к середине каждой стороны многоугольника представляет собой радиус длиной r . А так как общая длина стороны больше , чем окружность, многоугольник состоит из п одинаковых треугольников с общей большей площадью , чем Т . Мы снова получили противоречие, поэтому наше предположение о том, что C может быть меньше T, также должно быть неверным.

Следовательно, площадь, ограниченная кругом, должна быть такой же, как и площадь треугольника. Это завершает доказательство.

Доказательство перестановки

Площадь круга перестановкой
Графики стороны ,  с ; апофема ,  а ; и область ,  из правильных многоугольников с п сторон и описанной окружности 1, с основанием ,  б в виде прямоугольника с той же самой области . Зеленой линией показан случай n = 6 .

Следуя Сато Мошуну ( Смит и Миками, 1914 , стр. 130–132) и Леонардо да Винчи ( Бекманн, 1976 , стр. 19), мы можем использовать вписанные правильные многоугольники по-другому. Предположим, мы вписываем шестиугольник . Разрежьте шестиугольник на шесть треугольников, отделив его от центра. Два противоположных треугольника касаются двух общих диаметров; сдвиньте их по одной так, чтобы радиальные края прилегали друг к другу. Теперь они образуют параллелограмм , стороны шестиугольника образуют два противоположных ребра, одно из которых является основанием s . Два радиальных ребра образуют наклонные стороны, а высота h равна его апофеме (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы также можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, поместив последовательные пары рядом друг с другом. То же самое верно, если мы увеличим его до восьми сторон и так далее. Для многоугольника с 2 n сторонами параллелограмм будет иметь основание длиной ns и высотой h . По мере увеличения числа сторон длина основания параллелограмма приближается к половине окружности окружности, а его высота приближается к радиусу окружности. В пределе параллелограмм становится прямоугольником шириной π r и высотой r .

Площадь единичного диска путем перестановки n полигонов.
многоугольник параллелограмм
п боковая сторона база рост площадь
4 1,4142136 2,8284271 0,7071068 2.0000000
6 1.0000000 3.0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3,0614675 0,9238795 2,8284271
10 0,6180340 3,0901699 0,9510565 2,9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3.0000000
14 0,4450419 3,1152931 0,9749279 3,0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3,0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3,1393502
1 / ∞ π 1 π

Современные доказательства

Существуют различные эквивалентные определения константы π. Традиционное определение в геометрии до исчисления - это отношение длины окружности к ее диаметру:

Однако, поскольку окружность круга не является примитивным аналитическим понятием, это определение не подходит для современных строгих методов лечения. Стандартное современное определение состоит в том, что π равно удвоенному наименьшему положительному корню функции косинуса или, что то же самое, полупериоду функции синуса (или косинуса). Функция косинуса может быть определена либо как степенной ряд , либо как решение определенного дифференциального уравнения . Это позволяет избежать любых ссылок на круги в определении π , так что утверждения об отношении π к окружности и площади кругов на самом деле являются теоремами, а не определениями, которые следуют из аналитических определений таких понятий, как «площадь» и «окружность». ".

Аналитические определения считаются эквивалентными, если согласовано, что окружность круга измеряется как спрямляемая кривая с помощью интеграла

Интеграл справа - это абелев интеграл , значение которого представляет собой полупериод синусоидальной функции, равный π . Таким образом рассматривается как истинная теорема.

Некоторые из следующих аргументов используют только концепции элементарного исчисления для воспроизведения формулы , но во многих случаях, чтобы рассматривать их как фактические доказательства, они неявно полагаются на тот факт, что можно разработать тригонометрические функции и фундаментальную константу π таким образом, чтобы совершенно независимо от их отношения к геометрии. Мы указали, где это уместно, как каждое из этих доказательств может быть сделано полностью независимым от всей тригонометрии, но в некоторых случаях это требует более сложных математических идей, чем те, которые предоставляет элементарное исчисление.

Лук доказательство

Площадь диска через кольцевую интеграцию

Используя исчисление, мы можем постепенно суммировать площадь, разбивая диск на тонкие концентрические кольца, как слои луковицы . Это метод интеграции оболочки в двух измерениях. Для бесконечно тонкого кольца «луковицы» радиуса t накопленная площадь равна 2 π t dt , длина окружности кольца умножена на его бесконечно малую ширину (это кольцо можно аппроксимировать прямоугольником шириной = 2 π t и высотой = dt ). Это дает элементарный интеграл для диска радиуса r .

Это строго обосновано правилом многомерной подстановки в полярных координатах. А именно, площадь задается двойным интегралом постоянной функции 1 по самому диску. Если D обозначает диск, то двойной интеграл в полярных координатах можно вычислить следующим образом:

что является тем же результатом, что и полученный выше.

Эквивалентное строгое обоснование, не опирающееся на специальные координаты тригонометрии, использует формулу коплощади . Определите функцию с помощью . Обратите внимание, что ρ - липшицева функция , градиент которой является единичным вектором ( почти всюду ). Пусть D - диск в . Мы покажем, что , где - двумерная мера Лебега в . Мы будем предполагать, что одномерная мера Хаусдорфа окружности равна длине окружности радиуса r . (Это можно принять как определение окружности.) Тогда по формуле коплощади

Доказательство треугольника

Круг развернут в треугольник
Круг и треугольник равны по площади.

Подобно луковичному доказательству, описанному выше, мы могли бы использовать исчисление по-другому, чтобы прийти к формуле для площади диска. Рассмотрите возможность превращения концентрических кругов в прямые полосы. Это сформирует прямоугольный треугольник, высота которого равна r, а основание - 2 π r (внешний ломтик лука).

Нахождение площади этого треугольника даст площадь диска

Противоположные и смежные углы для этого треугольника составляют соответственно в градусах 9,0430611 ..., 80,956939 ... и в радианах 0,1578311 ... OEISA233527 , 1,4129651 ... OEISA233528 .

Явно мы представляем себе разделение круга на треугольники, каждый с высотой, равной радиусу круга, и бесконечно малым основанием. Площадь каждого из этих треугольников равна . Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, мы приходим к формуле для площади круга:

Это также может быть оправдано двойным интегралом постоянной функции 1 по диску, изменив порядок интегрирования и используя замену переменных в приведенном выше повторном интеграле:

Делая замену, интеграл преобразуется в

что совпадает с результатом выше.

Доказательство треугольника может быть переформулировано как приложение теоремы Грина в форме потока-дивергенции (т. Е. Двумерная версия теоремы о дивергенции ) таким образом, чтобы избежать всякого упоминания тригонометрии и константы π . Рассмотрим векторное поле на плоскости. Таким образом, расхождение в г равно двум, и , следовательно, площадь диска D равна

По теореме Грина это то же самое, что и внешний поток r через окружность, ограничивающую D :

где n - единичная нормаль, а ds - мера длины дуги. Для окружности радиуса R с центром в начале координат имеем и , поэтому указанное выше равенство имеет вид

Интеграл ds по всему кругу - это просто длина дуги, которая является ее окружностью, поэтому это показывает, что площадь A, заключенная в круг, равна длине окружности, умноженной на длину окружности.

Другое доказательство, использующее треугольники, считает, что область, заключенная в круг, состоит из бесконечного числа треугольников (т.е. каждый треугольник имеет угол d𝜃 в центре круга), каждый с площадью1/2· R 2 · d𝜃 (получено из выражения для площади треугольника:1/2 · A · b · sin𝜃 = 1/2 · R · r · sin (d𝜃) = 1/2· R 2 · d𝜃 ). Обратите внимание, что sin (d𝜃)d𝜃 из-за приближения малых углов . Таким образом, суммируя площади треугольников, можно найти выражение для площади круга:

Полукруглое доказательство

Обратите внимание, что площадь полукруга радиуса r может быть вычислена с помощью интеграла .

Полукруг радиуса r

Путем тригонометрической подстановки мы подставляем , следовательно,

Последний шаг следует, поскольку тригонометрическое тождество подразумевает, что и имеют равные интегралы по интервалу , используя интегрирование путем подстановки . Но с другой стороны, поскольку сумма двух интегралов равна длине интервала, который равен . Следовательно, интеграл равен половине длины того интервала, который равен .

Следовательно, площадь круга радиуса r , которая в два раза больше площади полукруга, равна .

Это конкретное доказательство может вызвать вопрос, если функции синуса и косинуса, участвующие в тригонометрической подстановке, считаются определенными по отношению к окружностям. Однако, как отмечалось ранее, можно определить синус, косинус и π способом, который полностью не зависит от тригонометрии, и в этом случае доказательство справедливо по формуле замены переменных и теореме Фубини , предполагающей основные свойства синуса и косинус (что также можно доказать, не предполагая ничего об их отношении к окружностям).

Изопериметрическое неравенство

Круг - это замкнутая кривая с наименьшим периметром, охватывающая максимальную площадь. Это известно как изопериметрическое неравенство , которое гласит, что если спрямляемая жорданова кривая на евклидовой плоскости имеет периметр C и охватывает область A (по теореме Жордана ), то

Более того, равенство в этом неравенстве выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой окружность, и в этом случае и .

Быстрое приближение

Вычисления, которые Архимед использовал для численной аппроксимации площади, были трудоемкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Виллебрда Снелла ( Cyclometricus , 1621), далее развитые Христианом Гюйгенсом ( De Circuli Magnitudine Inventa , 1654), описанные у Герретсена и Вердендуина (1983 , стр. 243–250).

Метод удвоения архимеда

Для данной окружности пусть u n будет периметром вписанного правильного n- угольника, и пусть U n будет периметром описанного правильного n- угольника. Тогда u n и U n - это нижняя и верхняя границы окружности круга, которые становятся более резкими и резкими с увеличением n , и их среднее значение ( u n + U n ) / 2 является особенно хорошим приближением к длине окружности. Чтобы вычислить u n и U n для больших n , Архимед вывел следующие формулы удвоения:

  ( среднее геометрическое ), и
   ( среднее гармоническое ).

Начиная с шестиугольника, Архимед удвоил n четыре раза, чтобы получить 96-угольник, что дало ему хорошее приближение к длине окружности круга.

В современных обозначениях мы можем воспроизвести его вычисление (и пойти дальше) следующим образом. Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет u 6  = 6, а описанный шестиугольник имеет U 6  = 4 3 . Удвоение урожайности в семь раз

Архимед удвоился семь раз; п = 6 × 2 к .
k п у н U n у п  +  U п/4
0 6 6,0000000 6,9282032 3,2320508
1 12 6,2116571 6,4307806 3,1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3,1461443
3 48 6,2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6,2854292 3,1418733
5 192 6,2829049 6,2837461 3,1416628
6 384 6,2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6,2831678 6,2832204 3,1415970

(Здесь у п + U п/2аппроксимирует длину окружности единичного круга, равную 2 π , поэтомуу п + U п/4приближает π .)

Последняя запись таблицы имеет 355113 как одно из лучших рациональных приближений ; т.е. среди рациональных чисел со знаменателем до 113 нет лучшего приближения. Число 355113 также является превосходным приближением к π , лучше, чем любое другое рациональное число со знаминателем меньше 16604.

Уточнение Снелла – Гюйгенса

Снелл предложил (и Гюйгенс доказал) более жесткую оценку, чем у Архимеда:

Это для n = 48 дает лучшее приближение (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Вывод формул удвоения Архимеда

Круг с подобными треугольниками: описанная сторона, вписанная сторона и дополнение, вписанная разделенная сторона и дополнение

Пусть одна сторона вписанного правильного n- угольника имеет длину s n и касается окружности в точках A и B. Пусть A ′ - точка, противоположная A на окружности, так что A′A - диаметр, а A′AB - вписанный по диаметру треугольник. По теореме Фалеса это прямоугольный треугольник с прямым углом в B. Пусть длина A′B равна c n , что мы называем дополнением к s n ; таким образом, c n 2 + s n 2  = (2 r ) 2 . Пусть C делит дугу пополам от A до B, и пусть C ′ - точка, противоположная C на окружности. Таким образом, длина CA равна s 2 n , длина C'A равна c 2 n , а сама C'CA является прямоугольным треугольником с диаметром C'C. Поскольку C делит дугу пополам от A до B, C′C перпендикулярно делит пополам хорду от A до B, скажем, в точке P.Треугольник C′AP, таким образом, является прямоугольным треугольником и подобен C′CA, поскольку они имеют общий угол в C. ′. Таким образом, все три соответствующие стороны находятся в одинаковой пропорции; в частности, мы имеем C′A: C′C = C′P: C′A и AP: C′A = CA: C′C. Центр круга, O, делит A'A пополам, поэтому у нас также есть треугольник OAP, похожий на A'AB, с OP, равным половине длины A'B. Что касается длин сторон, это дает нам

В первом уравнении C′P - это C′O + OP, длина r + 12 c n , а C′C - диаметр, 2 r . Для единичной окружности у нас есть знаменитое уравнение удвоения Людольфа ван Цойлена :

Если теперь описать правильный n- угольник со стороной A ″ B ″, параллельной AB, то OAB и OA ″ B ″ будут аналогичными треугольниками с A ″ B ″: AB = OC: OP. Назовем описанную сторону S n ; тогда это S n  :  s n  = 1:  12 c n . (Мы снова использовали, что OP составляет половину длины A′B.) Таким образом, мы получаем

Назовем вписанный периметр u n  = ns n , а описанный периметр U n  = nS n . Тогда, комбинируя уравнения, мы имеем

так что

Это дает уравнение среднего геометрического .

Мы также можем вывести

или

Это дает гармоническое уравнение среднего .

Приближение дротика

Площадь единичного круга Интеграция Монте-Карло. Оценка по этим 900 образцам составляет 4 ×709/900 = 3,15111 ...

Когда нет более эффективных методов поиска областей, мы можем прибегнуть к «метанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует тот факт, что если случайные выборки взяты, равномерно разбросанные по поверхности квадрата, в котором находится диск, доля выборок, которые попадают в диск, приблизительно равна отношению площади диска к площади квадрата. . Это следует рассматривать как крайний метод вычисления площади диска (или любой формы), поскольку для получения необходимой точности требуется огромное количество выборок; оценка, соответствующая 10 - n, требует около 100 n случайных выборок ( Thijssen 2006 , стр. 273).

Конечная перестановка

Мы видели, что, разбивая диск на бесконечное количество частей, мы можем собрать их в прямоугольник. Примечательный факт, обнаруженный относительно недавно ( Laczkovich 1990 ), заключается в том, что мы можем разрезать диск на большое, но конечное число частей, а затем снова собрать эти части в квадрат равной площади. Это называется проблемой квадрата круга Тарского . Природа доказательства Лацковича такова, что оно доказывает существование такого разбиения (фактически, многих таких разбиений), но не показывает какого-либо конкретного разбиения.

Неевклидовы круги

Круги могут быть определены в неевклидовой геометрии , в частности в гиперболической и эллиптической плоскостях.

Например, единичная сфера - это модель двумерной эллиптической плоскости. Он несет внутреннюю метрику , возникающую при измерении геодезической длины. Геодезические круги - это параллели в геодезической системе координат .

Точнее, зафиксируем точку, которую ставим в зенит. Связанный с этим зенитом является геодезической полярной системой координат , , где г есть точка . В этих координатах геодезическое расстояние от z до любой другой точки, имеющей координаты, равно значению at x . Сферический круг - это набор точек на геодезическом расстоянии R от зенитной точки z . Эквивалентно, с фиксированным вложением в , сферический круг радиуса с центром в z является набором x в таких, что .

Мы также можем измерить площадь сферического диска, заключенного в сферический круг, используя меру внутренней поверхности на сфере. Тогда площадь диска радиуса R определяется выражением

В более общем смысле, если сфера имеет радиус кривизны , то площадь диска радиуса R определяется как

Обратите внимание, что в качестве применения правила Л'Опиталя это стремится к евклидовой области в плоском пределе .

Гиперболический случай аналогичен, с площадью диска внутреннего радиуса R в гиперболической плоскости (постоянной кривизны ), заданной формулой

где ch - гиперболический косинус . В более общем смысле, для гиперболической плоскости постоянной кривизны ответ таков:

Эти тождества важны для неравенств сравнения в геометрии. Например, площадь, заключенная в круг радиуса R в плоском пространстве, всегда больше, чем площадь сферического круга, и меньше, чем гиперболический круг, при условии, что все три круга имеют одинаковый (внутренний) радиус. То есть,

для всех . Интуитивно это связано с тем, что сфера имеет тенденцию искривляться сама по себе, давая круги меньшей площади, чем те, что находятся в плоскости, в то время как гиперболическая плоскость при погружении в пространство образует полосы, которые создают дополнительную площадь. В более общем смысле верно, что площадь круга фиксированного радиуса R является строго убывающей функцией кривизны.

Во всех случаях, если кривизна (постоянная, положительная или отрицательная), то изопериметрическое неравенство для области с площадью A и периметром L имеет вид

где равенство достигается именно для круга.

Обобщения

Мы можем растянуть диск, чтобы сформировать эллипс . Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плоскости, у него есть коэффициент искажения, который изменяет площадь, но сохраняет соотношение площадей. Это наблюдение можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса из площади единичного круга.

Рассмотрим единичную окружность, описанную квадратом со стороной 2. Преобразование превращает окружность в эллипс, растягивая или сужая горизонтальный и вертикальный диаметры к большой и малой осям эллипса. Квадрат переходит в прямоугольник, ограничивающий эллипс. Отношение площади круга к квадрату равно π / 4, что означает, что отношение эллипса к прямоугольнику также равно π / 4. Предположим, что a и b - длины большой и малой осей эллипса. Поскольку площадь прямоугольника равна ab , площадь эллипса равна π ab / 4.

Мы также можем рассмотреть аналогичные измерения в более высоких измерениях. Например, мы можем захотеть найти объем внутри сферы. Когда у нас есть формула для площади поверхности, мы можем использовать тот же «луковичный» подход, который мы использовали для диска.

Библиография

использованная литература

  1. ^ Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление одной переменной, ранние трансцендентальные (5-е изд.). Торонто ON: Брук / Коул. стр.  3 . ISBN 0-534-39330-6. Однако, косвенно, Евдокс (V век до н.э.) использовал истощение, чтобы доказать известную формулу для площади диска:
  2. ^ Хит, Томас Л. (2003), Руководство греческой математики , Courier Dover Publications, стр. 121-132, ISBN 0-486-43231-9.
  3. ^ Хилл, Джордж. Уроки геометрии: для начинающих , стр. 124 (1894).
  4. ^ Не все наилучшие рациональные приближения являются подходящими дробями непрерывной дроби!
  5. ^ Исаак Чавел (2001), Изопериметрические неравенства , Cambridge University Press

внешние ссылки