Общий треугольник Безье n- го порядка имеет ( n + 1) ( n + 2) / 2 контрольных точки α i β j γ k, где i , j , k - неотрицательные целые числа такие, что i + j + k = n . Тогда поверхность определяется как
С linear order ( ) получившийся треугольник Безье на самом деле является правильным плоским треугольником , вершины которого равны трем контрольным точкам. Квадратичная ( ) Безье треугольник имеет 6 контрольных точек , которые расположены по краям. Кубической ( ) Безье треугольника определяется 10 контрольных точек и является низшего порядка Безье треугольник , который имеет точку внутреннего контроля, а не расположены по краям. Во всех случаях ребра треугольника будут кривыми Безье одинаковой степени.
Кубический треугольник Безье
Пример треугольника Безье с отмеченными контрольными точками
Кубический Безье треугольник является поверхностью с уравнением
где α 3 , β 3 , γ 3 , α 2 β, αβ 2 , β 2 γ, βγ 2 , αγ 2 , α 2 γ и αβγ - контрольные точки треугольника, а s , t , u (при 0 ≤ s , t , u ≤ 1 и s + t + u = 1) - барицентрические координаты внутри треугольника.
В качестве альтернативы кубический треугольник Безье можно выразить в более обобщенной формулировке как
Углами треугольника являются точки α 3 , β 3 и γ 3 . Ребра треугольника сами по себе являются кривыми Безье с теми же контрольными точками, что и треугольник Безье.
Удалив член γ u , получится регулярная кривая Безье. Кроме того, хотя это не очень удобно для отображения на экране физического компьютера, путем добавления дополнительных членов получается тетраэдр Безье или многогранник Безье .
Из-за характера уравнения весь треугольник будет содержаться в объеме, окруженном контрольными точками, а аффинные преобразования контрольных точек будут правильно преобразовывать весь треугольник таким же образом.
Деление кубического треугольника Безье пополам
Преимущество треугольников Безье в компьютерной графике состоит в том, что для деления треугольника Безье на два отдельных треугольника Безье требуется только сложение и деление на два, а не арифметика с плавающей запятой . Это означает, что, хотя треугольники Безье гладкие, их можно легко аппроксимировать с помощью правильных треугольников, рекурсивно разделив треугольник пополам, пока полученные треугольники не будут считаться достаточно маленькими.
Далее вычисляются новые контрольные точки для половины полного треугольника Безье с углом α 3 , угла на полпути вдоль кривой Безье между α 3 и β 3 и третьего угла γ 3 .
эквивалентно, используя сложение и деление только на два,
где: = означает замену вектора слева вектором справа.
Обратите внимание, что деление треугольника Безье пополам аналогично делению пополам кривых Безье всех порядков до порядка треугольника Безье.
«Построение поверхности с ускорением, близким к наименьшему квадрату, на основе нормалей вершин на треугольных сетках». CiteSeerX 10.1.1.6.2521 . Отсутствует или пусто |url= ( справка )