Базовый поток (случайные динамические системы) - Base flow (random dynamical systems)

В математике , то базовая поток из случайной динамической системы является динамическая система , определенная на «шум» вероятностного пространства , которое описывает , как «быстро вперед» или «обратной перемотки» шум , когда кто -то желает изменить время , при котором один «начинается» случайная динамическая система.

Определение

В определении случайной динамической системы дается семейство отображений на вероятностном пространстве . Сохраняющая меру динамическая система известна как базовый поток случайной динамической системы. Карты часто называют картами сдвига, поскольку они «сдвигают» время. Базовый поток часто бывает эргодическим . ${\ displaystyle \ vartheta _ {s}: \ Omega \ to \ Omega}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P}, \ vartheta)}$${\ displaystyle \ vartheta _ {s}}$

Параметр может быть выбран для перехода ${\ displaystyle s}$

• ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ (двусторонняя динамическая система с непрерывным временем);
• ${\ Displaystyle [0, + \ infty) \ subsetneq \ mathbb {R}}$ (односторонняя динамическая система с непрерывным временем);
• ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ (двусторонняя динамическая система с дискретным временем);
• ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ чашка \ {0 \}}$ (односторонняя динамическая система с дискретным временем).

Каждая карта обязательна ${\ displaystyle \ vartheta _ {s}}$

• быть - измеримая функция : для всех ,${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ vartheta _ {s} ^ {- 1} (E) \ in {\ mathcal {F}}}$
• чтобы сохранить меру : для всех , .${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (\ vartheta _ {s} ^ {- 1} (E)) = \ mathbb {P} (E)}$

Кроме того, как семья, карты удовлетворяют соотношениям ${\ displaystyle \ vartheta _ {s}}$

• ${\ displaystyle \ vartheta _ {0} = \ mathrm {id} _ {\ Omega}: \ Omega \ to \ Omega}$, тождественная функция на ;${\ displaystyle \ Omega}$
• ${\ Displaystyle \ vartheta _ {s} \ circ \ vartheta _ {t} = \ vartheta _ {s + t}}$для всех и для которых определены три карты в этом выражении. В частности, если существует.${\ displaystyle s}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ vartheta _ {s} ^ {- 1} = \ vartheta _ {- s}}$${\ displaystyle -s}$

Другими словами, отображения образуют коммутативный моноид (в случаях и ) или коммутативную группу (в случаях и ). ${\ displaystyle \ vartheta _ {s}}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \}}$${\ displaystyle s \ in [0, + \ infty)}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$

пример

В случае случайной динамической системы, управляемой винеровским процессом , где - двустороннее классическое винеровское пространство , базовый поток будет задан формулой ${\ Displaystyle W: \ mathbb {R} \ times \ Omega \ to X}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle \ vartheta _ {s}: \ Omega \ to \ Omega}$

${\ Displaystyle W (т, \ vartheta _ {s} (\ omega)) = W (t + s, \ omega) -W (s, \ omega)}$.

Это можно прочитать как высказывание, что «шум запускается в момент времени, а не в 0». ${\ displaystyle \ vartheta _ {s}}$${\ displaystyle s}$