Модель диффузии басов - Bass diffusion model

Модель Bass или модель диффузии Bass была разработана Фрэнком Бассом . Он состоит из простого дифференциального уравнения , описывающего процесс принятия новых продуктов населением. Модель представляет собой обоснование того, как взаимодействуют текущие и потенциальные последователи нового продукта. Основная предпосылка модели состоит в том, что последователи могут быть классифицированы как новаторы или как имитаторы, а скорость и время принятия зависят от степени их новаторства и степени подражания среди последователей. Модель Bass широко используется в прогнозировании , особенно новых продуктов прогнозирования продаж и прогнозирования технологии. Математически основная диффузия Басса - это уравнение Риккати с постоянными коэффициентами.

В 1969 году Фрэнк Басс опубликовал свою статью о новой модели роста потребительских товаров длительного пользования . До этого Эверетт Роджерс опубликовал « Распространение инноваций» , очень влиятельную работу, в которой описывались различные этапы внедрения продукта. Басс внес в эту концепцию несколько математических идей.

Формулировка модели

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {f (t)} {1-F (t)}} = p + qF (t)}

Где:

${\ Displaystyle \ F (т)}$ установленная базовая доля
${\ Displaystyle \ е (т)}$ - изменение установленной базовой доли, т. е. ${\ Displaystyle \ F (T) = {\ гидроразрыва {d} {dt}} F (t)}$
${\ displaystyle \ p}$ коэффициент инновационности
${\ displaystyle \ q}$ коэффициент имитации

Объем продаж (или новых пользователей) во времени - это скорость изменения установленной базы, т. Е. Умноженная на конечный рыночный потенциал . При условии , что ${\ Displaystyle \ s (т)}$ ${\ displaystyle \ t}$ ${\ Displaystyle \ е (т)}$ ${\ displaystyle \ m}$ ${\ Displaystyle \ F (0) = 0}$

{\ Displaystyle \ s (t) = mf (t)}

{\ displaystyle \ s (t) = m {\ frac {(p + q) ^ {2}} {p}} {\ frac {e ^ {- (p + q) t}} {(1 + {\ гидроразрыв {q} {p}} e ^ {- (p + q) t}) ^ {2}}}}

У нас есть декомпозиция, где - количество новаторов в определенный момент времени , а - количество подражателей в данный момент . ${\ Displaystyle \ s (т) = s_ {п} (т) + s_ {я} (т)}$ ${\ Displaystyle \ s_ {n} (t): = mp (1-F (t))}$ ${\ displaystyle \ t}$ ${\ Displaystyle \ s_ {я} (t): = mq (1-F (t)) F (t)}$ ${\ displaystyle \ t}$

Время пиковых продаж ${\ Displaystyle \ т ^ {*}}$

{\ Displaystyle \ т ^ {*} = {\ гидроразрыва {\ ln q- \ ln p} {p + q}}}

Объяснение

Коэффициент p называется коэффициентом новаторства, внешнего воздействия или рекламного эффекта. Коэффициент q называется коэффициентом имитации, внутреннего влияния или сарафанного радио.

Типичные значения p и q при измерении времени t в годах:

Среднее значение p оказалось равным 0,03, а часто меньше 0,01.
Среднее значение q оказалось равным 0,38 с типичным диапазоном от 0,3 до 0,5.

Вывод

Модель диффузии Басса основана на предположении, что степень риска для восприятия продукта или услуги может быть определена как: ${\ Displaystyle \ лямбда (т)}$

{\ Displaystyle \ лямбда (т) = {е (т) \ над {S (т)}} = р + д [1-S (т)]}

где есть функция плотности вероятности и является функцией выживания с будучи Интегральная функция распределения . Из этих основных определений в анализе выживаемости мы знаем, что:

{\ displaystyle f (t)}

{\ Displaystyle S (т) = 1-F (т)}

{\ Displaystyle F (т)}

{\ displaystyle f (t) = - {dS \ over {dt}} \ подразумевает \ lambda (t) = - {1 \ over {S}} {dS \ over {dt}}}

Следовательно, дифференциальное уравнение для функции выживания эквивалентно:

{\ displaystyle {dS \ over {S [p + q (1-S)]}} = - dt}

Интеграция и перестановка терминов дает нам следующее:

{\ displaystyle {S \ over {p + q (1-S)}} = Ae ^ {- (p + q) t}}

Для любой функции выживания мы должны это иметь, и это подразумевает это . При этом условии функция выживания:

{\ Displaystyle S (0) = 1}

{\ displaystyle A = p ^ {- 1}}

{\ Displaystyle S (t) = {е ^ {- (p + q) t} + {q \ over {p}} e ^ {- (p + q) t} \ over {1+ {q \ over { p}} e ^ {- (p + q) t}}}}

Наконец, используя тот факт , мы находим, что диффузионная модель Басса для поглощения продукта:

{\ Displaystyle F (т) = 1-S (т)}

{\ Displaystyle F (t) = {1-e ^ {- (p + q) t} \ over {1+ {q \ over {p}} e ^ {- (p + q) t}}}}

Дополнения к модели

Модель Generalized Bass (с ценой)

Басс обнаружил, что его модель соответствует данным почти для всех представленных продуктов, несмотря на широкий диапазон переменных управленческих решений, например, ценообразование и рекламу. Это означает, что переменные решения могут сдвигать кривую Баса во времени, но форма кривой всегда одинакова.

Хотя было предложено множество расширений модели, только одно из них сводится к модели Басса при обычных обстоятельствах.

Эта модель была разработана в 1994 году Фрэнком Бассом, Тричи Кришнан и Дипаком Джайном:

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {f (t)} {1-F (t)}} = (p + {q} F (t)) x (t)}

где - функция процентного изменения цены и других переменных ${\ Displaystyle \ х (т)}$

Последовательные поколения

Технологические продукты сменяют друг друга из поколения в поколение. В 1987 году Нортон и Басс расширили эту модель для продажи продуктов с постоянными повторными покупками. Формулировка для трех поколений следующая:

{\ Displaystyle \ S_ {1, t} = F (t_ {1}) m_ {1} (1-F (t_ {2}))}

{\ Displaystyle \ S_ {2, t} = F (t_ {2}) (m_ {2} + F (t_ {1}) m_ {1}) (1-F (t_ {3}))}

{\ Displaystyle \ S_ {3, t} = F (t_ {3}) (m_ {3} + F (t_ {2}) (m_ {2} + F (t_ {1}) m_ {1})) }

куда

${\ Displaystyle \ м_ {я} = а_ {я} М_ {я}}$
${\ Displaystyle \ M_ {я}}$ - количество конечных пользователей продукта i- го поколения.
${\ displaystyle \ a_ {i}}$ средний (непрерывный) уровень повторных покупок среди потребителей продукта i- го поколения
${\ displaystyle \ t_ {i}}$ это время с момента появления продукта i- го поколения
${\ Displaystyle \ F (t_ {i}) = {\ frac {1-e ^ {- (p + q) t_ {i}}} {1 + {\ frac {q} {p}} e ^ {- (p + q) t_ {i}}}}}$

Было обнаружено, что члены p и q обычно одинаковы между последовательными поколениями.

Связь с другими s-образными кривыми

Есть два частных случая модели диффузии Басса.

Первый частный случай возникает, когда q = 0, когда модель сводится к экспоненциальному распределению .
Второй частный случай сводится к логистическому распределению , когда p = 0.

Модель Басса является частным случаем гамма / смещенного распределения Гомперца (G / SG): Bemmaor (1994)

Использование в социальных сетях онлайн

Быстрый, недавний (по состоянию на начало 2007 года) рост онлайн-социальных сетей (и других виртуальных сообществ ) привел к более широкому использованию модели диффузии Басса. Модель диффузии Басса используется для оценки размера и темпов роста этих социальных сетей. Работа Кристиана Бокхейджа и соавторов показывает, что модель Басса дает более пессимистичную картину будущего, чем альтернативные модели, такие как распределение Вейбулла и смещенное распределение Гомперца.

Принятие этой модели

Модель является одним из наиболее цитируемых эмпирических обобщений в маркетинге; по состоянию на октябрь 2020 года статья «Рост новых продуктов для образцовых потребительских товаров длительного пользования», опубликованная в Management Science, имела (приблизительно) 9725 цитирований в Google Scholar.

Эта модель широко использовалась в маркетинге и менеджменте. В 2004 году он был включен в десятку наиболее цитируемых статей за 50-летнюю историю науки управления . Он занял пятое место и был единственным маркетинговым изданием в списке. Впоследствии он был переиздан в декабрьском выпуске журнала Management Science за 2004 год .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Официальный сайт Фрэнка М. Басса

Languages

In other projects