Бельтрами поток - Beltrami flow

В гидродинамике потоки Бельтрами - это потоки, в которых вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами - это поток, в котором вектор Лэмба равен нулю. Он назван в честь итальянского математика Эухенио Бельтрами из-за его вывода векторного поля Бельтрами , в то время как первые разработки в области гидродинамики были сделаны русским ученым Ипполитом С. Громека в 1881 году. ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Описание

Поскольку вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу, мы можем написать ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} = 0, \ quad {\ boldsymbol {\ omega}} = \ alpha (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {v},}$

где - некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных последствий течения Бельтрами является то, что он никогда не может быть плоским или осесимметричным потоком, потому что в этих потоках завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие будет реализовано при рассмотрении уравнения завихренности несжимаемой жидкости${\ Displaystyle \ альфа (\ mathbf {х}, т)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ omega}} - ({\ boldsymbol { \ omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} + \ nabla \ times f,}$

где - внешние объемные силы, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., - кинематическая вязкость. Поскольку и параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю . Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ omega}} = ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ partial t}} = \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} + \ nabla \ times f.}$

Когда , компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнению теплопроводности . ${\ displaystyle \ mathbf {f} = 0}$

Тркалянский поток

Виктор Тркал рассматривал потоки Бельтрами без каких-либо внешних сил в 1919 году для скалярной функции , т. Е. ${\ Displaystyle \ альфа (\ mathbf {х}, т) = с = {\ текст {константа}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ partial t}} = \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}, \ quad {\ boldsymbol {\ omega }} = c \ mathbf {v}.}$

Введем следующее разделение переменных

${\ displaystyle \ mathbf {v} = e ^ {- c ^ {2} \ nu t} \ mathbf {g} (\ mathbf {x}),}$

тогда уравнение, которому удовлетворяет, становится ${\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {g} = c \ mathbf {g}.}$

Решение Беркера

Ратип Беркер получил решение в декартовых координатах для в 1963 г. ${\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} = \ cos \ left ({\ frac {cx} {\ sqrt {2}}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {cy} {\ sqrt {2}}} \ right) \ left [- {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e_ {x}} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e_ {y }} + \ mathbf {e_ {z}} \ right].}$

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {v} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}$

что менее ограничительно, чем условие Бельтрами . В отличие от нормальных течений Бельтрами, обобщенное течение Бельтрами можно изучать для плоских и осесимметричных течений. ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} = 0}$

Устойчивые плоские потоки

Для устойчивого обобщенного потока Бельтрами мы имеем, а поскольку он также плоский, мы имеем . Представляем функцию потока ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = 0, \ \ nabla \ times (\ mathbf {v} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (u, v, 0), \ {\ boldsymbol {\ omega}} = (0,0, \ zeta)}$

${\ displaystyle u = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}}, \ quad v = - {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}, \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla ^ {2} \ psi = - \ zeta.}$

Интеграция дает . Итак, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям ${\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {v} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}$${\ displaystyle \ zeta = -f (\ psi)}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = - \ zeta, \ quad \ nabla ^ {2} \ zeta = 0, \ quad \ zeta = -f (\ psi).}$

Рассмотрен частный случай, когда поле течения имеет однородную завихренность . Ван (1991) дал обобщенное решение как ${\ displaystyle f (\ psi) = C = {\ text {constant}}}$

${\ displaystyle \ zeta = \ psi + A (x, y), \ quad A (x, y) = ax + by}$

предполагая линейную функцию для . Подставляя это в уравнение завихренности и вводя разделение переменных с разделительной постоянной, получаем ${\ Displaystyle А (х, у)}$ ${\ Displaystyle \ psi (х, у) = Х (х) Y (у)}$${\ displaystyle \ lambda ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + {\ frac {b} {\ nu}} {\ frac {dX} {dx}} - \ lambda ^ {2 } X = 0, \ quad {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} - {\ frac {a} {\ nu}} {\ frac {dY} {dy}} + \ лямбда ^ {2} Y = 0.}$

Решение, полученное для различных вариантов выбора, можно интерпретировать по-разному, например, представляет поток ниже по потоку через однородную сетку, представляет поток, создаваемый растягивающейся пластиной, представляет поток в угол, представляет собой асимптотический профиль всасывания и т. Д. ${\ displaystyle a, \ b, \ \ lambda}$${\ displaystyle a = 0, \ b = -U, \ lambda ^ {2}> 0}$${\ Displaystyle а = -U, \ b = 0, \ лямбда ^ {2} = 0}$${\ displaystyle a = -U, \ b = U, \ lambda ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle а = -V, \ b = -U, \ лямбда ^ {2} = 0}$

Плоские нестационарные течения

Здесь,

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = - \ zeta, \ quad {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial t}} = \ nabla ^ {2} \ zeta, \ quad \ zeta = -f (\ psi, t)}$ .

Затухающие вихри Тейлора

Г. И. Тейлор дал решение для частного случая, когда , где - постоянная в 1923 году. Он показал, что разделение удовлетворяет уравнению, а также ${\ displaystyle \ zeta = K \ psi}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ пси = е ^ {- К \ ню т} \ пси (х, у)}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = -K \ Psi.}$

Тейлор также рассмотрел пример распадающейся системы водоворотов, попеременно вращающихся в противоположных направлениях и расположенных в виде прямоугольного массива.

${\ displaystyle \ Psi = A \ cos {\ frac {\ pi x} {d}} \ cos {\ frac {\ pi y} {d}}}$

которая удовлетворяет приведенному выше уравнению с , где - длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей распадается как ${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {2 \ pi ^ {2}} {d ^ {2}}}}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle \ psi = A \ cos \ left ({\ frac {\ pi x} {d}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ pi y} {d}} \ right) e ^ { - {\ frac {2 \ pi ^ {2}} {d ^ {2}}} \ nu t}.}$

Установившиеся осесимметричные потоки

Вот и есть . Интегрирование дает и три уравнения: ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (u_ {r}, 0, u_ {z} \ right), \ {\ boldsymbol {\ omega}} = (0, \ zeta, 0)}$${\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {v} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}$${\ Displaystyle \ zeta = RF (\ psi)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} \ right) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial z ^ {2}}} = - \ zeta, \ quad \ nabla ^ {2} \ zeta = 0, \ quad \ zeta = rf (\ psi)}$

Первое уравнение - это уравнение Хикса . Маррис и Асуани (1977) показали, что единственно возможное решение, а остальные уравнения сводятся к ${\ displaystyle f (\ psi) = C = {\ text {constant}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial r ^ {2}}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial r }} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial z ^ {2}}} + Cr ^ {2} = 0}$

Простым набором решений вышеуказанного уравнения является

${\ displaystyle \ psi (r, z) = c_ {1} r ^ {4} + c_ {2} r ^ {2} z ^ {2} + c_ {3} r ^ {2} + c_ {4} r ^ {2} z + c_ {5} \ left (r ^ {6} -12r ^ {4} z ^ {2} + 8r ^ {2} z ^ {4} \ right), \ quad C = - \ left (8c_ {1} + 2c_ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle c_ {1}, c_ {4} \ neq 0, \ c_ {2}, c_ {3}, c_ {5} = 0}$ представляет поток за счет двух противоположных вращательных потоков на параболической поверхности, представляет вращательное течение на плоской стенке, представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай - сферический вихрь Хилла), представляет собой тип тороидального вихря и т. д. ${\ displaystyle c_ {2} \ neq 0, c_ {1}, c_ {3}, c_ {4}, c_ {5} = 0}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, c_ {3} \ neq 0, \ c_ {4}, c_ {5} = 0}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {3}, c_ {5} \ neq 0, \ c_ {2}, c_ {4} = 0}$

Однородное решение для, как показано Беркером ${\ displaystyle C = 0}$

${\ displaystyle \ psi = r \ left [A_ {k} J_ {1} (kr) + B_ {k} Y_ {1} (kr) \ right] \ left (C_ {k} e ^ {kz} + D_ {k} e ^ {- kz} \ right)}$

где - функция Бесселя первого рода и функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем вышеуказанного решения является поток Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями транспирации на стенках. В 1958 году Чиа-Шун Йи нашел решение проблемы течения Пуазейля в раковину, когда . ${\ Displaystyle J_ {1} (кр), Y_ {1} (кр)}$${\ Displaystyle C = 2, \, c_ {1} = - 1/4, \, c_ {3} = 1/2, \, c_ {2} = c_ {4} = c_ {5} = B_ {k } = C_ {k} = 0}$

Смотрите также

• Поток Громека – Арнольда – Бельтрами – Чайлдресса (GABC)

Рекомендации