Пространство Берковича - Berkovich space

В математике , Беркович пространство , введенный Беркович  ( 1990 ), представляет собой версия аналитического пространства над неархимедами поля (например , р -адического полем ), уточнение понятия Тейта из более жесткого аналитического пространства .

Мотивация

В сложном случае, алгебраической геометрии начинается с определения комплексного аффинного пространства быть Для каждого мы определим на кольцо из аналитических функций на быть кольцо голоморфных функций , то есть функции на которые можно записать в виде сходящегося степенного ряда в окрестности от каждая точка. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n},}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U},}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Затем мы определяем пространство локальной модели, чтобы оно было ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {U}}$

${\ displaystyle X: = \ {x \ in U: f_ {1} (x) = \ cdots = f_ {n} (x) = 0 \}}$

с A комплексного аналитического пространства локально кольчатых -пространством , локально изоморфно локальной модели пространства. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {U} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}).}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

Когда есть полное неархимедово поле, у нас оно полностью отключено . В таком случае, если мы продолжим то же определение, что и в сложном случае, мы не получим хорошей аналитической теории. Беркович дал определение, которое дает хорошие аналитические пространства над такими , а также возвращает обычное определение над ними.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Помимо определения аналитических функций над неархимедовыми полями, у пространств Берковича также есть хорошее основное топологическое пространство .

Спектр Берковича

Полунормой на кольце не является постоянной функцией таким образом, что ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle | \! - \! |: от А \ до \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} | 0 | & = 0 \\ | 1 | & = 1 \\ | f + g | & \ leqslant | f | + | g | \\ | fg | & \ leqslant | f || g | \ конец {выровнено}}}$

для всех . Это называется мультипликативным , если и называется нормой , если подразумевает . ${\ displaystyle f, g \ in A}$${\ displaystyle | fg | = | f || g |}$${\ displaystyle | f | = 0}$${\ displaystyle f = 0}$

Если нормированное кольцо с нормой , то спектр Берковича из , обозначенных , является набором мультипликативного полунорма на которые ограничены по норме . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ | \! - \! \ |}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (А)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Спектр Берковича снабжен самой слабой топологией, такой что для любого отображения ${\ displaystyle f \ in A}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi _ {f}: {\ mathcal {M}} (A) \ to \ mathbb {R} \\ | \ cdot | \ mapsto | f | \ end {cases}} }$

является непрерывным .

Спектр Берковича нормированного кольца является непустым , если это не равен нулю и является компактным , если будет завершена. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Если есть точка спектра , то элементы с формой в простом идеале из . Поле частных фактора по этому простому идеалу является нормированным полем, пополнение которого является полным полем с мультипликативной нормой; это поле обозначается, а изображение элемента обозначается . Поле создается изображением . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f | _ {x} = 0}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (х)}$${\ displaystyle f \ in A}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (х)}$${\ displaystyle A}$

И наоборот, ограниченное отображение из в полное нормированное поле с мультипликативной нормой, порожденное образом поля, дает точку в спектре поля . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Спектральный радиус ${\ displaystyle f,}$

${\ displaystyle \ rho (f) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | f ^ {n} \ right \ | ^ {\ frac {1} {n}}}$

равно

${\ displaystyle \ sup _ {x \ in {\ mathcal {M}} (A)} | f | _ {x}.}$

Примеры

• Спектр поля, завершенного относительно оценки, представляет собой единственную точку, соответствующую его оценке.

• Если - коммутативная C * -алгебра, то спектр Берковича совпадает со спектром Гельфанда . Точка спектра Гельфанда по существу гомоморфизм с , а его абсолютное значение соответствующего полунормой в спектре Берковича.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• Теоремы Островский показывает , что спектр Берковича из целых чисел (с обычной нормой) состоит из степеней обычной оценки, для премьера или . Если - простое число, то и если, то Когда все они совпадают с тривиальной оценкой всех ненулевых элементов. Для каждого (простого или бесконечного) мы получаем ветвь, которая гомеоморфна действительному интервалу , ветви пересекаются в точке, соответствующей тривиальной оценке. Открытые окрестности тривиальных оценок таковы, что они содержат все ветви, кроме конечного числа, и их пересечение с каждой ветвью открыто.${\ displaystyle | f | _ {p} ^ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle 0 \ leqslant \ varepsilon \ leqslant \ infty,}$${\ displaystyle p = \ infty}$${\ Displaystyle 0 \ leqslant \ varepsilon \ leqslant 1.}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle p}$

Аффинное пространство Берковича

Если - поле с оценкой , то n -мерное аффинное пространство Берковича над , обозначается , является множеством мультипликативных полунорм на продолжении нормы на . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle k}$

Аффинное пространство Берковича оснащено самой слабой топологией такой , что для любой карты принятия к непрерывно. Это не спектр Берковича, а возрастающее объединение спектров Берковича колец степенных рядов, сходящихся в некотором шаре (поэтому он локально компактен). ${\ displaystyle f \ in k}$${\ displaystyle \ varphi _ {f}: \ mathbb {A} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle | \ cdot | \ в \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ displaystyle | f |}$

Определим аналитическую функцию на открытом подмножестве - это отображение ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {A} ^ {n}}$

${\ displaystyle f: U \ to \ prod _ {x \ in U} {\ mathcal {H}} (x)}$

с которым является локальным пределом рациональных функций, т. е. таким, что каждая точка имеет открытую окрестность со следующим свойством: ${\ Displaystyle е (х) \ in {\ mathcal {H}} (х)}$${\ Displaystyle х \ в U}$${\ Displaystyle U '\ подмножество U}$

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \, \ exists g, h \ in {\ mathcal {k}} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]: \ qquad \ forall x '\ in U' \ left (h (x ') \ neq 0 \ \, \ land \ \ left | f (x') - {\ frac {g (x ')} {h (x')}} \ right | <\ varepsilon \право).}$

Продолжая с теми же определениями, что и в комплексном случае, можно определить кольцо аналитических функций, локальное модельное пространство и аналитические пространства над любым полем с оценкой (можно также определить аналогичные объекты над нормированными кольцами). Это дает разумные объекты для полей, полных относительно нетривиальной оценки и кольца целых чисел${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$

В том случае, если это даст те же объекты, что описаны в разделе мотивации. ${\ Displaystyle к = \ mathbb {C},}$

Не все эти аналитические пространства являются аналитическими пространствами над неархимедовыми полями.

Аффинная линия Берковича

1-мерное аффинное пространство Беркович называется аффинной прямой Беркович . Когда алгебраически замкнутое неархимедово поле, в полном соответствии с его оценкой, можно описать все точки аффинной прямой. ${\ displaystyle k}$

Есть каноническое вложение . ${\ Displaystyle к \ hookrightarrow \ mathbb {A} _ {k} ^ {1}}$

Пространство является локально компактным, хаусдорфовым и однозначно линейно связным топологическим пространством, содержащим в качестве плотного подпространства . ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ displaystyle k}$

Можно также определить проективную прямую Берковича , присоединив подходящим образом к бесконечно удаленной точке. Полученное пространство является компактным, хаусдорфовым и однозначно линейно связным топологическим пространством, содержащим в качестве плотного подпространства. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} (к)}$

Ссылки

• Бейкер, Мэтью; Конрад, Брайан; Дасгупта, Самит; Кедлая, Киран С .; Тейтельбаум, Джереми (2008), Такур, Динеш С .; Савитт, Дэвид (ред.), P-адическая геометрия , Серия лекций в университете, 45 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4468-7, MR  2482343
• Бейкер, Мэтью; Рамели, Роберт (2010), Теория потенциала и динамика на проективной линии Берковича , Математические обзоры и монографии, 159 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4924-8, MR  2599526
• Беркович, Владимир Г. (1990), Спектральная теория и аналитическая геометрия над неархимедовыми полями , Математические обзоры и монографии, 33 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1534-2, Руководство по ремонту  1070709
• Беркович, Владимир Г. (1993), "Этальные когомологии для неархимедовых аналитических пространств" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161, ISSN  1618-1913 , MR  1259429

внешние ссылки

• Пространство Берковича в nLab
• Institut de Mathématiques de Jussieu Летняя школа «Пространства Берковича» 2010