Теорема Бора – Ван Левена - Bohr–Van Leeuwen theorem

Бор-Ван Leeuwen теорема утверждает , что когда статистическая механика и классическая механика применяются последовательно, то термодинамическое среднее от намагниченности всегда равна нулю. Это делает магнетизм в твердых телах исключительно квантово-механическим эффектом и означает, что классическая физика не может объяснить парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм . Неспособность классической физики объяснить трибоэлектричество также проистекает из теоремы Бора – Ван Левена.

История

То, что сегодня известно как теорема Бора – Ван Левена, было открыто Нильсом Бором в 1911 году в его докторской диссертации, а позже было переоткрыто Хендрикой Йоханной ван Левен в ее докторской диссертации в 1919 году. В 1932 году Ван Флек формализовал и расширил первоначальную теорему Бора. в книге, которую он написал об электрической и магнитной восприимчивости.

Значение этого открытия состоит в том, что классическая физика не допускает таких вещей, как парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм, и поэтому квантовая физика необходима для объяснения магнитных событий. Этот результат, «возможно, самая дефляционная публикация всех времен», возможно, способствовал развитию Бором квазиклассической теории атома водорода в 1913 году.

Доказательство

Интуитивное доказательство

Теорема Бора – Ван Левена применима к изолированной системе, которая не может вращаться. Если изолированной системе разрешено вращаться в ответ на внешнее магнитное поле, то эта теорема неприменима. Если, кроме того, существует только одно состояние теплового равновесия при данной температуре и поле, и системе дается время вернуться в равновесие после приложения поля, то намагничивания не будет.

Вероятность того, что система будет находиться в заданном состоянии движения, предсказывается статистикой Максвелла – Больцмана как пропорциональная , где - энергия системы, - постоянная Больцмана , - абсолютная температура . Эта энергия равна сумме кинетической энергии ( для частицы с массой и скоростью ) и потенциальной энергии .

Магнитное поле не вносит вклад в потенциальную энергию. Сила Лоренца, действующая на частицу с зарядом и скоростью, равна

где это электрическое поле , и это плотность магнитного потока . Темп выполненных работ есть и не зависит от . Следовательно, энергия не зависит от магнитного поля, поэтому распределение движений не зависит от магнитного поля.

В нулевом поле не будет чистого движения заряженных частиц, потому что система не может вращаться. Следовательно, средний магнитный момент будет равен нулю. Поскольку распределение движений не зависит от магнитного поля, момент теплового равновесия остается нулевым в любом магнитном поле.

Более формальное доказательство

Чтобы упростить доказательство, будет использована система с электронами.

Это уместно, поскольку большая часть магнетизма в твердом теле переносится электронами, и доказательство легко обобщается на более чем один тип заряженных частиц.

Каждый электрон имеет отрицательный заряд и массу .

Если его положение и скорость равны , он производит ток и магнитный момент.

Вышеприведенное уравнение показывает, что магнитный момент является линейной функцией координат скорости, поэтому полный магнитный момент в данном направлении должен быть линейной функцией вида

где точка представляет собой производную по времени и являются векторными коэффициентами, зависящими от координат положения .

Статистика Максвелла – Больцмана дает вероятность того, что n-я частица имеет импульс и координату, как

где - гамильтониан , полная энергия системы.

Тогда тепловое среднее любой функции этих обобщенных координат равно

В присутствии магнитного поля

где это магнитный векторный потенциал , и это электрический скалярный потенциал . Для каждой частицы компоненты импульса и положения связаны уравнениями гамильтоновой механики :

Следовательно,

так что момент является линейной функцией импульсов .

Термически усредненный момент,

- сумма слагаемых, пропорциональных интегралам вида

где представляет собой одну из координат момента.

Подынтегральное выражение является нечетной функцией от , поэтому оно обращается в нуль.

Поэтому .

Приложения

Теорема Бора – Ван Левена полезна в нескольких приложениях, включая физику плазмы : «Все эти ссылки основывают обсуждение теоремы Бора – Ван Левена на физической модели Нильса Бора, в которой идеально отражающие стены необходимы для обеспечения токов, которые нейтрализуют сеть. вклад изнутри элемента плазмы и приводит к нулевому чистому диамагнетизму элемента плазмы ».

Диамагнетизм чисто классической природы возникает в плазме, но является следствием теплового неравновесия, такого как градиент плотности плазмы. Электромеханика и электротехника также видят практическую пользу из теоремы Бора – Ван Левена.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки