Уравнение Борда – Карно - Borda–Carnot equation

В гидродинамике уравнение Борда-Карно представляет собой эмпирическое описание механических энергетических потерь жидкости из - за (внезапный) поток расширение. Он описывает, как общий напор уменьшается из-за потерь. Это контрастирует с принципом Бернулли для потока без диссипации (без необратимых потерь), где полный напор является постоянным вдоль линии тока . Уравнение названо в честь Жана-Шарля де Борда (1733–1799) и Лазара Карно (1753–1823).

Это уравнение используется как для потока в открытом канале, так и для потоков в трубопроводе . В тех частях потока, где необратимые потери энергии незначительны, можно использовать принцип Бернулли.

Формулировка

Уравнение Борда – Карно:

где

  • ΔE - потери механической энергии жидкости,
  • ξ - эмпирический коэффициент потерь, который безразмерен и имеет значение от нуля до единицы, 0 ≤ ξ ≤ 1,
  • ρ - плотность жидкости ,
  • v 1 и v 2 - средние скорости потока до и после расширения.

В случае резкого и широкого расширения коэффициент потерь равен единице. В других случаях коэффициент потерь необходимо определять другими способами, чаще всего по эмпирическим формулам (на основе данных, полученных экспериментально ). Уравнение потерь Борда – Карно справедливо только для убывающей скорости, v 1 > v 2 , в противном случае потеря ΔE равна нулю - без механической работы за счет дополнительных внешних сил не может быть выигрыша в механической энергии жидкости.

На коэффициент потерь ξ можно повлиять за счет обтекаемости . Например, в случае расширения трубы использование постепенно расширяющегося диффузора может снизить потери механической энергии.

Связь с общим напором и принципом Бернулли

Уравнение Борда – Карно дает уменьшение постоянной уравнения Бернулли . Для несжимаемого потока результат - для двух точек, обозначенных 1 и 2, с местоположением 2 ниже по потоку до 1 - вдоль линии тока :

с участием

Первые три члена по обе стороны от знака равенства представляют собой давление, плотность кинетической энергии жидкости и плотность потенциальной энергии, обусловленную гравитацией. Как видно, давление эффективно действует как форма потенциальной энергии.

В случае трубопроводов высокого давления, когда гравитационным воздействием можно пренебречь, ΔE равно потерям Δ ( p + ½ ρv 2 ):

Для открытых каналов потоков , & Delta ; Е связана с общей головой потери & Dgr ; H , как:

с H общий напор:

где ч является гидравлическим напор - свободная поверхность высоты над опорной точкой привязки : ч  =  г  +  р / ( ρg ).

Примеры

Внезапное расширение трубы

Внезапное расширение потока.

Уравнение Борда – Карно применяется к потоку при внезапном расширении горизонтальной трубы. В сечении 1 средняя скорость потока равна v 1 , давление равно p 1, а площадь сечения равна A 1 . Соответствующие величины потока в поперечном сечении 2 - далеко позади расширения (и областей отрывного потока ) - это v 2 , p 2 и A 2 соответственно. При расширении поток отделяется и возникают зоны турбулентного рециркуляционного потока с потерями механической энергии. Коэффициент потерь ξ для этого внезапного расширения примерно равен единице: ξ  ≈ 1.0. Из-за сохранения массы, при условии постоянной плотности жидкости ρ , объемный расход через оба сечения 1 и 2 должен быть одинаковым:

    так    

Следовательно, согласно уравнению Борда-Карно, потеря механической энергии при этом внезапном расширении составляет:

Соответствующая потеря общего напора ΔH составляет:

В этом случае с ξ  = 1 полное изменение кинетической энергии между двумя поперечными сечениями рассеивается. В результате перепад давления между обоими поперечными сечениями составляет (для этой горизонтальной трубы без эффектов силы тяжести):

и изменение гидравлического напора h  =  z  +  p / ( ρg ):

Знак «минус» перед правой стороной означает, что давление (и гидравлический напор) после расширения трубы выше. То, что это изменение давления (и гидравлического напора) непосредственно перед и после расширения трубы соответствует потере энергии, становится ясно при сравнении с результатами принципа Бернулли . Согласно этому принципу отсутствия диссипации, снижение скорости потока связано с гораздо большим увеличением давления, чем в данном случае с потерями механической энергии.

Внезапное сокращение трубы

Течение через резкое сокращение диаметра трубы с пузырьками отрыва потока около поперечного сечения 3.

В случае резкого уменьшения диаметра трубы без обтекания поток не сможет следовать по крутому изгибу в более узкую трубу. В результате происходит разделение потока , создающее рециркулирующие разделительные зоны на входе в более узкую трубу. Основной поток сжимается между разделенными областями потока, а затем снова расширяется, чтобы покрыть всю площадь трубы.

Между поперечным сечением 1 перед сокращением и поперечным сечением 3, вены, в которой основной поток сокращается больше всего , наблюдается небольшая потеря напора . Но есть существенные потери при расширении потока от сечения 3 до 2. Эти потери напора могут быть выражены с помощью уравнения Борда – Карно с использованием коэффициента сжатия μ :

где A 3 - площадь поперечного сечения в месте наиболее сильного сжатия 3 основного потока, а A 2 - площадь поперечного сечения более узкой части трубы. Поскольку A 3  ≤  A 2 , коэффициент сжатия меньше единицы: μ  ≤ 1. Снова наблюдается сохранение массы, поэтому объемные потоки в трех поперечных сечениях являются постоянными (для постоянной плотности жидкости ρ ):

где v 1 , v 2 и v 3 - средняя скорость потока в соответствующих сечениях. Тогда, согласно уравнению Борда – Карно (с коэффициентом потерь ξ = 1), потеря энергии ΔE на единицу объема жидкости и из-за сжатия трубы составляет:

Соответствующая потеря общего напора ΔH может быть вычислена как ΔH  =  ΔE / ( ρg ).

Согласно измерениям Weisbach , коэффициент сжатия при сжатии с острыми краями приблизительно равен:

Вывод из баланса импульса для внезапного расширения

Для внезапного расширения трубы, см. Рисунок выше , уравнение Борда – Карно может быть получено из сохранения массы и импульса потока. Поток количества движения S (т.е. для составляющей количества движения жидкости, параллельной оси трубы) через поперечное сечение площади A равен - согласно уравнениям Эйлера :

Рассмотрим сохранение массы и количества движения для контрольного объема, ограниченного поперечным сечением 1 перед расширением, поперечным сечением 2 после того места, где поток снова присоединяется к стенке трубы (после отделения потока при расширении), и стенка трубы. Имеется прирост импульса S 1 контрольного объема на притоке и потеря S 2 на оттоке. Кроме того, существует также вклад силы F за счет давления на жидкость, оказываемого стенкой расширения (перпендикулярно оси трубы):

где предполагалось, что давление равно близкому давлению на входе p 1 .

Добавляя вклады, баланс импульса для контрольного объема между сечениями 1 и 2 дает:

Следовательно, поскольку по сохранению массы ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 :

в соответствии с перепадом давления Δ p в приведенном выше примере.

Потери механической энергии Δ E составляют:

которое является уравнением Борды – Карно (с ξ = 1).

Смотрите также

Ноты

Ссылки