Эффект бабочки - Butterfly effect

График странного аттрактора Лоренца для значений ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. Эффект бабочки или чувствительная зависимость от начальных условий - это свойство динамической системы, что, начиная с любого из различных произвольно близких альтернативных начальных условий на аттракторе, повторяющиеся точки будут произвольно разнесены друг от друга.

Воспроизвести медиа

Экспериментальная демонстрация эффекта бабочки с разными записями одного и того же двойного маятника. В каждой записи маятник начинается почти с одинакового начального состояния. Со временем различия в динамике растут от почти незаметных до резких.

В теории хаоса , то эффект бабочки является чувствительной зависимостью от начальных условий , в которых небольшое изменение одного состояния детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии.

Этот термин тесно связан с работой математика и метеоролога Эдварда Лоренца . Он отметил, что эффект бабочки происходит из метафорического примера деталей торнадо (точное время образования, точный пройденный путь), на которые влияют незначительные возмущения, такие как далекая бабочка, хлопающая крыльями несколькими неделями ранее. Лоренц обнаружил эффект, когда он наблюдал прогоны своей модели погоды с данными начальных условий, которые были округлены, казалось бы, несущественным образом. Он отметил, что погодная модель не сможет воспроизвести результаты прогонов с необоснованными данными о начальных условиях. Очень небольшое изменение начальных условий привело к существенно иному результату.

Идея о том, что небольшие причины могут иметь большое влияние на погоду, была ранее признана французским математиком и инженером Анри Пуанкаре . Американский математик и философ Норберт Винер также внес свой вклад в эту теорию. Эдвард Лоренц работа «s поместил понятие нестабильности земной атмосферы на количественной основе и связано понятие неустойчивости свойств больших классов динамических систем, подвергающихся нелинейную динамику и детерминированный хаос .

С тех пор концепция эффекта бабочки использовалась вне контекста науки о погоде как широкий термин для любой ситуации, когда небольшое изменение должно быть причиной более серьезных последствий.

История

В «Призвании человека» (1800) Иоганн Готлиб Фихте говорит, что «невозможно удалить ни одной песчинки с ее места, не изменив тем самым что-то во всех частях неизмеримого целого».

Теория хаоса и чувствительная зависимость от начальных условий описаны во многих литературных источниках. Об этом свидетельствует случай задачи трех тел с помощью Анри Пуанкаре в 1890. Позже он предположил , что такие явления могут быть распространены, например, в метеорологии.

В 1898 году Жак Адамар отметил общее расхождение траекторий в пространствах отрицательной кривизны. Пьер Дюэм обсуждал возможное общее значение этого в 1908 году.

Идея о том, что смерть одной бабочки может в конечном итоге оказать далеко идущее влияние на последующие исторические события, впервые появилась в рассказе Рэя Брэдбери « Звуки грома » 1952 года . В «Звуке грома» обсуждалась вероятность путешествия во времени.

В 1961 году Лоренц запускал численную компьютерную модель, чтобы сократить прогноз погоды из середины предыдущего запуска. Он ввел начальное условие 0,506 из распечатки вместо того, чтобы ввести значение 0,506127 с полной точностью. В результате получился совершенно другой погодный сценарий.

Лоренц писал:

«В какой-то момент я решил повторить некоторые вычисления, чтобы более подробно изучить происходящее. Я остановил компьютер, набрал строку чисел, которую он распечатал некоторое время назад, и снова запустил его. спустился в холл за чашкой кофе и вернулся примерно через час, за это время компьютер смоделировал примерно двухмесячную погоду. Напечатанные числа не были похожи на старые. Я сразу заподозрил слабую электрическую лампу или что-то еще. компьютерная неполадка, что было нередко, но перед тем, как обратиться в сервисную службу, я решил посмотреть, где именно произошла ошибка, зная, что это может ускорить процесс обслуживания. Вместо внезапного сбоя я обнаружил, что новые значения сначала повторяли старые, но вскоре после этого различались на одну, а затем на несколько единиц в последнем десятичном разряде, а затем начали отличаться в предпоследнем месте, а затем в месте до этого. Фактически, различия более или менее стабильно удваивались. n каждые четыре дня или около того, пока все сходство с исходным результатом не исчезнет где-то во втором месяце. Этого было достаточно, чтобы сказать мне, что произошло: числа, которые я ввел, не были точными исходными числами, а были округленными значениями, появившимися в исходной распечатке. Виноваты первоначальные ошибки округления; они неуклонно усиливались, пока не стали доминировать над решением ». (Э. Н. Лоренц, Сущность Хаоса , U. Washington Press, Сиэтл (1993), стр. 134)

В 1963 году Лоренц опубликовал теоретическое исследование этого эффекта в широко цитируемой основополагающей статье под названием « Детерминированный непериодический поток» (расчеты были выполнены на компьютере Royal McBee LGP-30 ). В другом месте он заявил:

Один метеоролог заметил, что, если теория верна, одного взмаха крыльев чайки было бы достаточно, чтобы навсегда изменить ход погоды. Противоречие еще не улажено, но самые последние свидетельства, кажется, говорят в пользу чаек.

Следуя предложениям коллег, в более поздних выступлениях и статьях Лоренц использовал более поэтичную бабочку . По словам Лоренца, когда ему не удалось придумать название для выступления, которое он должен был представить на 139-м заседании Американской ассоциации содействия развитию науки в 1972 году, Филип Меррилес придумал, вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо. в Техасе? как заголовок. Хотя машущая крыльями бабочка оставалась неизменной в выражении этой концепции, местоположение бабочки, последствия и место последствий сильно различались.

Эта фраза относится к идее о том, что крылья бабочки могут создавать крошечные изменения в атмосфере, которые в конечном итоге могут изменить путь торнадо или задержать, ускорить или даже предотвратить возникновение торнадо в другом месте. Бабочка не приводит в действие и не создает торнадо напрямую, но этот термин предназначен для обозначения того, что взмах крыльев бабочки может вызвать торнадо: в том смысле, что взмах крыльев является частью начальных условий взаимосвязанного комплекса. сеть; один набор условий приводит к торнадо, а другой - нет. Хлопающее крыло представляет собой небольшое изменение начального состояния системы, которое приводит к крупномасштабным изменениям событий (сравните: эффект домино ). Если бы бабочка не махала крыльями, траектория движения системы могла бы сильно отличаться - но также в равной степени возможно, что набор условий без махающей крыльями бабочки - это набор, который приводит к торнадо.

Эффект бабочки представляет собой очевидную проблему для предсказания, поскольку начальные условия для системы, такие как погода, никогда не могут быть известны с полной точностью. Эта проблема мотивировала развитие ансамблевого прогнозирования , в котором ряд прогнозов делается на основе возмущенных начальных условий.

Некоторые ученые с тех пор утверждают, что погодная система не так чувствительна к начальным условиям, как считалось ранее. Дэвид Оррелл утверждает, что основной причиной ошибки прогноза погоды является ошибка модели, при этом чувствительность к начальным условиям играет относительно небольшую роль. Стивен Вольфрам также отмечает, что уравнения Лоренца сильно упрощены и не содержат членов, которые представляют вязкие эффекты; он считает, что эти члены будут иметь тенденцию гасить небольшие возмущения.

В то время как «эффект бабочки» часто объясняется как синоним чувствительной зависимости от начальных условий, описанной Лоренцем в его статье 1963 года (и ранее наблюдавшейся Пуанкаре), метафора бабочки первоначально применялась к работе, которую он опубликовал в 1969 году. идея шаг вперед. Лоренц предложил математическую модель того, как крошечные движения в атмосфере влияют на более крупные системы. Он обнаружил, что системы в этой модели могут быть предсказаны только до определенной точки в будущем, и, кроме того, уменьшение ошибки в начальных условиях не повысит предсказуемость (пока ошибка не равна нулю). Это продемонстрировало, что детерминированная система может быть «неотличима с наблюдений» от недетерминированной с точки зрения предсказуемости. Недавние пересмотры этой статьи предполагают, что она бросила серьезный вызов идее о детерминированности нашей Вселенной, сравнимую с проблемами, предлагаемыми квантовой физикой.

Иллюстрация

Эффект бабочки в аттракторе Лоренца
время 0 ≤  t  ≤ 30 (больше)		координата z (больше)
На этих рисунках показаны два сегмента трехмерной эволюции двух траекторий (одна синяя, а другая желтая) за один и тот же период времени в аттракторе Лоренца, начиная с двух начальных точек, которые отличаются только на 10 −5 по оси x -координат . Первоначально две траектории кажутся совпадающими, на что указывает небольшая разница между координатой z синей и желтой траекторий, но для t  > 23 разница равна значению траектории. Конечное положение конусов указывает на то, что две траектории больше не совпадают при t  = 30.
Анимация аттрактора Лоренца показывает непрерывную эволюцию.

Теория и математическое определение

Повторяемость , приблизительное возвращение системы к ее начальным условиям, вместе с чувствительной зависимостью от начальных условий, являются двумя основными составляющими хаотического движения. Они имеют практическое следствие того, что сложные системы , такие как погода , трудно предсказать за определенный период времени (примерно неделю в случае погоды), поскольку невозможно полностью точно измерить начальные атмосферные условия.

Динамическая система отображает чувствительная зависимость от начальных условий , если точки , сколь угодно близко друг к другу отдельно с течением времени с экспоненциальной скоростью. Определение не топологическое, а по сути метрическое.

Если M - пространство состояний для карты , то отображает чувствительную зависимость от начальных условий, если для любого x в M и любого δ> 0 есть y в M с расстоянием d (.,.), Такое что и такое, что ${\ displaystyle f ^ {t}}$${\ displaystyle f ^ {t}}$${\ displaystyle 0 <d (x, y) <\ delta}$

${\ Displaystyle d (е ^ {\ тау} (х), е ^ {\ тау} (у))> \ mathrm {е} ^ {а \ тау} \, d (х, у)}$

для некоторого положительного параметра a . Определение не требует, чтобы все точки из окрестности были отделены от базовой точки x , но требует одного положительного показателя Ляпунова .

Простейшая математическая структура, демонстрирующая чувствительную зависимость от начальных условий, обеспечивается определенной параметризацией логистической карты :

${\ displaystyle x_ {n + 1} = 4x_ {n} (1-x_ {n}), \ quad 0 \ leq x_ {0} \ leq 1,}$

которая, в отличие от большинства хаотических карт, имеет решение в замкнутой форме :

${\ displaystyle x_ {n} = \ sin ^ {2} (2 ^ {n} \ theta \ pi)}$

где начальное условие параметр задается . Для рациональных , после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность . Но почти все иррациональны, а, иррациональным , никогда не повторяется - это непериодическое. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса - растяжение и сворачивание: множитель 2 ⁿ показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки), в то время как функция квадрата синуса остается свернутой в пределах диапазон [0, 1]. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {\ pi}} \ sin ^ {- 1} (x_ {0} ^ {1/2})}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$

В физических системах

В погоду

Эффект бабочки наиболее известен с точки зрения погоды ; это может быть легко продемонстрировано, например, в стандартных моделях прогнозирования погоды. Ученые-климатологи Джеймс Аннан и Уильям Коннолли объясняют, что хаос важен в развитии методов прогнозирования погоды; модели чувствительны к начальным условиям. Они добавляют предостережение: «Конечно, существование неизвестной бабочки, машущей крыльями, не имеет прямого отношения к прогнозам погоды, так как такое небольшое возмущение займет слишком много времени, чтобы вырасти до значительных размеров, а у нас есть еще много более непосредственных результатов. неопределенности, о которых следует беспокоиться. Так что прямое влияние этого явления на прогноз погоды часто несколько неверно ".

В квантовой механике

Возможность чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки) изучалась в ряде случаев в полуклассической и квантовой физике, включая атомы в сильных полях и анизотропную проблему Кеплера . Некоторые авторы утверждали, что экстремальная (экспоненциальная) зависимость от начальных условий не ожидается в чисто квантовых подходах; однако чувствительная зависимость от начальных условий, демонстрируемая в классическом движении, включена в полуклассические методы обработки, разработанные Мартином Гуцвиллером и Делосом с сотрудниками. Теория случайных матриц и моделирование с помощью квантовых компьютеров доказывают, что некоторых версий эффекта бабочки в квантовой механике не существует.

Другие авторы предполагают, что эффект бабочки можно наблюдать в квантовых системах. Каркушевский и др. рассмотрим временную эволюцию квантовых систем, которые имеют несколько разные гамильтонианы . Они исследуют уровень чувствительности квантовых систем к небольшим изменениям данных гамильтонианов. Poulin et al. представили квантовый алгоритм для измерения спада верности, который «измеряет скорость, с которой идентичные начальные состояния расходятся, когда подвергаются немного разной динамике». Они считают распад верности «ближайшим квантовым аналогом (чисто классического) эффекта бабочки». В то время как классический эффект бабочки рассматривает эффект небольшого изменения положения и / или скорости объекта в данной гамильтоновой системе , квантовый эффект бабочки рассматривает эффект небольшого изменения в гамильтоновой системе с заданным начальным положением и скоростью. . Этот эффект квантовой бабочки был продемонстрирован экспериментально. Квантовые и полуклассические трактовки чувствительности системы к начальным условиям известны как квантовый хаос .

В популярной культуре

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Джеймс Глейк , Хаос: создание новой науки , Нью-Йорк: Викинг, 1987. 368 с.
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы . Westview Press. ISBN 0670811785.
• Хилборн, Роберт С. (2004). «Чайки, бабочки и кузнечики: краткая история эффекта бабочки в нелинейной динамике». Американский журнал физики . 72 (4): 425–427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . DOI : 10.1119 / 1.1636492 .
• Брэдбери, Рэй. «Звук грома». Кольера. 28 июня 1952 г.

внешние ссылки

• Погода и хаос: работа Эдварда Н. Лоренца . Короткий документальный фильм, объясняющий «эффект бабочки» в контексте работы Лоренца.
• Гипертекстовый книгу Хаоса . Введение в хаос и фракталы
• Значение бабочки: почему поп-культура любит «эффект бабочки» и понимает это совершенно неправильно , Питер Дизикес, The Boston Globe , 8 июня 2008 г.
• Институт сложных систем Новой Англии - Концепции: эффект бабочки
• Гипертекстовый книгу Хаоса . Введение в хаос и фракталы
• ChaosBook.org . Учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
• Вайсштейн, Эрик В. «Эффект бабочки» . MathWorld .