Элемент Казимира - Casimir element

В математике , А элемент Казимира (также известный как инвариант Казимира или оператор Казимира ) является известным элементом центра в универсальном обертывающем в виде алгебры Ли . Типичным примером является оператор квадрата углового момента , который является элементом Казимира из трехмерной группы вращения .

Элемент Казимира назван в честь Хендрика Казимира , который определил их в своем описании динамики твердого тела в 1931 году.

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира - квадратичный инвариант. Это самый простой способ определения, поэтому он дается первым. Однако могут быть и инварианты Казимира более высокого порядка, которые соответствуют однородным симметричным многочленам более высокого порядка; их определение дается в последнюю очередь.

Квадратичный элемент Казимира

Предположим, что это -мерная алгебра Ли . Пусть B невырожденная билинейная форма на том , что инвариантно относительно присоединенного действия в на себе, что означает , что для всех X, Y, Z в . (Наиболее типичным выбором B является форма Киллинга, если она полупроста .) Пусть

любая основа из и

двойственный базис по отношению к B . Элемент Казимира для B - это элемент универсальной обертывающей алгебры, задаваемый формулой

Хотя определение основывается на выборе базиса алгебры Ли, легко показать, что Ω не зависит от этого выбора. С другой стороны, Ω действительно зависит от билинейной формы B . Инвариантность B означает, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры Ли и, следовательно, лежит в центре универсальной обертывающей алгебры .

Инвариант Казимира линейного представления и гладкого действия

Для данного представления ρ на векторном пространстве V, возможно, бесконечномерном, инвариант Казимира для ρ определяется как ρ (Ω), линейный оператор на V, задаваемый формулой

Конкретный вид этой конструкции играет важную роль в дифференциальной геометрии и глобальном анализе. Пусть связная группа Ли G с алгеброй Ли действует на дифференцируемом многообразии M . Рассмотрим соответствующее представление ρ группы G в пространстве гладких функций на M. Тогда элементы из представляются дифференциальными операторами первого порядка на M. В этой ситуации инвариант Казимира для ρ является G-инвариантным дифференциальным оператором второго порядка на M, определенным по приведенной выше формуле.

Специализируясь далее, если случается, что M имеет риманову метрику, на которой G действует транзитивно изометриями, а стабилизирующая подгруппа G x точки действует неприводимо на касательном пространстве M в точке x , то инвариант Казимира ρ является скалярным кратным от оператора Лапласа наступающего из метрики.

Также могут быть определены более общие инварианты Казимира, обычно встречающиеся при изучении псевдодифференциальных операторов в теории Фредгольма .

Общий случай

В статье об универсальных обертывающих алгебрах дается подробное и точное определение операторов Казимира и излагаются некоторые их свойства. В частности, все операторы Казимира соответствуют симметричным однородным полиномам в симметрической алгебре в присоединенном представлении То есть, в общем, один имеет , что любой оператор Казимира будет иметь вид

где т есть порядок симметричного тензора и образует векторное пространство , базис из Это соответствует симметричному однородному многочлену

в т неопределенных переменных в алгебре многочленов над полем K . Причина симметрии следует из теоремы PBW и более подробно обсуждается в статье об универсальных обертывающих алгебрах .

Подойдет не любой симметричный тензор (симметричный однородный многочлен); он должен явно коммутировать со скобкой Ли. То есть нужно иметь это

для всех базисных элементов Любой предложенный симметричный многочлен можно явно проверить, используя структурные константы

чтобы получить

Первоначально этот результат принадлежит Израилю Гельфанду . Из соотношения коммутации следует, что операторы Казимира лежат в центре универсальной обертывающей алгебры и, в частности, всегда коммутируют с любым элементом алгебры Ли. Это связано с этим свойством коммутации, которое позволяет помечать представление алгебры Ли собственными значениями ассоциированных операторов Казимира.

Любая линейная комбинация симметричных многочленов, описанных выше, также будет лежать в центре: следовательно, операторы Казимира, по определению, ограничены тем подмножеством, которое охватывает это пространство (которое обеспечивает основу для этого пространства). Для полупростой алгебры Ли ранга г , будет г Казимира инварианты.

Характеристики

Уникальность

Поскольку для простой алгебры Ли каждая инвариантная билинейная форма кратна форме Киллинга , соответствующий элемент Казимира определен однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое верно и для пространства соответствующих операторов Казимира.

Связь с лапласианом на G

Если - группа Ли с алгеброй Ли , выбор инвариантной билинейной формы на соответствует выбору биинвариантной римановой метрики на . Тогда при идентификации универсальных обертывающей части с левыми инвариантными дифференциальными операторами на , Казимир элемент билинейной формы на карты к лапласиану из (по отношению к соответствующему би-инвариантная метрика).

Обобщения

Оператор Казимира выдающийся квадратичный элемент центра в универсальной обертывающей алгебры Ли. Другими словами, это член алгебры всех дифференциальных операторов, коммутирующий со всеми образующими в алгебре Ли. Фактически все квадратичные элементы в центре универсальной обертывающей алгебры возникают таким образом. Однако центр может содержать другие, неквадратичные элементы.

По теореме Рака для полупростой алгебры Ли размерность центра универсальной обертывающей алгебры равна ее рангу . Оператор Казимира дает понятие лапласиана на общей полупростой группе Ли ; но этот способ подсчета показывает, что не может быть единственного аналога лапласиана для ранга> 1.

По определению любой член центра универсальной обертывающей алгебры коммутирует со всеми остальными элементами алгебры. По лемме Шура в любом неприводимом представлении алгебры Ли оператор Казимира пропорционален единице. Эту константу пропорциональности можно использовать для классификации представлений алгебры Ли (а значит, и ее группы Ли ). Физическая масса и спин являются примерами этих констант, как и многие другие квантовые числа в квантовой механике . На первый взгляд топологические квантовые числа составляют исключение из этого паттерна; хотя более глубокие теории намекают, что это две грани одного и того же явления.

Пример: sl (2)

Алгебра Ли состоит из двух комплексных матриц с нулевым следом. Есть три стандартных базисных элементов, , и , с

, , .

Коммутаторы

, И

Можно показать, что элемент Казимира

Пример: so (3)

Алгебра Ли - это алгебра Ли SO (3) , группы вращений трехмерного евклидова пространства . Он простой ранга 1, поэтому в нем есть единственный независимый Казимир. Форма Киллинга для группы вращения - это просто дельта Кронекера , и поэтому инвариант Казимира - это просто сумма квадратов образующих алгебры. То есть инвариант Казимира задается формулой

Рассмотрим неприводимое представление , в котором наибольшее собственное значение является , где возможные значения являются . Инвариантность оператора Казимира означает, что он кратен тождественному оператору . Эту константу можно вычислить явно, получив следующий результат

В квантовой механике скалярная величина называется полным угловым моментом . Для конечномерных матричнозначных представлений группы вращений всегда принимает целые значения (для бозонных представлений ) или полуцелые значения (для фермионных представлений ).

Для данного значения матричное представление является -мерным. Так, например, трехмерное представление для соответствует и задается генераторами

где множители необходимы для согласия с используемым здесь физическим соглашением о том, что генераторы должны быть кососамосопряженными операторами.

Тогда квадратичный инвариант Казимира можно легко вычислить вручную, в результате чего

как когда . Точно так же двумерное представление имеет основу, заданную матрицами Паули , которые соответствуют спину 1/2, и можно снова проверить формулу Казимира прямым вычислением.

Собственные значения

Учитывая, что это центральный элемент в обертывающей алгебре, он действует на простые модули скаляром. Позвольте быть произвольной билинейной симметричной невырожденной формы, которой мы определяем . Пусть - конечномерный модуль старшего веса веса . Тогда элемент Казимира действует постоянной

где - вес, определяемый половиной суммы положительных корней.

Важным моментом является то, что если нетривиально (т. Е. Если ), то указанная выше константа не равна нулю. В конце концов, поскольку является доминирующим, если , то и , показывая это . Это наблюдение играет важную роль в доказательстве теоремы Вейля о полной сводимости . Также возможно доказать ненулевое значение собственного значения более абстрактным способом - без использования явной формулы для собственного значения - с использованием критерия Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 книги Хамфриса.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение