Каталонская постоянная - Catalan's constant

В математике , постоянная каталана $G$ , определяется

{\ displaystyle G = \ beta (2) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} - {\ frac {1 } {7 ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 ^ {2}}} - \ cdots,}

где $β$ - бета-функция Дирихле . Его числовое значение приблизительно (последовательность A006752 в OEIS )

G = 0,915 965594177219015054603514932384110774 \dots

Нерешенная задача по математике :

Каталонский постоянный иррациональный? Если да, то трансцендентно ли это?

(больше нерешенных задач по математике)

Не известно ли $G$ является иррациональным , не говоря уже о трансцендентном . $G$ был назван «возможно, самой основной константой, иррациональность и трансцендентность которой (хотя и сильно подозревается) остаются недоказанными».

Константа Каталонии была названа в честь Эжена Шарля Каталана , который нашел быстро сходящиеся ряды для ее расчета и опубликовал мемуары о ней в 1865 году.

Использует

В топологии малой размерности константа Каталана составляет 1/4 объема идеального гиперболического октаэдра и, следовательно, 1/4 гиперболического объема дополнения связи Уайтхеда . Это 1/8 объема набора колец Борромео .

В комбинаторике и статистической механики , оно возникает в связи с подсчетом домино разбиений , остовных деревьев и гамильтоновых циклов в графах сетки .

В теории чисел константа Каталана появляется в предполагаемой формуле для асимптотического числа простых чисел вида в соответствии с гипотезой F Харди и Литтлвуда . Однако остается нерешенным вопрос (одна из проблем Ландау ), существует ли хоть сколько-нибудь простых чисел такого вида. ${\ Displaystyle п ^ {2} +1}$

Постоянная каталана также появляется в расчете распределения массы в спиральных галактиках .

Известные цифры

Число известных цифр каталонской постоянной $G$ за последние десятилетия резко увеличилось. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр каталонской константы $G$
Дата	Десятичные цифры	Вычисление выполнено
1832 г.	16	Томас Клаузен
1858 г.	19	Карл Йохан Даниэльссон Хилл
1864 г.	14	Эжен Шарль Каталан
1877 г.	20	Джеймс В.Л. Глейшер
1913 г.	32	Джеймс В.Л. Глейшер
1990 г.	20 000	Грег Дж. Фи
1996 г.	50 000	Грег Дж. Фи
14 августа 1996 г.	100 000	Грег Дж. Фи и Саймон Плафф
29 сентября 1996 г.	300 000	Томас Папаниколау
1996 г.	1 500 000	Томас Папаниколау
1997 г.	3 379 957	Патрик Демишель
4 января 1998 г.	12 500 000	Ксавье Гурдон
2001 г.	100 000 500	Ксавье Гурдон и Паскаль Себа
2002 г.	201 000 000	Ксавье Гурдон и Паскаль Себа
Октябрь 2006 г.	5 000 000 000	Сигеру Кондо и Стив Пальяруло
Август 2008 г.	10 000 000 000	Сигеру Кондо и Стив Пальяруло
31 января 2009 г.	15 510 000 000	Александр Дж. Йи и Раймонд Чан
16 апреля 2009 г.	31 026 000 000	Александр Дж. Йи и Раймонд Чан
7 июня 2015 г.	200 000 001 100	Роберт Дж. Сетти
12 апреля 2016 г.	250 000 000 000	Рон Уоткинс
16 февраля 2019 г.,	300 000 000 000	Тициан Хансельманн
29 марта 2019 г.,	500 000 000 000	Майк Эй и Ян Катресс
16 июля 2019 г.,	600 000 000 100	Сынмин Ким
16 июля 2019 г.,	600 000 000 100	Роберт Рейнольдс

Интегральные тождества

Как пишет Шон Стюарт, «существует богатый и, казалось бы, бесконечный источник определенных интегралов, которые можно приравнять или выразить в терминах константы Каталонии». Некоторые из этих выражений включают:

{\ displaystyle {\ begin {align} G & = - {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ ln \ tan x \ ln \ tan x \, dx \\ [3pt] G & = \ iint _ {[0,1] ^ {2}} \! {\ frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}} } \, dx \, dy \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1-x} {\ frac {1} {1-x ^ {2} -y ^ {2}}} \, dy \, dx \\ [3pt] G & = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} \, dt \\ [3pt] G & = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {t} {\ sin t \ cos t}} \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {4 }} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {t} {\ sin t}} \, dt \\ [3pt ] G & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln \ cot t \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ tan t \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {2}} \ ln \ left (\ sec t + \ tan t \ right) \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arccos t} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {arcsinh} t} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ arctan t} {t {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {arccot} e ^ {t} \, dt \ \ [3pt] G & = {\ frac {1} {4}} \ int _ {0} ^ {{\ pi ^ {2}} / {4}} \ csc {\ sqrt {t}} \, dt \ \ [3pt] G & = {\ frac {1} {16}} \ left (\ pi ^ {2} +4 \ int _ {1} ^ {\ infty} \ operatorname {arccsc} ^ {2} t \, dt \ right) \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t} {\ ch t}} \, dt \\ [ 3pt] G & = {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (t ^ {4} -6t ^ {2} +1 \ right) \ ln \ ln t} {\ left (1 + t ^ {2} \ right) ^ {3}}} \, dt \\ [3pt] G & = 1 + \ lim _ {\ alpha \ to {1 ^ {- }}} \! \ left \ {\ int _ {0} ^ {\ alpha} \! {\ frac {\ left (1 + 6t ^ {2} + t ^ {4} \ right) \ arctan {t} } {t \ left (1-t ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dt + 2 \ operatorname {artanh} {\ alpha} - {\ frac {\ pi \ alpha} {1- \ alpha ^ {2}}} \ right \} \\ [3pt] G & = 1 - {\ frac {1} {8}} \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} \! \! {\ гидроразрыв {x \ sin \ left (2xy / \ pi \ right)} {\, \ left (x ^ {2} + \ pi ^ {2} \ right) \ cosh x \ sinh y \,}} \, dx \, dy \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ sqrt [{4}] {x}} \ left ({\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} - 1 \ right)} {(x + 1) ^ {2} {\ sqrt [{4}] {y}} (y ​​+ 1) ^ { 2} \ log (xy)}} dxdy \ end {выровнено}}}

где последние три формулы связаны с интегралами Мальмстена.

Если $K (k)$ - полный эллиптический интеграл первого рода как функция эллиптического модуля $k$ , то

{\ Displaystyle G = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {K} (k) \, dk}

Если $E (k)$ - полный эллиптический интеграл второго рода как функция эллиптического модуля $k$ , то

{\ Displaystyle G = - {\ tfrac {1} {2}} + \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {E} (k) \, dk}

С гамма-функцией $Γ (x + 1) = x!$

{\ displaystyle {\ begin {align} G & = {\ frac {\ pi} {4}} \ int _ {0} ^ {1} \ Gamma \ left (1 + {\ frac {x} {2}} \ right) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx \\ & = {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma (1 + y) \ Gamma (1-y) \, dy \ end {выровнено}}}

Интегральный

{\ displaystyle G = \ operatorname {Ti} _ {2} (1) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan t} {t}} \, dt}

- известная специальная функция, называемая интегралом обратной касательной , и она была подробно изучена Шринивасой Рамануджаном .

Отношение к другим специальным функциям

$G$ появляется в значениях второй функции полигаммы , также называемой функцией тригаммы , с дробными аргументами:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ psi _ {1} \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) & = \ pi ^ {2} + 8G \\\ psi _ {1} \ left ({\ tfrac {3} {4}} \ right) & = \ pi ^ {2} -8G. \ end {align}}}

Саймон Плафф дает бесконечный набор тождеств между тригамма-функцией $π$ ² и константой Каталонии; они выражаются как пути на графе.

Постоянная каталана часто возникает в связи с функцией Клаузна , в арктангенсе интеграла , в интеграл обратного синуса , в Barnes $G$ -функции , а также интегралы и ряд суммирует с точкой зрения указанных выше функций.

В качестве конкретного примера, сначала выражая интеграл обратной касательной в его замкнутой форме - в терминах функций Клаузена - а затем выражая эти функции Клаузена в терминах $G$ -функции Барнса , получается следующее выражение (подробнее см. Функцию Клаузена ) :

{\ displaystyle G = 4 \ pi \ log \ left ({\ frac {G \ left ({\ frac {3} {8}} \ right) G \ left ({\ frac {7} {8}} \ right) )} {G \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) G \ left ({\ frac {5} {8}} \ right)}} \ right) +4 \ pi \ log \ left ({\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {8}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {8}} \ right)}} \ right) + { \ frac {\ pi} {2}} \ log \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2 \ left (2 - {\ sqrt {2}} \ right)}} \ right ).}

Если определить трансцендент Лерха $Φ (z, s, α)$ (связанный с дзета-функцией Лерха ) следующим образом:

{\ displaystyle \ Phi (z, s, \ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(n + \ alpha) ^ {s}}}, }

тогда

{\ displaystyle G = {\ tfrac {1} {4}} \ Phi \ left (-1,2, {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

Быстро сходящиеся серии

Следующие две формулы включают быстро сходящиеся ряды и поэтому подходят для численных вычислений:

{\ displaystyle {\ begin {align} G & = 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {4n}}} \ left (- {\ frac {1} { 2 (8n + 2) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {3} ( 8n + 5) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 7) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 (8n + 1) ^ {2}}} \ right) - \\ & \ qquad -2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12n}}} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 2) ^ {2}}} + {\ frac {1} { 2 ^ {6} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {9} (8n + 5) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {10} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {12} (8n + 7) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3 } (8n + 1) ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}

а также

{\ displaystyle G = {\ frac {\ pi} {8}} \ log \ left (2 + {\ sqrt {3}} \ right) + {\ frac {3} {8}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}.}.

Теоретические основы таких рядов даны Бродхерстом для первой формулы и Рамануджаном для второй формулы. Алгоритмы для быстрого вычисления каталонской постоянной были построены Э. Карацуба.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Адамчик, Виктор (2002). «Некий ряд, связанный с каталонской константой» . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. DOI : 10,4171 / ZAA / 1110 . MR 1929434 .
Плата, Грегори Дж. (1990). «Вычисление постоянной Каталонии с использованием формулы Рамануджана». В Ватанабэ, Шунро; Нагата, Морио (ред.). Труды Международного симпозиума по Символическим и алгебраическим вычислениям, ISSAC '90, Токио, Япония, 20-24 августа 1990 года . ACM. С. 157–160. DOI : 10.1145 / 96877.96917 . ISBN 0201548925. S2CID 1949187 .
Брэдли, Дэвид М. (1999). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Журнал Рамануджана . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . DOI : 10,1023 / A: 1006945407723 . Руководство по ремонту 1703281 . S2CID 5111792 .
Брэдли, Дэвид М. (2007). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Журнал Рамануджана . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . Bibcode : 2007arXiv0706.0356B . DOI : 10,1023 / A: 1006945407723 . S2CID 5111792 .

внешние ссылки

Адамчик Виктор. «33 представления каталонской постоянной» . Архивировано из оригинала на 2016-08-07.
Plouffe, Саймон (1993). «Несколько тождеств (III) с каталонским» . Архивировано из оригинала на 2019-06-26. (Предоставляет более ста различных идентификаторов).
Plouffe, Саймон (1999). «Несколько тождеств с каталонской константой и Pi ^ 2» . Архивировано из оригинала на 2019-06-26. (Обеспечивает графическую интерпретацию отношений)
Плата, Грег (1996). «Константа Каталонии (формула Рамануджана)» . (Предоставляет первые 300 000 цифр каталонской константы)
Брэдли, Дэвид М. (2001). Представления каталонской константы . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 .
Йоханссон, Фредрик. «0,915965594177219015054603514932» . Ordner, каталог реальных чисел в Fungrim .
«Константа Каталонии» . YouTube . Учимся, Немо !. 10 августа 2020.
Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Каталонии» . MathWorld .
«Каталонская константа: изображения серий» . Сайт функций Wolfram .
«Каталонская константа» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].

Languages

In other projects