Клеточная гомология - Cellular homology

В математике , ячеистые гомологии в алгебраической топологии является теорией гомологии для категории CW-комплексы . Он согласуется с сингулярными гомологиями и может обеспечить эффективное средство вычисления модулей гомологии.

Определение

Если это CW-комплекс с n -скелетом , то модули клеточных гомологий определяются как группы гомологий H _i клеточно- цепного комплекса${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$

${\ displaystyle \ cdots \ to {C_ {n + 1}} (X_ {n + 1}, X_ {n}) \ to {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ в {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2}) \ в \ cdots,}$

где принимается пустое множество. ${\ displaystyle X _ {- 1}}$

Группа

${\ displaystyle {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1})}$

является свободным абелевым , с генераторами, которые могут быть отождествлены с -клетками . Позвольте быть -клеткой , и пусть будет присоединяющейся картой. Затем рассмотрим композицию ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle е_ {п} ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha}: \ partial e_ {n} ^ {\ alpha} \ cong \ mathbb {S} ^ {n-1} \ to X_ {n-1}}$

${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta}: \ mathbb {S} ^ {n-1} \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ partial e_ {n} ^ {\ alpha} \, {\ stackrel {\ chi _ {n} ^ {\ alpha}} {\ longrightarrow}} \, X_ {n-1} \, {\ stackrel {q} {\ longrightarrow}} \ , X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right) \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ mathbb {S} ^ {n-1},}$

где первое отображение идентифицирует с помощью характеристической карты из , объекта является -клетка из X , третья карта является фактор карты , которая падает в точку (таким образом оберточной в сферу ), а последняя карте идентифицирует с помощью характеристики карта из . ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п-1}}$${\ displaystyle \ partial e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle е_ {п} ^ {\ альфа}}$${\ Displaystyle е_ {п-1} ^ {\ бета}}$${\ Displaystyle (п-1)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle е_ {п-1} ^ {\ бета}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п-1}}$${\ displaystyle X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п-1}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle е_ {п-1} ^ {\ бета}}$

Карта границ

${\ displaystyle \ partial _ {n}: {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ to {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n -2})}$

тогда дается формулой

${\ displaystyle {\ partial _ {n}} (e_ {n} ^ {\ alpha}) = \ sum _ {\ beta} \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right ) e_ {n-1} ^ {\ beta},}$

где есть степень от а сумма берется по всем -клетка из , рассматриваемых в качестве генераторов . ${\ displaystyle \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right)}$${\ Displaystyle \ чи _ {п} ^ {\ альфа \ бета}}$${\ Displaystyle (п-1)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2})}$

пример

П - мерной сферы S ^п допускает структуру CW с двумя ячейками, один 0-клетки и одну п -клетки. Здесь n -ячейка прикреплена постоянным отображением от к 0-ячейке. Поскольку генераторы групп клеточных цепей могут быть отождествлены с k -клетками S ⁿ , мы имеем это для, а в остальном тривиально. ${\ Displaystyle S ^ {п-1}}$${\ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n})}$${\ Displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n}) = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle к = 0, п,}$

Следовательно, для результирующего цепного комплекса есть ${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z } {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ { 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} {\ longrightarrow \,} 0,}$

но тогда, поскольку все граничные отображения либо в тривиальные группы, либо из них, все они должны быть нулевыми, что означает, что группы клеточных гомологий равны

${\ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0, n \\\ {0 \} & {\ text {в противном случае.}} \ end { case}}}$

Когда , не очень сложно проверить, что граничная карта равна нулю, что означает, что приведенная выше формула верна для всех положительных значений . ${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle \ partial _ {1}}$${\ displaystyle n}$

Как показывает этот пример, вычисления, выполненные с использованием клеточных гомологий, часто более эффективны, чем вычисления с использованием только сингулярных гомологий.

Другие свойства

Из комплекса клеточной цепи видно, что -скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности: ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {H_ {k}} (X) \ cong {H_ {k}} (X_ {n})}$

для . ${\ Displaystyle к <п}$

Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство имеет ячеечную структуру с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении; следует, что для , ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq N}$

${\ Displaystyle {H_ {2k}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$

а также

${\ displaystyle {H_ {2k + 1}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Обобщение

Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха является аналогичным методом вычисления (ко) гомологий клеточного комплекса, для произвольной экстраординарной теории (ко) гомологии .

Эйлерова характеристика

Для клеточного комплекса пусть - его -й скелет, а - количество -клеток, т. Е. Ранг свободного модуля . Эйлерова характеристика из затем определяется ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle c_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {C_ {j}} (X_ {j}, X_ {j-1})}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Эйлерова характеристика - гомотопический инвариант. В самом деле, с точки зрения числа Бетти о , ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {Rank} ({H_ {j}} (X)).}$

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительных гомологий тройки : ${\ displaystyle (X_ {n}, X_ {n-1}, \ varnothing)}$

${\ displaystyle \ cdots \ to {H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing) \ to {H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing) \ to {H_ {i}} ( X_ {n}, X_ {n-1}) \ to \ cdots.}$

Погоня за точностью в последовательности дает

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ { i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, X_ {n-1})) + \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing)).}$

Такой же расчет относится к тройкам , и т.д. По индукции, ${\ displaystyle (X_ {n-1}, X_ {n-2}, \ varnothing)}$${\ displaystyle (X_ {n-2}, X_ {n-3}, \ varnothing)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \; \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {i = 0} ^ {j} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {j}, X_ { j-1})) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Ссылки

• Альбрехт Долд : Лекции по алгебраической топологии , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Аллен Хэтчер : алгебраическая топология , ISBN  издательства Кембриджского университета 978-0-521-79540-1 . Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора .