Уравнение Чебышева - Chebyshev equation

Уравнение Чебышева - это линейное дифференциальное уравнение второго порядка

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} - x {dy \ over dx} + p ^ {2} y = 0}$

где p - действительная (или комплексная) постоянная. Уравнение названо в честь русского математика Пафнутия Чебышева .

Решения можно получить степенными рядами :

${\ displaystyle y = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}$

где коэффициенты подчиняются рекуррентному соотношению

${\ Displaystyle a_ {n + 2} = {(np) (n + p) \ over (n + 1) (n + 2)} a_ {n}.}$

Ряд сходится для (обратите внимание, x может быть комплексным), что можно увидеть, применив критерий отношения к повторяемости. ${\ Displaystyle | х | <1}$

Повторение может быть начато с произвольных значений a ₀ и a ₁ , что приводит к двумерному пространству решений, которое возникает из дифференциальных уравнений второго порядка. Стандартные варианты:

а ₀ = 1; a ₁ = 0, что приводит к решению

${\ Displaystyle F (x) = 1 - {\ frac {p ^ {2}} {2!}} x ^ {2} + {\ frac {(p-2) p ^ {2} (p + 2) } {4!}} X ^ {4} - {\ frac {(p-4) (p-2) p ^ {2} (p + 2) (p + 4)} {6!}} X ^ { 6} + \ cdots}$

и

а ₀ = 0; a ₁ = 1, что приводит к решению

${\ Displaystyle G (x) = x - {\ frac {(p-1) (p + 1)} {3!}} x ^ {3} + {\ frac {(p-3) (p-1) (p + 1) (p + 3)} {5!}} x ^ {5} - \ cdots.}$

Общее решение - любая линейная комбинация этих двух.

Когда p является неотрицательным целым числом, одна или другая из двух функций заканчивают свою серию после конечного числа членов: F завершается, если p четно, и G завершается, если p нечетно. В данном случае эта функция является многочленом степени p и пропорциональна многочлену Чебышева первого рода

${\ Displaystyle T_ {p} (x) = (- 1) ^ {p / 2} \ F (x) \,}$ если p четно

${\ Displaystyle T_ {p} (x) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} \ p \ G (x) \,}$ если p нечетное

Эта статья включает материал из уравнения Чебышева на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .