Чебышевские узлы - Chebyshev nodes

Узлы Чебышева эквивалентны x- координатам n равноотстоящих точек на единичном полукруге (здесь n = 10).

В численном анализе , Чебышева узлы являются специфическими вещественными алгебраическими числами , а именно корни полиномов Чебышева первого рода . Они часто используются в качестве узлов в полиномиальной интерполяции, потому что результирующий полином интерполяции минимизирует эффект явления Рунге .

Определение

Нули первых 50 многочленов Чебышева первого рода

Для заданного положительного целого числа п на узлах Чебышева в интервале (-1, 1)

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {2k-1} {2n}} \ pi \ right), \ quad k = 1, \ ldots, n.}$

Это корни многочлена Чебышева первого рода степени n . Для узлов на произвольном интервале [ a , b ] можно использовать аффинное преобразование :

${\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a + b) + {\ frac {1} {2}} (ba) \ cos \ left ({\ frac {2k-1}) {2n}} \ pi \ right), \ quad k = 1, \ ldots, n.}$

Приближение

Узлы Чебышева важны в теории приближений, потому что они образуют особенно хороший набор узлов для полиномиальной интерполяции . Для данной функции ƒ на интервале и точках в этом интервале интерполяционный многочлен - это тот единственный многочлен степени не выше, который имеет значение в каждой точке . Ошибка интерполяции при составляет ${\ displaystyle [-1, + 1]}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n},}$${\ displaystyle P_ {n-1}}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle f (x_ {i})}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f (x) -P_ {n-1} (x) = {\ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}} \ prod _ {i = 1} ^ {n } (х-х_ {я})}$

для некоторых (зависящих от x) из [−1, 1]. Так что логично попытаться минимизировать ${\ Displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle \ max _ {x \ in [-1,1]} \ left | \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i}) \ right |.}$

Это произведение является моническим многочленом степени n . Можно показать, что максимальное абсолютное значение (максимальная норма) любого такого многочлена ограничено снизу величиной 2 ^{1 - n} . Эта оценка достигается масштабированными многочленами Чебышева 2 ^{1− n} T _n , которые также являются моническими. (Напомним, что | T _n ( x ) | ≤ 1 для x  ∈ [−1, 1].) Следовательно, когда узлы интерполяции x _i являются корнями T _n , ошибка удовлетворяет

${\ displaystyle \ left | е (х) -P_ {n-1} (x) \ right | \ leq {\ frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} \ max _ {\ xi \ в [-1,1]} \ left | f ^ {(n)} (\ xi) \ right |.}$

Для произвольного интервала [ a , b ] замена переменной показывает, что

${\ displaystyle \ left | е (x) -P_ {n-1} (x) \ right | \ leq {\ frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} \ left ({\ frac { ba} {2}} \ right) ^ {n} \ max _ {\ xi \ in [a, b]} \ left | f ^ {(n)} (\ xi) \ right |.}$

Примечания

Ссылки

• Стюарт, Гилберт В. (1996), Заметки о численном анализе , SIAM , ISBN 978-0-89871-362-6.

дальнейшее чтение

• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас: численный анализ , 8-е изд., Страницы 503–512, ISBN  0-534-39200-8 .