Многочлены Чебышева - Chebyshev polynomials

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Эти многочлены Чебышева две последовательности многочленов , связанных с синуса и косинуса, нотных , как и . Их можно определить несколькими способами, которые имеют одинаковый конечный результат; В этой статье полиномы определяются, начиная с тригонометрических функций :

В полиномы Чебышева первого рода задаются
Аналогичным образом определим полиномы Чебышева второго рода как

Эти определения не кажутся полиномами , но с помощью различных тригонометрических тождеств их можно преобразовать в явно полиномиальную форму. Например, при п = 2 , Т 2 формула может быть преобразована в многочлен с аргументом х = соз ( & thetas ) , используя формулу двойного угла:

Заменяя термины в формуле на определения выше, мы получаем

Т 2 ( х ) = 2 х 2 - 1 .

Остальные T n ( x ) определяются аналогично, где для многочленов второго рода ( U n ) мы должны использовать формулу де Муавра, чтобы получить sin ( n θ ) как sin ( θ ), умноженный на многочлен от cos ( θ ) . Например,

дает

U 2 ( х ) = 4 х 2 - 1 .

После преобразования в полиномиальную форму T n ( x ) и U n ( x ) называются многочленами Чебышева первого и второго рода соответственно.

И наоборот, произвольная целая степень тригонометрических функций может быть выражена как линейная комбинация тригонометрических функций с использованием полиномов Чебышева.

где штрих у символа суммы указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появляется, и .

Важным и удобным свойством T n ( x ) является то, что они ортогональны относительно внутреннего произведения

и U n ( x ) ортогональны по отношению к другому аналогичному внутреннему продукту, указанному ниже. Это следует из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева

которые являются дифференциальными уравнениями Штурма – Лиувилля . Общей чертой таких дифференциальных уравнений является выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева - это решения этих уравнений .)

Многочлены Чебышева T n - это многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, модуль которого на интервале [−1, 1] ограничен числом 1. Они также являются «экстремальными» многочленами для многих других свойств.

Многочлены Чебышева важны в теории приближений, потому что корни T n ( x ) , которые также называются узлами Чебышева , используются в качестве точек согласования для оптимизации полиномиальной интерполяции . Результирующий полином интерполяции минимизирует проблему явления Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению непрерывной функции при максимальной норме , также называемое критерием « минимакс ». Это приближение непосредственно приводит к методу квадратур Кленшоу – Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . Буква T используется из-за альтернативных транслитераций имени Чебышев как Чебышев , Чебышев (французский язык) или Tschebyschow (немецкий язык).

Определение

График первых пяти T n многочленов Чебышева первого рода

Эти многочлены Чебышева первого рода получается из рекуррентного соотношения

Обыкновенная производящая функция для Т п является

Доказательство  -

Есть несколько других производящих функций для многочленов Чебышева; экспоненциальная производящая функция является

Производящая функция, имеющая отношение к теории двумерного потенциала и мультипольному разложению, имеет вид

Сюжет из первых пяти U п многочленов Чебышева второго рода

Эти многочлены Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением

Обратите внимание , что два набора рекуррентных соотношений идентичны, за исключением VS. . Обычная производящая функция для U n есть

экспоненциальная производящая функция

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, многочлены Чебышева первого рода можно определить как единственные многочлены, удовлетворяющие

или, другими словами, как единственные многочлены, удовлетворяющие

для n = 0, 1, 2, 3,… что с технической точки зрения является вариантом (эквивалентным транспонированием) уравнения Шредера . То есть, T n ( x ) функционально сопряжен с nx , кодифицированным в свойстве вложенности ниже.

Полиномы второго рода удовлетворяют:

или же

которое структурно очень похоже на ядро Дирихле D n ( x ) :

То, что cos nx является многочленом n- й степени от cos x, можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы де Муавра . Действительная часть другой стороны является многочленом от cos x и sin x , в котором все степени sin x четны и, таким образом, заменяются тождеством cos 2 x + sin 2 x = 1 . По тем же соображениям sin nx является мнимой частью многочлена, в котором все степени sin x нечетны, и, таким образом, если исключить одну, оставшуюся можно заменить, чтобы создать многочлен ( n −1) -й степени в cos x .

Это тождество весьма полезно в сочетании с рекурсивной формулой генерации, поскольку оно позволяет вычислить косинус любого целого кратного угла исключительно в терминах косинуса основного угла.

Вычисляя первые два полинома Чебышева,

а также

можно прямо определить, что

и так далее.

Двумя непосредственными следствиями являются идентичность композиции (или свойство вложенности, определяющее полугруппу )

и выражение комплексного возведения в степень через полиномы Чебышева: при z = a + bi ,

Определение уравнения Пелла

Многочлены Чебышева также можно определить как решения уравнения Пелля

в кольце R [ x ] . Таким образом, они могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелла взятия степеней фундаментального решения:

Произведения полиномов Чебышева

При работе с многочленами Чебышева довольно часто встречаются произведения двух из них. Эти произведения могут быть сведены к комбинациям полиномов Чебышева с более низкой или более высокой степенью, и заключительные утверждения о продукте сделать легче. Предполагается, что в дальнейшем индекс m больше или равен индексу n и n не является отрицательным. Для полиномов Чебышева первого рода произведение разлагается до

что является аналогией теоремы сложения

с личностями

Для n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, только расположенной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных многочленов Чебышева (в зависимости от четности наименьшего m ), что позволяет проектировать функции с заданными свойствами симметрии. Из этого разложения произведения можно заключить еще три полезные формулы для вычисления полиномов Чебышева:

Для полиномов Чебышева второго рода произведения можно записать в виде:

для m n .

Таким образом, как и выше, при n = 2 рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода сводится для обоих типов симметрии к

в зависимости от того, начинается ли m с 2 или 3.

Связь между двумя видами многочленов Чебышева

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка n ( P , Q ) и Ũ n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 :

Следовательно, они также удовлетворяют паре взаимно рекуррентных уравнений:

Многочлены Чебышева первого и второго рода также связаны следующими соотношениями:

Рекуррентное соотношение производной полиномов Чебышева может быть получено из этих соотношений:

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева имеют вид

Интегральные отношения:

где интегралы считаются главным значением.

Явные выражения

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям, таким как:

с обратным

где штрих у символа суммы указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появляется.

где 2 F 1 - гипергеометрическая функция .

Характеристики

Симметрия

То есть полиномы Чебышева четного порядка имеют четную симметрию и содержат только четные степени x . Многочлены Чебышева нечетного порядка обладают нечетной симметрией и содержат только нечетные степени x .

Корни и экстремумы

Многочлен Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней, называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева, потому что они используются как узлы при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что

можно показать, что корни T n равны

Точно так же корни U n равны

Экстремумы из Т п на отрезке -1 ≤ х ≤ 1 расположены на

Одно уникальное свойство многочленов Чебышева первого рода состоит в том, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения либо −1, либо 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критических значения , определяющее свойство Многочлены Шабата . И первый, и второй виды полиномов Чебышева имеют экстремумы на концах, определяемые выражением:

Дифференциация и интеграция

Производные многочленов могут быть не такими простыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрической форме, можно показать, что:

Последние две формулы могут быть затруднительны в числовом отношении из-за деления на ноль ( 0 / 0 неопределенная форма , в частности) при x = 1 и x = −1 . Можно показать, что:

Доказательство  -

Вторая производная полинома Чебышева первого рода равна

который, если оценивать, как показано выше, создает проблему, потому что он неопределен при x = ± 1 . Поскольку функция является полиномом, (все) производные должны существовать для всех действительных чисел, поэтому ограничение приведенного выше выражения должно дать желаемое значение:

где пока рассматривается только x = 1 . Факторизуя знаменатель:

Поскольку предел в целом должен существовать, пределы числителя и знаменателя должны существовать независимо, и

Знаменатель (по-прежнему) ограничивается нулем, что означает, что числитель должен ограничиваться нулем, то есть U n - 1 (1) = nT n (1) = n, что будет полезно в дальнейшем. Поскольку числитель и знаменатель ограничиваются нулем, применяется правило L'Hôpital :

Доказательство для x = −1 аналогично, но важно то, что T n (−1) = (−1) n .

Действительно, имеет место следующая более общая формула:

Этот последний результат очень полезен при численном решении задач на собственные значения.

где штрих у символов суммирования означает, что член, вносимый k = 0 , должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.

Что касается интегрирования, первая производная от T n означает, что

а рекуррентное соотношение для многочленов первого рода, содержащих производные, устанавливает, что при n ≥ 2

Последней формулой можно дополнительно манипулировать, чтобы выразить интеграл от T n как функцию многочленов Чебышева только первого рода:

Кроме того, у нас есть

Ортогональность

И T n, и U n образуют последовательность ортогональных многочленов . Полиномы первого рода T n ортогональны относительно веса

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

Это можно доказать, положив x = cos θ и используя определяющее тождество T n (cos θ ) = cos .

Аналогично полиномы второго рода U n ортогональны относительно веса

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

(Мера 1 - x 2 d x с точностью до нормирующей константы является полукруглым распределением Вигнера .)

Т п удовлетворяет также дискретное условие ортогональности:

где N - любое целое число больше max ( i , j ) , а x k - это N чебышёвских узлов (см. выше) T N ( x ) :

Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми чебышевскими узлами x k существуют аналогичные суммы:

и без весовой функции:

Для любого целого числа N > i + j на основе N нулей U N ( x ) :

можно получить сумму:

и снова без весовой функции:

Минимальная -норма

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монические многочлены)

это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно

и | f ( x ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при

Доказательство  -

Предположим, что w n ( x ) - многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 с максимальным модулем на интервале [−1,1] меньше 1/2 n - 1 .

Определять

Поскольку в крайних точках T n имеем

Из теоремы промежуточного значения , е п ( х ) имеет по крайней мере п корней. Однако это невозможно, поскольку f n ( x ) является многочленом степени n - 1 , поэтому из фундаментальной теоремы алгебры следует, что у него не более n - 1 корней.

Замечание: По теореме о равноколебании среди всех многочленов степени n многочлен f минимизирует || f || на [−1,1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точек −1 ≤ x 0 < x 1 <⋯ < x n + 1 ≤ 1 таких, что | f ( x i ) | = || f || .

Конечно, нулевой многочлен на интервале [−1,1] может быть найден сам по себе и минимизирует -норму.

Однако выше | f | достигает своего максимума только n + 1 раз, потому что мы ищем лучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Прочие свойства

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических полиномов или полиномов Гегенбауэра , которые сами по себе являются частным случаем полиномов Якоби :

Для любого неотрицательного целого числа n , T n ( x ) и U n ( x ) оба являются многочленами степени n . Они являются четными или нечетными функциями от х , как п четного или нечетным, так что, когда записываются в виде многочленов от х , он имеет только четные или нечетные степени терминов соответственно. По факту,

а также

Старший коэффициент T n равен 2 n - 1, если 1 ≤ n , и 1, если 0 = n .

T n - это частный случай кривых Лиссажу с отношением частот, равным n .

Несколько полиномиальных последовательностей, таких как многочлены Люка ( L n ), многочлены Диксона ( D n ), многочлены Фибоначчи ( F n ), связаны с многочленами Чебышева T n и U n .

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению

что легко доказывается из формулы произведения на сумму косинуса. Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению

(с определением U −1 ≡ 0 по соглашению).

Аналогично формуле

у нас есть аналогичная формула

Для й ≠ 0 ,

а также

что следует из того, что это верно по определению при x = e .

Определять

Тогда C n ( x ) и C m ( x ) - коммутирующие многочлены:

как это видно в абелевой вложенности имущества , указанного выше.

Обобщенные полиномы Чебышева.

Обобщенные многочлены Чебышева T a определяются равенством

где a не обязательно является целым числом, а 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) - гипергеометрическая функция Гаусса ; в качестве примера . Расширение степенного ряда

сходится для .

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области −1 < x <1 : плоские T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 и T 5 .

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода - это OEIS A028297

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области −1 < x <1 : плоские U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 и U 5 . Хотя это не видно на изображении, U n (1) = n + 1 и U n (−1) = ( n + 1) (- 1) n .

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода - это OEIS A053117

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху) y = - x 3 H (- x ) , где H - ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышёва. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышева образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена на −1 ≤ x ≤ 1 через разложение:

Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты a n могут быть легко определены посредством применения внутреннего произведения . Эта сумма называется чебышёвским рядом или чебышёвским разложением .

Поскольку ряд Чебышева связан с рядом косинусов Фурье заменой переменных, все теоремы, тождества и т. Д., Применимые к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. Эти атрибуты включают:

  • Многочлены Чебышева образуют полную ортогональную систему.
  • Ряд Чебышева сходится к f ( x ), если функция кусочно гладкая и непрерывная . Требование гладкости может быть ослаблено в большинстве случаев - до тех пор, пока существует конечное число разрывов в f ( x ) и ее производных.
  • На разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье, делает полиномы Чебышева важным инструментом численного анализа ; например, они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения, используемыми в спектральном методе , часто в пользу тригонометрических рядов из-за, как правило, более быстрой сходимости для непрерывных функций ( феномен Гиббса все еще остается проблемой).

Пример 1

Рассмотрим чебышёвское разложение log (1 + x ) . Можно выразить

Коэффициенты a n можно найти либо путем применения внутреннего продукта, либо с помощью условия дискретной ортогональности. Для внутреннего продукта

который дает

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть оценен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для приближенных коэффициентов,

где δ ij - дельта- функция Кронекера, а x k - N нулей Гаусса – Чебышева T N ( x ) :

Для любого N эти приблизительные коэффициенты обеспечивают точное приближение к функции в точке x k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в [−1,1] . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

Это позволяет нам очень эффективно вычислять приближенные коэффициенты a n с помощью дискретного косинусного преобразования

Пример 2

Другой пример:

Частичные суммы

Частичные суммы

очень полезны при приближении различных функций и при решении дифференциальных уравнений (см. спектральный метод ). Два общих метода определения коэффициентов a n - это использование внутреннего произведения, как в методе Галеркина, и использование коллокации, связанной с интерполяцией .

В качестве интерполянта N коэффициентов ( N - 1) -й частичной суммы обычно получают на точках Чебышева – Гаусса – Лобатто (или сетке Лобатто), что дает минимальную ошибку и позволяет избежать явления Рунге, связанного с однородной сеткой. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома наивысшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется выражением:

Многочлен в форме Чебышева

Произвольный многочлен степени N можно записать через многочлены Чебышева первого рода. Такой многочлен p ( x ) имеет вид

Многочлены в форме Чебышева можно вычислить с помощью алгоритма Кленшоу .

Сдвинутые многочлены Чебышева

Сдвинутые полиномы Чебышева первого рода определяются как

Когда аргумент многочлена Чебышева находится в диапазоне 2 x - 1 ∈ [−1, 1], аргумент сдвинутого многочлена Чебышева равен x [0, 1] . Точно так же можно определить сдвинутые многочлены для общих интервалов [ a , b ] .

Смотрите также

Рекомендации

Источники

Внешние ссылки