Рациональные функции Чебышева - Chebyshev rational functions

График рациональных функций Чебышева для n = 0, 1, 2, 3, 4 для 0,01 ≤ x ≤ 100 , логарифмический масштаб.

В математике , как рациональные функции Чебышева представляют собой последовательность функций, как рационально и ортогональны . Они названы в честь Пафнутия Чебышева . Рациональная функция Чебышева степени n определяется как:

${\ displaystyle R_ {n} (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ T_ {n} \ left ({\ frac {x-1} {x + 1}} \ right) }$

где T _n ( x ) - многочлен Чебышева первого рода.

Характеристики

Многие свойства можно вывести из свойств многочленов Чебышева первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.

Рекурсия

${\ Displaystyle R_ {n + 1} (x) = 2 \, {\ frac {x-1} {x + 1}} R_ {n} (x) -R_ {n-1} (x) \ quad { \ text {for}} n \ geq 1}$

Дифференциальные уравнения

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} R_ {n} (x) = {\ frac {1} {n + 1}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} } R_ {n + 1} (x) - {\ frac {1} {n-1}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} R_ {n-1} (x ) \ quad {\ text {for}} n \ geq 2}$

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} x {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} R_ {n} (x) + {\ гидроразрыв {(3x + 1) (x + 1)} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} R_ {n} (x) + n ^ {2} R_ {n} (x) = 0}$

Ортогональность

График абсолютного значения рациональной функции Чебышева седьмого порядка ( n = 7 ) для 0,01 ≤ x ≤ 100 . Обратите внимание, что имеется n нулей, расположенных симметрично относительно x = 1, и если x ₀ является нулем, то 1 / х ₀ тоже ноль. Максимальное значение между нулями равно единице. Эти свойства сохраняются для всех заказов.

Определение:

${\ displaystyle \ omega (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}}}$

Ортогональность рациональных функций Чебышева можно записать:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} R_ {m} (x) \, R_ {n} (x) \, \ omega (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac { \ pi c_ {n}} {2}} \ delta _ {нм}}$

где c _n = 2 для n = 0 и c _n = 1 для n ≥ 1 ; δ _nm - дельта- функция Кронекера .

Разложение произвольной функции

Для произвольной функции f ( x ) ∈ L ²
_ω отношение ортогональности можно использовать для расширения f ( x ) :

${\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} F_ {п} R_ {п} (х)}$

куда

${\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {2} {c_ {n} \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) R_ {n} (x) \ omega (x) \, \ mathrm {d} x.}$

Особые ценности

${\ displaystyle {\ begin {align} R_ {0} (x) & = 1 \\ R_ {1} (x) & = {\ frac {x-1} {x + 1}} \\ R_ {2} (x) & = {\ frac {x ^ {2} -6x + 1} {(x + 1) ^ {2}}} \\ R_ {3} (x) & = {\ frac {x ^ {3 } -15x ^ {2} + 15x-1} {(x + 1) ^ {3}}} \\ R_ {4} (x) & = {\ frac {x ^ {4} -28x ^ {3} + 70x ^ {2} -28x + 1} {(x + 1) ^ {4}}} \\ R_ {n} (x) & = (x + 1) ^ {- n} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} {\ binom {2n} {2m}} x ^ {nm} \ end {выровнено}}}$

Частичное расширение фракции

${\ displaystyle R_ {n} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {n} {\ frac {(m!) ^ {2}} {(2m)!}} {\ binom {n + m -1} {m}} {\ binom {n} {m}} {\ frac {(-4) ^ {m}} {(x + 1) ^ {m}}}}$

Рекомендации

• Го, Бен-Ю; Шен, Цзе; Ван, Чжун-Цин (2002). «Рациональные спектральные и псевдоспектральные методы Чебышева на полубесконечном интервале» (PDF) . Int. J. Numer. Meth. Engng . 53 (1): 65–84. Bibcode : 2002IJNME..53 ... 65G . CiteSeerX   10.1.1.121.6069 . DOI : 10.1002 / nme.392 . Проверено 25 июля 2006 .