Круговой сегмент - Circular segment

В геометрии , A круговой сегмент (символ: ⌓ ) представляет собой область из круга , который является «отрезать» от остальной части окружности с помощью секущего или аккорда . Более формально круговой сегмент - это область двумерного пространства , ограниченная дугой (по соглашению менее π радиан) окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Формулы

Круговой сегмент (зеленый) заключен между секущей / хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

Пусть R - радиус дуги, образующей часть периметра сегмента, θ - центральный угол, соединяющий дугу, в радианах , c - длина хорды , s - длина дуги , h - стрела ( высота ) сегмента и a площадь сегмента.

Обычно указываются или измеряются длина и высота хорды, а иногда длина дуги как часть периметра, а неизвестными значениями являются площадь, а иногда и длина дуги. Их нельзя рассчитать просто по длине и высоте хорды, поэтому обычно сначала рассчитываются две промежуточные величины, радиус и центральный угол.

Радиус и центральный угол

Радиус:

${\ displaystyle R = {\ tfrac {h} {2}} + {\ tfrac {c ^ {2}} {8h}}}$

Центральный угол

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ tfrac {c} {2R}}}$

Длина и высота хорды

Длину и высоту хорды можно вычислить на основе радиуса и центрального угла следующим образом:

Длина хорды

${\ displaystyle c = 2R \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} = R {\ sqrt {2 (1- \ cos \ theta)}}}$

Сагитта

${\ displaystyle h = R (1- \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}) = R \ left (1 - {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ cos \ theta} {2}}} \ Правильно)}$

Длина и площадь дуги

Длина дуги, исходя из знакомой геометрии круга, равна

${\ displaystyle s = {\ theta} R}$

Площадь a кругового сегмента равна площади кругового сектора за вычетом площади треугольной части (используя формулу двойного угла, чтобы получить уравнение в терминах Θ):

${\ displaystyle a = {\ tfrac {R ^ {2}} {2}} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)}$

С точки зрения R и h,

${\ displaystyle a = R ^ {2} \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right) - \ left (Rh \ right) {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ right) ^ {2}}}}$

К сожалению, это трансцендентная функция от, и поэтому никакая алгебраическая формула в терминах них не может быть сформулирована. Но что можно сказать, так это то, что по мере того, как центральный угол становится меньше (или, поочередно, увеличивается радиус), площадь a быстро и асимптотически приближается . Если - хорошее приближение. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$${\ displaystyle \ theta << 1, a = {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$

Когда центральный угол приближается к π, площадь сегмента сходится к площади полукруга , поэтому хорошим приближением является дельта-смещение от последней области: ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}}}$

${\ Displaystyle а \ приблизительно {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}} - (R + {\ tfrac {c} {2}}) (Rh)}$для h> 0,75 R

И т.п.

Периметр p равен длине дуги плюс длина хорды,

${\ Displaystyle р = с + s = с + \ тета R}$

Пропорционально всей площади диска у вас есть ${\ displaystyle A = \ pi R ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {A}} = {\ frac {\ theta - \ sin \ theta} {2 \ pi}}}$

Приложения

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара, лежащего горизонтально.

При проектировании окон или дверей с закругленными краями c и h могут быть единственными известными значениями и могут использоваться для расчета R для настройки компаса чертежника.

По фрагментам можно восстановить полные размеры всего круглого объекта, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговом массиве. Особенно полезно для проверки качества обработанной продукции.

Для вычисления площади или центроида плоской формы, содержащей круглые сегменты.

Смотрите также

• Хорда (геометрия)
• Сферический колпачок
• Круговой сектор

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент» . MathWorld .

внешние ссылки

• Определение кругового сегмента с интерактивной анимацией
• Формулы для площади кругового сегмента С интерактивной анимацией