Формирование класса - Class formation
В математике формация классов - это топологическая группа, действующая на модуль, удовлетворяющий определенным условиям. Образования классов были введены Эмилем Артином и Джоном Тейтом для организации различных групп и модулей Галуа, которые появляются в теории поля классов .
Определения
Образование является топологической группой G вместе с топологическим G - модуль , на котором G действует непрерывно.
Слой Е / F формации является пара открытых подгрупп Е , Р из G такая , что F является конечным индексом подгруппа E . Он называется нормальным слоем, если F является нормальной подгруппой в E , и циклическим слоем, если, кроме того, фактор-группа является циклической. Если Е является подгруппой группы G , то Е определяется как элементы А , закрепленные Е . Мы пишем
- H n ( E / F )
для группы когомологий Тейта H n ( E / F , A F ), если E / F - нормальный слой. (Некоторые авторы считают E и F фиксированными полями, а не подгруппой G , поэтому пишите F / E вместо E / F. ) В приложениях G часто является абсолютной группой Галуа поля и, в частности, проконечной , и открытые подгруппы, следовательно, соответствуют конечным расширениям поля, содержащимся в некотором фиксированном сепарабельном замыкании.
Формирование класса является формирование таким образом, что для каждого нормального слоя Е / F
- H 1 ( E / F ) тривиально, и
- H 2 ( E / F ) циклична порядка | E / F |,
На практике эти циклические группы снабжены каноническими генераторами u E / F ∈ H 2 ( E / F ), называемыми фундаментальными классами , которые совместимы друг с другом в том смысле, что ограничение (классов когомологий) фундаментального класса является другой фундаментальный класс. Часто фундаментальные классы считаются частью структуры классового образования.
Формация, удовлетворяющая только условию H 1 ( E / F ) = 1, иногда называется полевой формацией . Например, если G - любая конечная группа, действующая на поле L и A = L × , то это формирование поля по теореме Гильберта 90 .
Примеры
Наиболее важные примеры классовых формирований (расположенные примерно в порядке сложности) следующие:
- Архимедова локальная теория поля классов : модуль A - это группа ненулевых комплексных чисел, а G либо тривиальна, либо является циклической группой порядка 2, порожденной комплексным сопряжением.
- Конечные поля: модуль A - это целые числа (с тривиальным G- действием), а G - абсолютная группа Галуа конечного поля, которая изоморфна проконечному пополнению целых чисел.
- Локальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A - это сепарабельное алгебраическое замыкание поля формальных рядов Лорана над конечным полем, а G - группа Галуа.
- Неархимедова локальная теория полей классов характеристики 0: модуль A является алгебраическим замыканием поля p -адических чисел, а G - группа Галуа.
- Глобальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A представляет собой объединение групп классов иделей сепарабельных конечных расширений некоторого функционального поля над конечным полем, а G - группа Галуа.
- Глобальная теория полей классов характеристики 0: Модуль является объединением групп иделей классов полей алгебраических чисел и G является группой Галуа рациональных чисел (или некоторого поля алгебраических чисел) , действующих на A .
Свойство формирования классов легко проверить для случая конечного поля и случая архимедова локального поля, но остальные случаи более трудны. Большая часть тяжелой работы теории поля классов состоит в том, чтобы доказать, что это действительно классовые образования. Это делается в несколько этапов, как описано в разделах ниже.
Первое неравенство
Первое неравенство из теории полей классов утверждает , что
- | H 0 ( E / F ) | ≥ | E / F |
для циклических слоев E / F . Обычно это доказывается с использованием свойств фактора Эрбранда в более точной форме
- | H 0 ( E / F ) | = | E / F | × | H 1 ( E / F ) |.
Это довольно просто доказать, потому что фактор Эрбрана легко вычисляется, поскольку он мультипликативен на коротких точных последовательностях и равен 1 для конечных модулей.
Примерно до 1950 года первое неравенство называлось вторым неравенством, и наоборот.
Второе неравенство
Второе неравенство теории полей классов утверждает, что
- | H 0 ( E / F ) | ≤ | E / F |
для всех нормальных слоев E / F .
Для локальных полей это неравенство легко следует из теоремы Гильберта 90 вместе с первым неравенством и некоторыми основными свойствами групповых когомологий.
Второе неравенство было впервые доказано Вебером для глобальных полей с использованием следующих свойств L-серии числовых полей. Предположим, что слой E / F соответствует расширению k ⊂ K глобальных полей. Изучая дзета-функцию Дедекинда для K, можно показать, что простые числа степени 1 для K имеют плотность Дирихле, заданную порядком полюса при s = 1, который равен 1 (когда K является рациональным числом, это, по сути, доказательство Эйлера, что существуют бесконечно много простых чисел, использующих полюс в точке s = 1 дзета-функции Римана .) Поскольку каждое простое число в k, которое является нормой, является произведением deg ( K / k ) = | E / F | различных простых чисел K степени 1 , это показывает, что множество простых чисел k, которые являются нормами, имеет плотность 1 / | E / F |, С другой стороны, изучая L-ряд Дирихле характеров группы H 0 ( E / F ), можно показать, что плотность Дирихле простых чисел k, представляющих тривиальный элемент этой группы, имеет плотность 1 / | H 0 ( E / F ) |. (Эта часть доказательства является обобщением доказательства Дирихле, что в арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел.) Но простое число представляет собой тривиальный элемент группы H 0 ( E / F ), если он равен норме по модулю главных идеалов. , так что это множество не менее плотно, чем множество нормальных простых чисел. Так
- 1 / | H 0 ( E / F ) | ≥ 1 / | E / F |
что является вторым неравенством.
В 1940 году Шевалле нашел чисто алгебраическое доказательство второго неравенства, но оно длиннее и сложнее, чем первоначальное доказательство Вебера. Примерно до 1950 года второе неравенство было известно как первое неравенство; название было изменено, потому что в его алгебраическом доказательстве Шевалле используется первое неравенство.
Такаги определил поле классов как одно, в котором равенство выполняется во втором неравенстве. Согласно изоморфизму Артина, приведенному ниже, H 0 ( E / F ) изоморфно абелианизации E / F , поэтому равенство во втором неравенстве выполняется точно для абелевых расширений, а поля классов такие же, как абелевы расширения.
Первое и второе неравенства можно объединить следующим образом. Для циклических слоев два неравенства вместе доказывают, что
- H 1 ( E / F ) | E / F | = H 0 ( E / F ) ≤ | E / F |
так
- H 0 ( E / F ) = | E / F |
а также
- H 1 ( E / F ) = 1.
Теперь основная теорема о группах когомологий показывает, что, поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех циклических слоев, мы имеем
- H 1 ( E / F ) = 1
для всех нормальных слоев (так, в частности, формация - это формация поля). Это доказательство того, что H 1 ( E / F ) всегда тривиально, является довольно окольным; никаких «прямых» доказательств этого (что бы это ни значило) для глобальных полей не известно. (Для локальных полей обращение H 1 ( E / F ) в нуль - это просто теорема Гильберта 90.)
Для циклической группы H 0 совпадает с H 2 , поэтому H 2 ( E / F ) = | E / F | для всех циклических слоев. Другая теорема о групповых когомологиях показывает, что поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех нормальных слоев и H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | для всех циклических слоев имеем
- H 2 ( E / F ) ≤ | E / F |
для всех нормальных слоев. (Фактически, равенство справедливо для всех нормальных слоев, но это требует больше работы; см. Следующий раздел.)
Группа Брауэра
В группы Брауэра Н 2 ( Е / *) формация класса определяется как прямой предел групп Н 2 ( Е / F ), а Р пробегает все открытые подгруппы E . Легкое следствие обращения H 1 в нуль для всех слоев состоит в том, что все группы H 2 ( E / F ) являются подгруппами группы Брауэра. В локальной теории полей классов группы Брауэра аналогичны группам полей Брауэра , но в глобальной теории полей классов группа Брауэра формации не является группой Брауэра соответствующего глобального поля (хотя они связаны).
Следующий шаг - доказать, что H 2 ( E / F ) циклично порядка точно | E / F |; предыдущий раздел показывает, что он имеет не более этого порядка, поэтому достаточно найти некоторый элемент порядка | E / F | в H 2 ( E / F ).
Доказательство произвольных расширений использует гомоморфизм группы G на проконечное пополнение целых чисел с ядром G ∞ , или, другими словами, согласованную последовательность гомоморфизмов группы G на циклические группы порядка n для всех n с ядрами G n . Эти гомоморфизмы строятся с помощью циклических циклотомических расширений полей; для конечных полей они задаются алгебраическим замыканием, для неархимедовых локальных полей они задаются максимальными неразветвленными расширениями, а для глобальных полей они немного сложнее. Поскольку эти расширения заданы явно, можно проверить, что они обладают тем свойством, что H 2 ( G / G n ) является циклическим порядка n с каноническим образующим. Из этого следует , что для любого слоя Е , группа Н 2 ( Е / Е ∩ G ∞ ) канонически изоморфно Q / Z . Идея использования корней из единицы была введена Чеботаревым в его доказательстве теоремы плотности Чеботарева и вскоре после этого использована Артиным для доказательства своей теоремы взаимности.
Для общих слоев E , F существует точная последовательность
Две последние группы в этой последовательности могут быть идентифицированы с помощью Q / Z, и тогда отображение между ними умножается на | E / F |, Таким образом, первая группа канонически изоморфна Z / п Z . Поскольку H 2 ( E / F ) имеет порядок не более Z / n, Z должно быть равно Z / n Z (и, в частности, содержится в средней группе)).
Это показывает, что вторая группа когомологий H 2 ( E / F ) любого слоя циклическая порядка | E / F |, что завершает проверку аксиом формирования классов. С чуть большей осторожностью в доказательствах мы получаем канонический генератор H 2 ( E / F ), называемый фундаментальным классом .
Из этого следует, что группа Брауэра H 2 ( E / *) (канонически) изоморфна группе Q / Z , за исключением случая архимедовых локальных полей R и C, когда она имеет порядок 2 или 1.
Теорема Тэйта и отображение Артина
Теорема Тэйта в групповых когомологиях состоит в следующем. Предположим, что A - модуль над конечной группой G и a - такой элемент из H 2 ( G , A ), что для любой подгруппы E группы G
- H 1 ( E , A ) тривиально и
- Н 2 ( Е , ) порождается Res (а) , который имеет порядок Е .
Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом
- H n ( G , Z ) → H n +2 ( G , A ).
Если мы применим случай n = −2 теоремы Тейта к формации классов, мы обнаружим, что существует изоморфизм
- H −2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )
для любого нормального слоя Е / F . Группа Н -2 ( Е / F , Z ) является только абелианизация из E / F , и группа Н 0 ( Е / Р , Р ) является Е по модулю группы норм A F . Другими словами, мы имеем явное описание абелианизации из группы Галуа E / F в терминах A E .
Обращение к этому изоморфизму дает гомоморфизм
- A E → абелианизация E / F ,
и переход к пределу по всем открытым подгруппам F дает гомоморфизм
- A E → абелианизация E ,
называется карта Артина . Карта Артина не обязательно сюръективна, но имеет плотное изображение. По теореме существования, приведенной ниже, его ядром является связная компонента A E (для теории полей классов), которая тривиальна для теории полей классов неархимедовых локальных полей и для функциональных полей, но нетривиальна для архимедовых локальных полей и числа поля.
Теорема существования Такаги
Основная оставшаяся теорема теории полей классов - это теорема существования Такаги , которая утверждает, что каждая замкнутая подгруппа конечного индекса в группе классов идеелей является группой норм, соответствующей некоторому абелеву расширению. Классический способ доказать это построить несколько расширений с небольшими группами норм, сначала добавление во многих корнях из единицы, а затем принимать куммеровы расширения и расширения Артина-Шрейер . Эти расширения могут быть неабелевыми (хотя они являются расширениями абелевых групп абелевыми группами); однако на самом деле это не имеет значения, поскольку группа норм неабелевого расширения Галуа такая же, как и у его максимального абелевого расширения (это можно показать, используя то, что мы уже знаем о полях классов). Это дает достаточно (абелевых) расширений, чтобы показать, что существует абелево расширение, соответствующее любой подгруппе конечного индекса группы классов идеелей.
Следствием этого является то, что ядро отображения Артина является связной компонентой тождества группы классов идеелей, так что абелианизация группы Галуа группы F является проконечным пополнением группы классов идеелей.
Для локальной теории полей классов также возможно более явное построение абелевых расширений, используя формальные групповые законы Любина – Тейта . Для глобальных полей абелевы расширения могут быть построены явно в некоторых случаях: например, абелевы расширения рациональных чисел могут быть построены с использованием корней из единицы, а абелевы расширения квадратичных мнимых полей могут быть построены с использованием эллиптических функций, но найти аналог этого для произвольных глобальных полей - нерешенная проблема.
Группа Вейля
- Это не группа Вейля и не имеет никакого отношения к группе Вейля – Шатле или группе Морделла – Вейля.
Группа Вейля формации классов с фундаментальными классами u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F ) является разновидностью модифицированной группы Галуа, введенной Вейлем (1951) и используемой в различных формулировках теории полей классов, и в частности, в программе Langlands .
Если Е / Р является нормальным слоем, то Вейль группа U из E / F является расширением
- 1 → A F → U → E / F → 1
соответствующий фундаментальному классу u E / F в H 2 ( E / F , A F ). Группа Вейля всей формации определяются как обратный предел групп Вейля всех слоев G / F , для F открытой подгруппы G .
Отображение взаимности формации классов ( G , A ) индуцирует изоморфизм A G к абелианизации группы Вейля.
Смотрите также
использованная литература
- Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1952], теория поля классов , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, Руководство по ремонту 0223335
- Кавада, Юкиёси (1971), «Классовые образования», 1969 Институт теории чисел (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 96–114
- Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Тексты для выпускников по математике, 67 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, Руководство по ремонту 0554237, особенно Глава XI: Формирование классов
- Тейт, Дж. (1979), "Теоретические основы чисел" , автоморфные формы, представления и L-функции, часть 2 , Proc. Симпози. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 3–26, ISBN. 978-0-8218-1435-2
- Вейль, Андре (1951), "Sur ла Теорье дю кордебалета классы", журнал математического общества Японии , 3 : 1-35, DOI : 10,2969 / jmsj / 00310001 , ISSN 0025-5645 , MR 0044569, перепечатанный в томе I его сборника статей, ISBN 0-387-90330-5