Формирование класса - Class formation

В математике формация классов - это топологическая группа, действующая на модуль, удовлетворяющий определенным условиям. Образования классов были введены Эмилем Артином и Джоном Тейтом для организации различных групп и модулей Галуа, которые появляются в теории поля классов .

Определения

Образование является топологической группой G вместе с топологическим G - модуль , на котором G действует непрерывно.

Слой Е / F формации является пара открытых подгрупп Е , Р из G такая , что F является конечным индексом подгруппа E . Он называется нормальным слоем, если F является нормальной подгруппой в E , и циклическим слоем, если, кроме того, фактор-группа является циклической. Если Е является подгруппой группы G , то Е определяется как элементы А , закрепленные Е . Мы пишем

H n ( E / F )

для группы когомологий Тейта H n ( E / F , A F ), если E / F - нормальный слой. (Некоторые авторы считают E и F фиксированными полями, а не подгруппой G , поэтому пишите F / E вместо E / F. ) В приложениях G часто является абсолютной группой Галуа поля и, в частности, проконечной , и открытые подгруппы, следовательно, соответствуют конечным расширениям поля, содержащимся в некотором фиксированном сепарабельном замыкании.

Формирование класса является формирование таким образом, что для каждого нормального слоя Е / F

H 1 ( E / F ) тривиально, и
H 2 ( E / F ) циклична порядка | E / F |,

На практике эти циклические группы снабжены каноническими генераторами u E / FH 2 ( E / F ), называемыми фундаментальными классами , которые совместимы друг с другом в том смысле, что ограничение (классов когомологий) фундаментального класса является другой фундаментальный класс. Часто фундаментальные классы считаются частью структуры классового образования.

Формация, удовлетворяющая только условию H 1 ( E / F ) = 1, иногда называется полевой формацией . Например, если G - любая конечная группа, действующая на поле L и A = L × , то это формирование поля по теореме Гильберта 90 .

Примеры

Наиболее важные примеры классовых формирований (расположенные примерно в порядке сложности) следующие:

  • Архимедова локальная теория поля классов : модуль A - это группа ненулевых комплексных чисел, а G либо тривиальна, либо является циклической группой порядка 2, порожденной комплексным сопряжением.
  • Конечные поля: модуль A - это целые числа (с тривиальным G- действием), а G - абсолютная группа Галуа конечного поля, которая изоморфна проконечному пополнению целых чисел.
  • Локальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A - это сепарабельное алгебраическое замыкание поля формальных рядов Лорана над конечным полем, а G - группа Галуа.
  • Неархимедова локальная теория полей классов характеристики 0: модуль A является алгебраическим замыканием поля p -адических чисел, а G - группа Галуа.
  • Глобальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A представляет собой объединение групп классов иделей сепарабельных конечных расширений некоторого функционального поля над конечным полем, а G - группа Галуа.
  • Глобальная теория полей классов характеристики 0: Модуль является объединением групп иделей классов полей алгебраических чисел и G является группой Галуа рациональных чисел (или некоторого поля алгебраических чисел) , действующих на A .

Свойство формирования классов легко проверить для случая конечного поля и случая архимедова локального поля, но остальные случаи более трудны. Большая часть тяжелой работы теории поля классов состоит в том, чтобы доказать, что это действительно классовые образования. Это делается в несколько этапов, как описано в разделах ниже.

Первое неравенство

Первое неравенство из теории полей классов утверждает , что

| H 0 ( E / F ) | ≥ | E / F |

для циклических слоев E / F . Обычно это доказывается с использованием свойств фактора Эрбранда в более точной форме

| H 0 ( E / F ) | = | E / F | × | H 1 ( E / F ) |.

Это довольно просто доказать, потому что фактор Эрбрана легко вычисляется, поскольку он мультипликативен на коротких точных последовательностях и равен 1 для конечных модулей.

Примерно до 1950 года первое неравенство называлось вторым неравенством, и наоборот.

Второе неравенство

Второе неравенство теории полей классов утверждает, что

| H 0 ( E / F ) | ≤ | E / F |

для всех нормальных слоев E / F .

Для локальных полей это неравенство легко следует из теоремы Гильберта 90 вместе с первым неравенством и некоторыми основными свойствами групповых когомологий.

Второе неравенство было впервые доказано Вебером для глобальных полей с использованием следующих свойств L-серии числовых полей. Предположим, что слой E / F соответствует расширению kK глобальных полей. Изучая дзета-функцию Дедекинда для K, можно показать, что простые числа степени 1 для K имеют плотность Дирихле, заданную порядком полюса при s = 1, который равен 1 (когда K является рациональным числом, это, по сути, доказательство Эйлера, что существуют бесконечно много простых чисел, использующих полюс в точке s = 1 дзета-функции Римана .) Поскольку каждое простое число в k, которое является нормой, является произведением deg ( K / k ) = | E / F | различных простых чисел K степени 1 , это показывает, что множество простых чисел k, которые являются нормами, имеет плотность 1 / | E / F |, С другой стороны, изучая L-ряд Дирихле характеров группы H 0 ( E / F ), можно показать, что плотность Дирихле простых чисел k, представляющих тривиальный элемент этой группы, имеет плотность 1 / | H 0 ( E / F ) |. (Эта часть доказательства является обобщением доказательства Дирихле, что в арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел.) Но простое число представляет собой тривиальный элемент группы H 0 ( E / F ), если он равен норме по модулю главных идеалов. , так что это множество не менее плотно, чем множество нормальных простых чисел. Так

1 / | H 0 ( E / F ) | ≥ 1 / | E / F |

что является вторым неравенством.

В 1940 году Шевалле нашел чисто алгебраическое доказательство второго неравенства, но оно длиннее и сложнее, чем первоначальное доказательство Вебера. Примерно до 1950 года второе неравенство было известно как первое неравенство; название было изменено, потому что в его алгебраическом доказательстве Шевалле используется первое неравенство.

Такаги определил поле классов как одно, в котором равенство выполняется во втором неравенстве. Согласно изоморфизму Артина, приведенному ниже, H 0 ( E / F ) изоморфно абелианизации E / F , поэтому равенство во втором неравенстве выполняется точно для абелевых расширений, а поля классов такие же, как абелевы расширения.

Первое и второе неравенства можно объединить следующим образом. Для циклических слоев два неравенства вместе доказывают, что

H 1 ( E / F ) | E / F | = H 0 ( E / F ) ≤ | E / F |

так

H 0 ( E / F ) = | E / F |

а также

H 1 ( E / F ) = 1.

Теперь основная теорема о группах когомологий показывает, что, поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех циклических слоев, мы имеем

H 1 ( E / F ) = 1

для всех нормальных слоев (так, в частности, формация - это формация поля). Это доказательство того, что H 1 ( E / F ) всегда тривиально, является довольно окольным; никаких «прямых» доказательств этого (что бы это ни значило) для глобальных полей не известно. (Для локальных полей обращение H 1 ( E / F ) в нуль - это просто теорема Гильберта 90.)

Для циклической группы H 0 совпадает с H 2 , поэтому H 2 ( E / F ) = | E / F | для всех циклических слоев. Другая теорема о групповых когомологиях показывает, что поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех нормальных слоев и H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | для всех циклических слоев имеем

H 2 ( E / F ) ≤ | E / F |

для всех нормальных слоев. (Фактически, равенство справедливо для всех нормальных слоев, но это требует больше работы; см. Следующий раздел.)

Группа Брауэра

В группы Брауэра Н 2 ( Е / *) формация класса определяется как прямой предел групп Н 2 ( Е / F ), а Р пробегает все открытые подгруппы E . Легкое следствие обращения H 1 в нуль для всех слоев состоит в том, что все группы H 2 ( E / F ) являются подгруппами группы Брауэра. В локальной теории полей классов группы Брауэра аналогичны группам полей Брауэра , но в глобальной теории полей классов группа Брауэра формации не является группой Брауэра соответствующего глобального поля (хотя они связаны).

Следующий шаг - доказать, что H 2 ( E / F ) циклично порядка точно | E / F |; предыдущий раздел показывает, что он имеет не более этого порядка, поэтому достаточно найти некоторый элемент порядка | E / F | в H 2 ( E / F ).

Доказательство произвольных расширений использует гомоморфизм группы G на проконечное пополнение целых чисел с ядром G , или, другими словами, согласованную последовательность гомоморфизмов группы G на циклические группы порядка n для всех n с ядрами G n . Эти гомоморфизмы строятся с помощью циклических циклотомических расширений полей; для конечных полей они задаются алгебраическим замыканием, для неархимедовых локальных полей они задаются максимальными неразветвленными расширениями, а для глобальных полей они немного сложнее. Поскольку эти расширения заданы явно, можно проверить, что они обладают тем свойством, что H 2 ( G / G n ) является циклическим порядка n с каноническим образующим. Из этого следует , что для любого слоя Е , группа Н 2 ( Е / ЕG ) канонически изоморфно Q / Z . Идея использования корней из единицы была введена Чеботаревым в его доказательстве теоремы плотности Чеботарева и вскоре после этого использована Артиным для доказательства своей теоремы взаимности.

Для общих слоев E , F существует точная последовательность

Две последние группы в этой последовательности могут быть идентифицированы с помощью Q / Z, и тогда отображение между ними умножается на | E / F |, Таким образом, первая группа канонически изоморфна Z / п Z . Поскольку H 2 ( E / F ) имеет порядок не более Z / n, Z должно быть равно Z / n Z (и, в частности, содержится в средней группе)).

Это показывает, что вторая группа когомологий H 2 ( E / F ) любого слоя циклическая порядка | E / F |, что завершает проверку аксиом формирования классов. С чуть большей осторожностью в доказательствах мы получаем канонический генератор H 2 ( E / F ), называемый фундаментальным классом .

Из этого следует, что группа Брауэра H 2 ( E / *) (канонически) изоморфна группе Q / Z , за исключением случая архимедовых локальных полей R и C, когда она имеет порядок 2 или 1.

Теорема Тэйта и отображение Артина

Теорема Тэйта в групповых когомологиях состоит в следующем. Предположим, что A - модуль над конечной группой G и a - такой элемент из H 2 ( G , A ), что для любой подгруппы E группы G

  • H 1 ( E , A ) тривиально и
  • Н 2 ( Е , ) порождается Res (а) , который имеет порядок Е .

Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом

  • H n ( G , Z ) → H n +2 ( G , A ).

Если мы применим случай n = −2 теоремы Тейта к формации классов, мы обнаружим, что существует изоморфизм

  • H −2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )

для любого нормального слоя Е / F . Группа Н -2 ( Е / F , Z ) является только абелианизация из E / F , и группа Н 0 ( Е / Р , Р ) является Е по модулю группы норм A F . Другими словами, мы имеем явное описание абелианизации из группы Галуа E / F в терминах A E .

Обращение к этому изоморфизму дает гомоморфизм

A E → абелианизация E / F ,

и переход к пределу по всем открытым подгруппам F дает гомоморфизм

A E → абелианизация E ,

называется карта Артина . Карта Артина не обязательно сюръективна, но имеет плотное изображение. По теореме существования, приведенной ниже, его ядром является связная компонента A E (для теории полей классов), которая тривиальна для теории полей классов неархимедовых локальных полей и для функциональных полей, но нетривиальна для архимедовых локальных полей и числа поля.

Теорема существования Такаги

Основная оставшаяся теорема теории полей классов - это теорема существования Такаги , которая утверждает, что каждая замкнутая подгруппа конечного индекса в группе классов идеелей является группой норм, соответствующей некоторому абелеву расширению. Классический способ доказать это построить несколько расширений с небольшими группами норм, сначала добавление во многих корнях из единицы, а затем принимать куммеровы расширения и расширения Артина-Шрейер . Эти расширения могут быть неабелевыми (хотя они являются расширениями абелевых групп абелевыми группами); однако на самом деле это не имеет значения, поскольку группа норм неабелевого расширения Галуа такая же, как и у его максимального абелевого расширения (это можно показать, используя то, что мы уже знаем о полях классов). Это дает достаточно (абелевых) расширений, чтобы показать, что существует абелево расширение, соответствующее любой подгруппе конечного индекса группы классов идеелей.

Следствием этого является то, что ядро ​​отображения Артина является связной компонентой тождества группы классов идеелей, так что абелианизация группы Галуа группы F является проконечным пополнением группы классов идеелей.

Для локальной теории полей классов также возможно более явное построение абелевых расширений, используя формальные групповые законы Любина – Тейта . Для глобальных полей абелевы расширения могут быть построены явно в некоторых случаях: например, абелевы расширения рациональных чисел могут быть построены с использованием корней из единицы, а абелевы расширения квадратичных мнимых полей могут быть построены с использованием эллиптических функций, но найти аналог этого для произвольных глобальных полей - нерешенная проблема.

Группа Вейля

Это не группа Вейля и не имеет никакого отношения к группе Вейля – Шатле или группе Морделла – Вейля.

Группа Вейля формации классов с фундаментальными классами u E / FH 2 ( E / F , A F ) является разновидностью модифицированной группы Галуа, введенной Вейлем (1951) и используемой в различных формулировках теории полей классов, и в частности, в программе Langlands .

Если Е / Р является нормальным слоем, то Вейль группа U из E / F является расширением

1 → A FUE / F → 1

соответствующий фундаментальному классу u E / F в H 2 ( E / F , A F ). Группа Вейля всей формации определяются как обратный предел групп Вейля всех слоев G / F , для F открытой подгруппы G .

Отображение взаимности формации классов ( GA ) индуцирует изоморфизм A G к абелианизации группы Вейля.

Смотрите также

использованная литература

  • Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1952], теория поля классов , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, Руководство по ремонту  0223335
  • Кавада, Юкиёси (1971), «Классовые образования», 1969 Институт теории чисел (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 96–114
  • Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Тексты для выпускников по математике, 67 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, Руководство по ремонту  0554237, особенно Глава XI: Формирование классов
  • Тейт, Дж. (1979), "Теоретические основы чисел" , автоморфные формы, представления и L-функции, часть 2 , Proc. Симпози. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 3–26, ISBN. 978-0-8218-1435-2
  • Вейль, Андре (1951), "Sur ла Теорье дю кордебалета классы", журнал математического общества Японии , 3 : 1-35, DOI : 10,2969 / jmsj / 00310001 , ISSN  0025-5645 , MR  0044569, перепечатанный в томе I его сборника статей, ISBN  0-387-90330-5