Классический электромагнетизм и специальная теория относительности - Classical electromagnetism and special relativity

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер Пуассон
v т е

Теория относительности играет важную роль в современной теории классического электромагнетизма . Он дает формулы того, как электромагнитные объекты, в частности электрические и магнитные поля , изменяются при преобразовании Лоренца из одной инерциальной системы отсчета в другую. Он проливает свет на взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, показывая, что система отсчета определяет, следует ли наблюдение электростатическим или магнитным законам. Это мотивирует компактное и удобное обозначение законов электромагнетизма, а именно «явно ковариантную» тензорную форму.

Уравнения Максвелла, когда они были впервые сформулированы в своей полной форме в 1865 году, оказались совместимыми со специальной теорией относительности. Более того, кажущиеся совпадения, при которых один и тот же эффект наблюдался из-за различных физических явлений двумя разными наблюдателями, будут показаны специальной теорией относительности как минимум не случайными. Фактически, половина первой статьи Эйнштейна 1905 года по специальной теории относительности « Об электродинамике движущихся тел » объясняет, как преобразовать уравнения Максвелла.

Преобразование полей между инерциальными системами отсчета

Поля E и B

Лоренцево повышение электрического заряда.

Вверху: заряд покоится в кадре F, поэтому наблюдатель видит статическое электрическое поле. Наблюдатель в другой системе отсчета F 'движется со скоростью v относительно F и видит, как заряд движется со скоростью - v с измененным электрическим полем E из-за сокращения длины и магнитным полем B из-за движения заряда.

Внизу: Аналогичная установка, с покоящимся зарядом в кадре F ′.

Это уравнение, также называемое уравнением Джоуля-Бернулли , рассматривает две инерциальные системы отсчета . Загрунтованную рам двигается относительно нештрихованный кадр со скоростью V . Поля, определенные в кадре со штрихом, обозначаются штрихами, а поля, определенные в кадре без штриха, не содержат простых чисел. Компоненты поля, параллельные скорости v , обозначены и, а компоненты поля, перпендикулярные v , обозначены как и . В этих двух системах отсчета, движущихся с относительной скоростью v , поля E и B связаны соотношением: ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E _ {\ parallel}} '& = \ mathbf {E _ {\ parallel}} \\\ mathbf {B _ {\ parallel}}' & = \ mathbf {B _ {\ parallel}} \\\ mathbf {E _ {\ bot}} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {E} _ {\ bot} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \\ \ mathbf {B _ {\ bot}} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {B} _ {\ bot} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ right) \ end {выровнен}}}$

куда

${\ displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2} }}}}$

называется фактором Лоренца, а c - скорость света в свободном пространстве . Приведенные выше уравнения представлены в единицах СИ . В CGS эти уравнения можно получить, заменив на и на , except . Фактор Лоренца ( ) одинаков в обеих системах . Обратные преобразования такие же, за исключением v → - v . ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {c}}}$${\ displaystyle v \ times B}$${\ displaystyle {\ frac {1} {c}} v \ times B}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Эквивалентное альтернативное выражение:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {B} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {B } \ cdot \ mathbf {\ шляпа {v}}) \ mathbf {\ шляпа {v}} \ конец {выровнено}}}$

где - единичный вектор скорости . С предыдущими обозначениями на самом деле есть и . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}}}$${\ displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$${\ displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$

Если одно из полей равно нулю в одной системе отсчета, это не обязательно означает, что оно равно нулю во всех других системах отсчета. Это можно увидеть, например, сделав незаштрихованное электрическое поле равным нулю при преобразовании в заряженное электрическое поле. В этом случае, в зависимости от ориентации магнитного поля, заправленная система может видеть электрическое поле, даже если его нет в незаправленной системе.

Это не означает, что в двух кадрах видны два совершенно разных набора событий, но одна и та же последовательность событий описывается двумя разными способами (см. Проблему с движущимся магнитом и проводником ниже).

Если частица заряда q движется со скоростью u относительно системы S, то сила Лоренца в системе S равна:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$

В кадре S 'сила Лоренца равна:

${\ displaystyle \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} + q \ mathbf {u '} \ times \ mathbf {B'}}$

Если оси S и S выровнены, то:

${\ displaystyle {\ begin {align} u_ {x} '& = {\ frac {u_ {x} + v} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ { y} '& = {\ frac {u_ {y} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ {z}' & = {\ frac {u_ {z} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \ конец {выровнено}}}$

Здесь приводится вывод преобразования силы Лоренца для частного случая u = 0 . Более общий вид можно увидеть здесь.

Компонент за компонентом для относительного движения вдоль оси x это выглядит следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} E '_ {x} & = E_ {x} & \ qquad B' _ {x} & = B_ {x} \\ E '_ {y} & = \ gamma \ left (E_ {y} -vB_ {z} \ right) & B '_ {y} & = \ gamma \ left (B_ {y} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z} \ справа) \\ E '_ {z} & = \ gamma \ left (E_ {z} + vB_ {y} \ right) & B' _ {z} & = \ gamma \ left (B_ {z} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {y} \ right). \\\ конец {выровнено}}}$

Преобразования в этой форме можно сделать более компактными, введя электромагнитный тензор (определенный ниже), который является ковариантным тензором .

Поля D и H

Для электрического смещения D и напряженности магнитного поля H , используя определяющие соотношения и результат для c ² :

${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \ ,, \ quad c ^ { 2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}} \ ,,}$

дает

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {D} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {D} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {H} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {H} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {H} - \ mathbf {v} \ times \ mathbf {D} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {\ hat {v} }) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {align}}}$

Аналогично для E и B , D и H образуют тензор электромагнитного смещения .

Поля φ и A

Альтернативное более простое преобразование ЭМ поля использует электромагнитные потенциалы - электрический потенциал φ и магнитный потенциал A :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi '& = \ gamma \ left (\ varphi -vA _ {\ parallel} \ right) \\ A _ {\ parallel}' & = \ gamma \ left (A _ {\ parallel} - {\ frac {v \ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \\ A _ {\ bot} '& = A _ {\ bot} \ end {align}}}$

где - компонент, параллельный A направлению относительной скорости между кадрами v , и - перпендикулярный компонент. Они прозрачно напоминают характерную форму других преобразований Лоренца (таких как временное положение и энергия-импульс), в то время как преобразования E и B выше немного сложнее. Компоненты могут быть собраны вместе как: ${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ parallel}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ bot}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} '& = \ mathbf {A} - {\ frac {\ gamma \ varphi} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} + \ left (\ гамма -1 \ вправо) \ влево (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ varphi '& = \ gamma \ left (\ varphi - \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {align}}}$

Поля ρ и J

Аналогично для плотности заряда р и плотности тока J ,

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ parallel} '& = \ gamma \ left (J _ {\ parallel} -v \ rho \ right) \\\ rho' & = \ gamma \ left (\ rho - { \ frac {v} {c ^ {2}}} J _ {\ parallel} \ right) \\ J _ {\ bot} '& = J _ {\ bot} \ end {align}}}$

Собираем компоненты вместе:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {J} '& = \ mathbf {J} - \ gamma \ rho \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathbf {J } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ rho '& = \ gamma \ left (\ rho - {\ frac {\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}$

Нерелятивистские приближения

Для скоростей v ≪ c релятивистский множитель γ ≈ 1, что дает:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} '& \ приблизительно \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \\\ mathbf {B}' & \ приблизительно \ mathbf { B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \\\ mathbf {J} '& \ приблизительно \ mathbf {J} - \ rho \ mathbf {v} \\\ rho '& \ приблизительно \ left (\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {выровнено }}}$

так что нет необходимости различать пространственные и временные координаты в уравнениях Максвелла .

Связь между электричеством и магнетизмом

Часть силы между движущимися зарядами мы называем магнитной силой. Это действительно один из аспектов электрического эффекта.

-  Ричард Фейнман

Получение магнетизма от электростатики

Выбранная система отсчета определяет, рассматривается ли электромагнитное явление как эффект электростатики, магнетизма или их комбинации. Авторы обычно выводят магнетизм из электростатики, когда учитываются специальная теория относительности и зарядовая инвариантность . В лекциях Фейнмана по физике (том 2, главы 13-6) этот метод используется для определения «магнитной» силы, действующей на движущийся заряд рядом с проводом с током. См. Также Haskell и Landau.

Поля смешиваются в разных кадрах

Приведенные выше правила преобразования показывают, что электрическое поле в одном кадре дает вклад в магнитное поле в другом кадре, и наоборот. Это часто описывают, говоря, что электрическое поле и магнитное поле - это два взаимосвязанных аспекта одного объекта, называемого электромагнитным полем . В самом деле, все электромагнитное поле можно представить в виде одного тензора ранга 2, называемого электромагнитным тензором ; увидеть ниже.

Проблема с подвижным магнитом и проводником

Знаменитый пример смешения электрических и магнитных явлений в разных системах отсчета называется «проблема движущегося магнита и проводника», цитируемый Эйнштейном в его статье 1905 года по специальной теории относительности.

Если проводник движется с постоянной скоростью через поле неподвижного магнита, вихревые токи будут возникать из-за магнитной силы, действующей на электроны в проводнике. С другой стороны, в опорной раме проводника магнит будет двигаться, а проводник - неподвижным. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что будут возникать точно такие же микроскопические вихревые токи, но они будут вызваны электрической силой.

Ковариантная формулировка в вакууме

Законы и математические объекты классического электромагнетизма могут быть записаны в явно ковариантной форме . Здесь это делается только для вакуума (или для микроскопических уравнений Максвелла, без использования макроскопических описаний материалов, таких как электрическая диэлектрическая проницаемость ), и используются единицы СИ .

В этом разделе используются обозначения Эйнштейна , включая соглашение Эйнштейна о суммировании . См. Также исчисление Риччи для обзора нотаций тензорных индексов, а также повышающих и понижающих индексов для определения надстрочных и подстрочных индексов, а также о том, как переключаться между ними. Минковский метрический тензор η здесь имеет метрическую подпись (+ - - -).

Тензор поля и 4-ток

Вышеупомянутые релятивистские преобразования предполагают, что электрическое и магнитное поля связаны вместе в математическом объекте с 6 компонентами: антисимметричным тензором второго ранга или бивектором . Это называется тензором электромагнитного поля и обычно обозначается как F ^μν . В матричной форме:

${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}$

где с на скорости света - в натуральных единицах с = 1.

Существует еще один способ объединения электрического и магнитного полей в антисимметричный тензор, заменяя E / c → B и B → - E / c , чтобы получить дуальный тензор G ^μν .

${\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 \ end {pmatrix}}}$

В контексте специальной теории относительности оба они преобразуются согласно преобразованию Лоренца согласно

${\ Displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ beta} F ^ {\ mu \ nu}}$,

где Λ ^α _ν - тензор преобразования Лоренца при переходе от одной системы отсчета к другой. При суммировании дважды используется один и тот же тензор.

Плотность заряда и тока, источники полей, также объединяются в четырехвекторную

${\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ left (c \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}$

называется четырехтоковый .

Уравнения Максвелла в тензорной форме

Используя эти тензоры, уравнения Максвелла сводятся к:

где частные производные могут быть записаны различными способами, см. 4-градиент . Первое уравнение, указанное выше, соответствует как закону Гаусса (для β = 0), так и закону Ампера-Максвелла (для β = 1, 2, 3). Второе уравнение соответствует двум оставшимся уравнениям : закону Гаусса для магнетизма (для β = 0) и закону Фарадея (для β = 1, 2, 3).

Эти тензорные уравнения явно ковариантны , что означает, что уравнения можно увидеть ковариантными по положению индексов. Эта краткая форма записи уравнений Максвелла иллюстрирует идею, разделяемую некоторыми физиками, а именно, что законы физики принимают более простую форму, когда записываются с использованием тензоров .

Понижая индексы на F ^αβ, чтобы получить F _αβ (см. Повышение и понижение индексов ):

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ alpha \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F ^ {\ lambda \ mu}}$

второе уравнение можно записать в терминах F _αβ как:

${\ displaystyle \ epsilon ^ {\ delta \ alpha \ beta \ gamma} {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {\ dfrac {\ partial F_ { \ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ gamma \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0}$

где - контравариантный символ Леви-Чивиты . Обратите внимание на циклическую перестановку индексов в этом уравнении: . ${\ Displaystyle \ эпсилон ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ дельта}}$${\ displaystyle {\ begin {array} {rc} & \ scriptstyle {\ alpha \, \, \ longrightarrow \, \, \ beta} \\ & \ nwarrow _ {\ gamma} \ swarrow \ end {array}}}$

Другой ковариантный электромагнитный объект - это электромагнитный тензор энергии-импульса , ковариантный тензор второго ранга, который включает в себя вектор Пойнтинга , тензор напряжений Максвелла и плотность электромагнитной энергии.

4-потенциальный

Тензор ЭМ поля также можно записать

${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial A ^ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial A ^ {\ alpha}} { \ partial x _ {\ beta}}} \ ,,}$

куда

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ varphi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \ ,,}$

- четырехпотенциальный и

${\ Displaystyle х _ {\ альфа} = (ct, -x, -y, -z)}$

это четырехпозиционный .

Используя 4-потенциал в калибровке Лоренца, альтернатива является явно-ковариантный препарат может быть найден в одном уравнении (обобщении уравнения из - за Бернхард Риман по Арнольду Зоммерфельд , известный как уравнение Римана-Зоммерфельд, или ковариантной форма уравнения Максвелла):

где - оператор Даламбера , или четырехлапласиан. Для более полного представления этих тем см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма . ${\ displaystyle \ Box}$

Смотрите также

• Математика электромагнитного поля
• Релятивистский электромагнетизм
• Галилеевская неинвариантность классического электромагнетизма

Сноски