Грубая структура - Coarse structure

В математической области геометрии и топологии , А грубая структура на множестве X представляет собой набор подмножеств в декартово произведение X × X с определенными свойствами , которые позволяют крупномасштабной структуры из метрических пространств и топологических пространств , которые будут определены.

Забота традиционной геометрии и топологии с мелкомасштабной структурой пространства: свойства , такими как непрерывность из функции зависит от того, прообразы небольших открытых множеств или окрестностей сами по себе являются открытыми,. Крупномасштабные свойства пространства, такие как ограниченность или степени свободы пространства, не зависят от таких характеристик. Грубая геометрия и грубая топология предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и точно так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах.

Собственно грубая структура - это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а однородной структуры .

Определение

Грубая структура на множество X представляет собой набор Е из подмножеств из X × X (поэтому падают под более общей классификацией бинарных отношений на X ) , называемых контролируемыми наборами , и так , что Е обладает отношением идентичности , замкнуто относительно взятия подмножеств, обратные и конечные объединения и замкнуты при композиции отношений . Ясно:

1. Идентичность / диагональ
Диагонали Δ = {( х , х ): х в X } является членом Х -The тождественного соотношения.
2. Закрытые подмножества
Если Е является членом Е и F представляет собой подмножество Е , то Р является членом Е .
3. Закрыт при приеме инверсии.
Если E является членом E, то обратное (или транспонированное ) E −1 = {( y , x ): ( x , y ) в E } является членом E - обратного отношения.
4. Закрыт при приеме союзов.
Если E и F являются членами Е , то объединение из Е и F является членом E .
5. Закрыто по составу
Если E и F являются членами E, то произведение E o F = {( x , y ): существует z в X такое, что ( x , z ) находится в E , ( z , y ) находится в F }, является член Е - состав отношений.

Множество X, наделенное грубой структурой E, является грубым пространством .

Множество E [ K ] определяется как { x in X  : существует y в K такое, что ( x , y ) находится в E }. Определим сечение по Е по х как множество Е [{ х }], также обозначается Е х . Символ E y обозначает множество E −1 [{ y }]. Это формы проекций .

Интуиция

Управляемые множества являются «маленькими» наборами или « незначительными множествами »: набор A такой, что A × A контролируется, незначителен, в то время как функция f  : X → X , график которой контролируется, «близок» к идентичности. В ограниченной грубой структуре эти множества являются ограниченными множествами, а функции - теми, которые находятся на конечном расстоянии от единицы в равномерной метрике .

Грубые карты

Учитывая множество S и грубую структуру X , мы говорим , что карты и находятся близко , если это управляемый набор. Подмножество B в X называется ограниченным, если является управляемым множеством.

Для грубых структур X и Y , мы говорим , что является грубой , если для каждого ограниченного множества B в Y множество ограничено в X и для каждого контролируемого множества Е из X множество управляется в Y . X и Y называются грубо эквивалентными, если существуют грубые отображения и такие, которые близки к и близки к .

Примеры

  • Ограниченная структура грубая на метрическом пространстве ( X , д ) представляет собой совокупность Е всех подмножеств Е из Х × Х такое , что Sup { г ( х , у ): ( х , у ) находится в E } является конечным .
    При такой структуре целочисленная решетка Z n грубо эквивалентна n -мерному евклидову пространству .
  • Пространство X, в котором контролируется X × X , называется ограниченным пространством. Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой ограничено (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство).
  • Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств.
    В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств).
  • С 0 грубой структурой на метрическом пространстве X есть совокупность всех подмножеств Е из X × X такого , что для всех х> 0 существует компактное множество К из X такие , что г ( х , у ) <ε для всех ( х , у ) в Е - К × К . В качестве альтернативы, набор всех подмножеств E в X × X таких, что {( x , y ) в E  : d ( x , y ) ≥ ε}, компактен.
  • Дискретная структура грубой на множество X состоит из диагональных вместе с подмножествами Е из Х × Х , которые содержат только конечное число точек ( х , у ) от диагонали.
  • Если X - топологическое пространство, то недискретная грубая структура на X состоит из всех собственных подмножеств X × X , что означает все подмножества E, такие что E [ K ] и E −1 [ K ] относительно компактны, когда K относительно компактно.

Смотрите также

Рекомендации