Связная двойственность - Coherent duality

В математике когерентная двойственность - это любое из ряда обобщений двойственности Серра , применимых к когерентным пучкам , в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , а также к некоторым аспектам коммутативной алгебры, которые являются частью «локальной» теории.

Исторические корни теории лежит в идее сопряженных линейной системы в виде линейной системы делителей в классической алгебраической геометрии. Это было переформулировано с появлением теории пучков таким образом, что аналогия с двойственностью Пуанкаре стала более очевидной. Затем в соответствии с общим принципом, относительной точкой зрения Гротендика , теория Жан-Пьера Серра была расширена до собственно морфизма ; Двойственность Серра была восстановлена как случай морфизма неособого проективного многообразия (или полного многообразия ) в точку. Получающаяся в результате теория теперь иногда называется двойственностью Серра – Гротендика – Вердье и является основным инструментом алгебраической геометрии. Обработка этой теории, Остатки и двойственность (1966) Робина Хартшорна , стала справочной. Одним из конкретных побочных результатов был остаток Гротендика .

Чтобы выйти за рамки собственных морфизмов, как для версий двойственности Пуанкаре, не относящихся к замкнутым многообразиям , требуется некоторая версия концепции компактного носителя . Это было рассмотрено в SGA2 в терминах локальных когомологий и локальной двойственности Гротендика ; и впоследствии. Двойственность Гринлис мая , впервые сформулированный в 1976 году Ральфом Штребеля и в 1978 году Эбен Матлиса , является частью продолжающегося рассмотрения этой области.

Точка зрения присоединенного функтора

В то время как двойственность Серра использует линейное расслоение или обратимый пучок в качестве дуализирующего пучка , общая теория (оказывается) не может быть настолько простой. (Точнее, может, но за счет наложения условия кольца Горенштейна .) В характерном повороте Гротендик переформулировал общую когерентную двойственность как существование правого сопряженного функтора , называемого скрученным или исключительным функтором обратного образа , на более высокий прямой образ с компактным опорным функтором . ${\ displaystyle f ^ {!}}$ ${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Высшие прямые образы в этом случае представляют собой пучковую форму когомологий пучка с собственным (компактным) носителем; они объединяются в один функтор с помощью формулировки производной категории гомологической алгебры (введенной с учетом этого случая). Если собственно, то является правым сопряженным к функтору прообраза . Теорема существования скрученного прообраза - это название, данное доказательству существования того, что могло бы быть счетчиком для комонады искомого присоединения, а именно естественного преобразования ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

{\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}

,

который обозначается (Hartshorne) или (Verdier). Это аспект теории, наиболее близкий к классическому смыслу, как следует из обозначений, что двойственность определяется интегрированием. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$ ${\ displaystyle \ int _ {f}}$

Чтобы быть более точным, существует как точный функтор от производной категории квазикогерентных пучков на , до аналогичной категории на , всякий раз, когда ${\ displaystyle f ^ {!}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}

является собственным или квазипроективным морфизмом нётеровых схем конечной размерности Крулля . Отсюда можно вывести остальную часть теории: дуализирующие комплексы вытягиваются через , символ вычета Гротендика , дуализирующий пучок в случае Коэна – Маколея . ${\ displaystyle f ^ {!}}$

Чтобы получить утверждение на более классическом языке, но все же более широкое, чем двойственность Серра, Хартсхорн ( алгебраическая геометрия ) использует функтор пучков Ext ; это своего рода ступенька к производной категории.

Классическое утверждение двойственности Гротендика для проективного или собственного морфизма нётеровых схем конечной размерности, найденное в Хартсхорне ( вычеты и двойственность ), представляет собой следующий квазиизоморфизм ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

{\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}

для ограниченного сверху комплекса -модулей с квазикогерентными когомологиями и ограниченного снизу комплекса -модулей с когерентными когомологиями. Здесь - пучки гомоморфизмов. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle O_ {X}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle O_ {Y}}$ ${\ displaystyle Hom}$

Построение псевдофунктора с использованием жестких дуализирующих комплексов ${\ displaystyle f ^ {!}}$

За прошедшие годы появилось несколько подходов к построению псевдофунктора. Один из недавних успешных подходов основан на понятии жесткого дуализирующего комплекса. Это понятие было впервые определено Ван ден Бергом в некоммутативном контексте. Конструкция основана на варианте производных когомологий Хохшильда ( когомологии Шуклы): пусть - коммутативное кольцо, и пусть - коммутативная алгебра. Существует функтор, который переносит комплекс коцепей на объект в производной категории . ${\ displaystyle f ^ {!}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k-}$ ${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$ ${\ displaystyle A}$

Асумминг является нётеровым, жесткий дуализирующий комплекс над относительно является по определению парой, где - дуализирующий комплекс над, над которым имеет конечную плоскую размерность , и где - изоморфизм в производной категории . Если такой жесткий дуализирующий комплекс существует, то он уникален в сильном смысле. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle (R, \ rho)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ rho: R \ to RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$ ${\ Displaystyle D (A)}$

Предполагая, что это локализация -алгебры конечного типа , существование жесткого дуализирующего комплекса над относительно было впервые доказано Екутиели и Чжаном в предположении, что это регулярное нётерово кольцо конечной размерности Крулля, а также Аврамовым , Айенгаром и Липманом в предположении, что это кольцо Горенштейна конечной размерности Крулля и конечной плоской размерности над . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle k}$

Если - схема конечного типа , можно склеить жесткие дуализирующие комплексы, которые имеют ее аффинные части, и получить жесткий дуализирующий комплекс . Установив глобальное существование жесткого дуализирующего комплекса, имея карту схем , можно определить , где для схемы мы устанавливаем . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle R_ {X}}$ ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Дуализация сложных примеров

Дуализирующий комплекс для проективного многообразия

Дуализирующий комплекс для проективного многообразия задается комплексом ${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}

Плоскость, пересекающая линию

Рассмотрим проективное многообразие

{\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ right) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ right)}

Мы можем вычислить, используя разрешение по локально свободным пучкам. Это дается комплексом ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {O}} _ {X}}$

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ до 0}

Поскольку у нас есть это ${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

{\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}

Это комплекс

{\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}

Смотрите также

Двойственность Вердье

Заметки

^ Verdier 1969 , элегантный и более общий подход был найден Амноном Ниманом с использованием методов алгебраической топологии, в частности, представимости Брауна , см. Neeman 1996
^ Ван ден Берг, Мишель (сентябрь 1997 г.). «Теоремы существования дуализирующих комплексов над некоммутативными градуированными и фильтрованными кольцами» . Журнал алгебры . 195 (2): 662–679. DOI : 10.1006 / jabr.1997.7052 .
^ Yekutieli Амнон (2014). «Операция возведения в квадрат для коммутативных колец DG». arXiv : 1412.4229 [ math.KT ].
^ Аврамов, Лучезар Л .; Iyengar, Srikanth B .; Липман, Джозеф; Наяк, Суреш (январь 2010 г.). «Редукция производных функторов Хохшильда над коммутативными алгебрами и схемами» . Успехи в математике . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . DOI : 10.1016 / j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 .
^ Yekutieli Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math / 0601654 . DOI : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
^ Yekutieli Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math / 0601654 . DOI : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
↑ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикантх; Липман, Джозеф (14 января 2010 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, I: Коммутативные кольца». Алгебра и теория чисел . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . DOI : 10,2140 / ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 .
^ Yekutieli Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (2004). «Жесткие дуализирующие комплексы на схемах». arXiv : math / 0405570 .
↑ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикантх; Липман, Джозеф (10 сентября 2011 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, II: Схемы». Алгебра и теория чисел . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001.3450 . DOI : 10,2140 / ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 .
^ Ковач, Шандор. «Особенности стабильных многообразий» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 22 августа 2017 года.

Languages

In other projects

Связная двойственность - Coherent duality

СОДЕРЖАНИЕ

Точка зрения присоединенного функтора

Построение псевдофунктора с использованием жестких дуализирующих комплексов ${\ displaystyle f ^ {!}}$

Дуализация сложных примеров

Дуализирующий комплекс для проективного многообразия

Плоскость, пересекающая линию

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Languages

In other projects

Связная двойственность - Coherent duality

Точка зрения присоединенного функтора

Построение псевдофунктора с использованием жестких дуализирующих комплексов ж ! {\ displaystyle f ^ {!}}

Дуализация сложных примеров

Дуализирующий комплекс для проективного многообразия

Плоскость, пересекающая линию

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Построение псевдофунктора с использованием жестких дуализирующих комплексов ${\ displaystyle f ^ {!}}$