Реакция на столкновение - Collision response

В контексте моделирования классической механики и физических движков, используемых в видеоиграх , реакция на столкновение имеет дело с моделями и алгоритмами для моделирования изменений в движении двух твердых тел после столкновения и других форм контакта.

Жесткий контакт с телом

Фазы сжатия и расширения при столкновении двух твердых тел

Два твердых тела в неограниченном движении, потенциально под действием сил, могут быть смоделированы путем решения их уравнений движения с использованием методов численного интегрирования . При столкновении кинетические свойства двух таких тел, кажется, претерпевают мгновенное изменение, обычно в результате тела отскакивают друг от друга, скользят или устанавливаются в относительный статический контакт, в зависимости от эластичности материалов и конфигурации столкновения. .

Контактные силы

Происхождение явления отскока или реакции можно проследить до поведения реальных тел, которые, в отличие от своих идеально жестких идеализированных аналогов, действительно подвергаются незначительному сжатию при столкновении с последующим расширением перед разделением. Фаза сжатия преобразует кинетическую энергию тел в потенциальную энергию и, в некоторой степени, в тепло. Фаза расширения преобразует потенциальную энергию обратно в кинетическую энергию.

Во время фаз сжатия и расширения двух сталкивающихся тел каждое тело создает силы реакции друг друга в точках контакта, так что суммарные силы реакции одного тела равны по величине, но противоположны по направлению силам другого, так как согласно ньютоновскому принципу действия и противодействия. Если пренебречь эффектами трения, столкновение рассматривается как затрагивающее только составляющую скоростей, направленных вдоль нормали контакта, и оставляющее тангенциальные составляющие незатронутыми.

Реакция

Степень относительной кинетической энергии, сохраняющейся после столкновения, называемая восстановлением , зависит от эластичности материалов тела. Коэффициент восстановления между двумя данными материалами моделируются как отношение относительной скорости после столкновения точки контакта вдоль нормали контакта, по отношению к относительной скорости до столкновения одной и той же точки вдоль той же нормаль. Эти коэффициенты обычно определяются эмпирически для различных пар материалов, таких как дерево против бетона или резина против дерева. Значения, близкие к нулю, указывают на неупругие столкновения, такие как удар кусочка мягкой глины об пол, тогда как значения, близкие к единице, представляют собой высокоэластичные столкновения, такие как резиновый мяч, отскакивающий от стены. Потери кинетической энергии относятся к одному телу по отношению к другому. Таким образом, полный импульс обоих тел относительно некоторой общей точки отсчета не изменяется после столкновения в соответствии с принципом сохранения количества движения . ${\ displaystyle e \ in [0..1]}$${\ displaystyle e}$

Трение

Трение из-за несовершенства микроструктуры поверхности

Другим важным явлением контакта является трение между поверхностями, сила, которая препятствует относительному движению двух соприкасающихся поверхностей или движению тела в жидкости. В этом разделе мы обсуждаем трение поверхности о поверхность двух тел в относительном статическом контакте или скользящем контакте. В реальном мире трение возникает из-за несовершенной микроструктуры поверхностей, выступы которых сцепляются друг с другом, создавая реактивные силы, касательные к поверхностям.

Чтобы преодолеть трение между двумя телами, находящимися в статическом контакте, поверхности должны как-то оторваться друг от друга. Находясь в движении, степень сродства к поверхности уменьшается, и, следовательно, тела в скользящем движении имеют тенденцию оказывать меньшее сопротивление движению. Эти две категории трения соответственно называются статическим трением и динамическим трением .

Приложенная сила

Это Сила, которая применяется к объекту другим объектом или человеком. Направление приложенной силы зависит от того, как она приложена.

Нормальная сила

Это опорная сила, прилагаемая к объекту, находящемуся в контакте с другим устойчивым объектом. Нормальную силу иногда называют силой сжатия, поскольку ее действие сжимает поверхность вместе. Нормальная сила всегда направлена ​​к объекту и действует перпендикулярно приложенной силе.

Сила трения

Это сила, прилагаемая поверхностью, когда объект движется по ней или делает усилие, чтобы переместиться по ней. Сила трения препятствует движению объекта. Трение возникает, когда две поверхности плотно прижимаются друг к другу, вызывая межмолекулярные силы притяжения между молекулами двух разных поверхностей. Таким образом, трение зависит от природы двух поверхностей и от степени их прижатия друг к другу. Трение всегда действует параллельно соприкасающейся поверхности и противоположно направлению движения. Сила трения может быть рассчитана с помощью уравнения.

Импульсная контактная модель

Сила , зависящая от времени , действующая на тело предполагаемой постоянной массы в течение определенного интервала времени, вызывает изменение количества движения тела , где - результирующее изменение скорости. Таким образом, изменение количества движения, называемое импульсом и обозначаемое как ${\ Displaystyle \ mathbf {е} (т) \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ lbrack t_ {0} .. t_ {1} \ rbrack}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) = m \ mathbf {v} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (т)}$${\ displaystyle j \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ mathbf {f} dt}$

Для фиксированного импульса уравнение предполагает , что меньший временной интервал должен быть компенсирован более сильной силой реакции для достижения того же импульса. При моделировании столкновения между идеализированными твердыми телами непрактично моделировать фазы сжатия и расширения геометрии тела в течение интервала времени столкновения. Однако, если предположить, что можно найти силу, равную везде, кроме при , и такую, что предел ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$${\ displaystyle t_ {1} \ rightarrow t_ {0} \ Rightarrow \ left | \ mathbf {f} \ right | \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t_ {0}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ mathbf {f} dt}$

существует и равно , понятие мгновенных импульсов может быть введено для моделирования мгновенного изменения скорости после столкновения. ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$

Модель импульсной реакции

Применение импульсов в месте столкновения

Таким образом, действие силы реакции на интервале столкновения может быть представлено мгновенным импульсом реакции , рассчитываемым как ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {r} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle [т_ {0} .. т_ {1}]}$${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ mathbf {f} _ {r} dt}$

Исходя из принципа действия и противодействия, если импульс столкновения, приложенный первым телом ко второму телу в точке контакта, равен , то противодействующий импульс, приложенный вторым телом к ​​первому, равен . Разложение на величину и направление импульса вдоль нормали контакта и его отрицание позволяет вывести формулу для вычисления изменения линейной и угловой скоростей тел в результате импульсов столкновения. В последующих формулах всегда предполагается, что он направлен от тела 1 и к телу 2 в точке контакта. ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {r} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r}}$${\ displaystyle - \ mathbf {j} _ {r}}$${\ displaystyle \ pm \ mathbf {j} _ {r} = \ pm j_ {r} \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ displaystyle j_ {r} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle - \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Предполагая, что величина импульса столкновения задана, и используя законы движения Ньютона, соотношение между до- и постлинейной скоростями тел выглядит следующим образом ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r}}$

	${\ displaystyle \ mathbf {v '} _ {1} = \ mathbf {v} _ {1} - {\ frac {j_ {r}} {m_ {1}}} \ mathbf {\ hat {n}}}$	(1а)
	${\ displaystyle \ mathbf {v '} _ {2} = \ mathbf {v} _ {2} + {\ frac {j_ {r}} {m_ {2}}} \ mathbf {\ hat {n}}}$	(1b)

где для th тела - линейная скорость до столкновения, - линейная скорость после столкновения. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {v '} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

Аналогично для угловых скоростей

	${\ displaystyle \ mathbf {\ omega '} _ {1} = \ mathbf {\ omega} _ {1} -j_ {r} \ mathbf {I} _ {1} ^ {- 1} (\ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {\ hat {n}})}$	(2а)
	${\ displaystyle \ mathbf {\ omega '} _ {2} = \ mathbf {\ omega} _ {2} + j_ {r} \ mathbf {I} _ {2} ^ {- 1} (\ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {\ hat {n}})}$	(2b)

где для th тела - угловая скорость до столкновения, - угловая скорость после столкновения, - тензор инерции в мировой системе отсчета, и это смещение точки общего контакта от центра масс. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ omega} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ omega '} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Скорости тел в точке контакта могут быть вычислены в терминах соответствующих линейных и угловых скоростей, используя ${\ displaystyle v_ {p1}, v_ {p2} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {pi} = \ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {\ omega} _ {i} \ times \ mathbf {r} _ {i}}$

(3)

для . Коэффициент восстановления связывает относительную скорость точки контакта до столкновения с относительной скоростью после столкновения вдоль нормали контакта следующим образом ${\ displaystyle i = 1,2}$${\ displaystyle e}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {r} = \ mathbf {v} _ {p2} - \ mathbf {v} _ {p1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v '} _ {r} = \ mathbf {v'} _ {p2} - \ mathbf {v '} _ {p1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v '} _ {r} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = -e \ mathbf {v} _ {r} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}}$

(4)

Подставляя уравнения (1a), (1b), (2a), (2b) и (3) в уравнение (4) и решая для величины импульса реакции, получаем ${\ displaystyle j_ {r}}$

${\ displaystyle j_ {r} = {\ frac {- (1 + e) ​​\ mathbf {v} _ {r} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} {{m_ {1}} ^ {- 1 } + {m_ {2}} ^ {- 1} + ({\ mathbf {I} _ {1}} ^ {- 1} (\ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {\ hat {n }}) \ times \ mathbf {r} _ {1} + {\ mathbf {I} _ {2}} ^ {- 1} (\ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {\ hat {n }}) \ times \ mathbf {r} _ {2}) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}}}}$

(5)

Вычисление импульсной реакции

Таким образом, процедура вычисления линейных и угловых скоростей после столкновения выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbf {v '} _ {я}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ omega '} _ {я}}$

1. Вычислить величину реакции импульса в терминах , , , , , , , и с использованием уравнения (5)${\ displaystyle j_ {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {r}}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle e}$
2. Вычислите вектор импульса реакции с точки зрения его величины и нормали контакта, используя .${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r}}$${\ displaystyle j_ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r} = j_ {r} \ mathbf {\ hat {n}}}$
3. Вычислите новые линейные скорости в терминах старых скоростей , масс и вектора импульса реакции, используя уравнения (1a) и (1b).${\ Displaystyle \ mathbf {v '} _ {я}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r}}$
4. Вычислите новые угловые скорости в терминах старых угловых скоростей , тензоров инерции и импульса реакции, используя уравнения (2a) и (2b).${\ displaystyle \ mathbf {\ omega '} _ {я}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ omega} _ {я}}$${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {i}}$${\ displaystyle j_ {r}}$

Импульсная модель трения

Кулоновская модель трения - конус трения

Одной из самых популярных моделей для описания трения является модель кулоновского трения . Эта модель определяет такие коэффициенты статического и динамического трения , что . Эти коэффициенты описывают два типа сил трения в терминах сил реакции, действующих на тела. В частности, величины статической и динамической силы трения вычисляются с точки зрения величины силы реакции следующим образом: ${\ displaystyle {\ mu} _ {s} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mu} _ {d} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mu} _ {s}> {\ mu} _ {d}}$${\ displaystyle f_ {s}, f_ {d} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f_ {r} = | \ mathbf {f} _ {r} |}$

	${\ displaystyle f_ {s} = {\ mu} _ {s} f_ {r}}$	(6а)
	${\ displaystyle f_ {d} = {\ mu} _ {d} f_ {r}}$	(6b)

Значение определяет максимальную величину силы трения, необходимой для противодействия тангенциальной составляющей любой внешней суммарной силы, приложенной к относительно статичному телу, так что оно остается статичным. Таким образом, если внешняя сила достаточно велика, статическое трение не может полностью противостоять этой силе, и в этот момент тело набирает скорость и становится подверженным динамическому трению величины, действующему против скорости скольжения. ${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle f_ {d}}$

Модель кулоновского трения эффективно определяет конус трения, внутри которого тангенциальной составляющей силы, действующей одним телом на поверхность другого в статическом контакте, противодействует равная и противоположная сила, так что статическая конфигурация сохраняется. И наоборот, если сила выходит за пределы конуса, статическое трение уступает место динамическому трению.

Учитывая нормаль контакта и относительную скорость точки контакта , можно определить касательный вектор , ортогональный к нему , так что ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {r} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

где - сумма всех внешних сил на теле. Многократное определение требуется для надежного вычисления фактической силы трения как для общего, так и для частного состояния контакта. Неформально, в первом случае вычисляется касательный вектор вдоль составляющей относительной скорости, перпендикулярной нормали контакта . Если эта составляющая равна нулю, второй случай определяется касательной составляющей внешней силы . Если нет тангенциальной скорости или внешних сил, то трение не предполагается и может быть установлено равным нулевому вектору. Таким образом, вычисляется как ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {e} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {f} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {e} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {f} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

Уравнения (6a), (6b), (7) и (8) описывают модель кулоновского трения в терминах сил. Путем адаптации аргумента для мгновенных импульсов может быть получена импульсная версия кулоновской модели трения, связывающая импульс трения , действующий по касательной , с импульсом реакции . Интегрирование (6a) и (6b) по интервалу времени столкновения дает ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {f} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {r} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle [т_ {0} .. т_ {1}]}$

	${\ displaystyle j_ {s} = {\ mu} _ {s} j_ {r}}$	(9а)
	${\ displaystyle j_ {d} = {\ mu} _ {d} j_ {r}}$	(9b)

где - величина импульса реакции, действующего по нормали контакта . Точно так же, полагая постоянным во всем временном интервале, интегрирование (8) дает ${\ displaystyle j_ {r} = | \ mathbf {j} _ {r} |}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$

Уравнения (5) и (10) определяют модель контакта на основе импульсов, которая идеально подходит для моделирования на основе импульсов. При использовании этой модели, необходимо соблюдать осторожность при выборе и , как более высокие значения могут вводить дополнительную кинетическую энергию в систему. ${\ displaystyle {\ mu} _ {s}}$${\ displaystyle {\ mu} _ {d}}$

Заметки

Рекомендации

• К. Велла, "Gravitas: расширяемая структура физического движка, использующая принципы объектно-ориентированной архитектуры и архитектуры программного обеспечения, основанной на шаблонах", диплом магистра в области информационных технологий, Мальтийский университет, Мсида, 2008.