Метод коллокации - Collocation method

В математике метод коллокации - это метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений , уравнений в частных производных и интегральных уравнений . Идея состоит в том, чтобы выбрать конечномерное пространство возможных решений (обычно полиномов до определенной степени) и количество точек в области (называемых точками коллокации ), и выбрать то решение, которое удовлетворяет данному уравнению в точках коллокации .

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Предположим, что обыкновенное дифференциальное уравнение

должен быть решен на интервале . Выберите из 0 ≤ c 1 < c 2 <… < c n ≤ 1.

Соответствующий (полиномиальный) метод коллокации аппроксимирует решение y полиномом p степени n, удовлетворяющим начальному условию , и дифференциальному уравнению

во всех точках коллокации для . Это дает n  + 1 условий, которые соответствуют n  + 1 параметрам, необходимым для задания полинома степени n .

Все эти методы коллокации на самом деле являются неявными методами Рунге – Кутты . Коэффициенты c k в таблице Бутчера метода Рунге – Кутты являются точками коллокации. Однако не все неявные методы Рунге – Кутты являются методами коллокации.

Пример: правило трапеции

Выберите, например, две точки сопоставления c 1 = 0 и c 2 = 1 (так что n = 2). Условия коллокации:

Есть три условия, поэтому p должен быть многочленом степени 2. Запишите p в виде

для упрощения вычислений. Затем можно решить условия коллокации, чтобы получить коэффициенты

Метод коллокации теперь задается (неявно)

где y 1 = p ( t 0  +  h ) - приближенное решение при t = t 0  +  h .

Этот метод известен как « правило трапеций » для дифференциальных уравнений. Действительно, этот метод также можно получить, переписав дифференциальное уравнение в виде

и аппроксимация интеграла в правой части правилом трапеций для интегралов.

Другие примеры

В методах Гаусса – Лежандра точки квадратур Гаусса – Лежандра используются в качестве точек коллокации. Метод Гаусса – Лежандра, основанный на s- точках, имеет порядок 2 s . Все методы Гаусса – Лежандра A-устойчивы .

Фактически, можно показать, что порядок метода коллокации соответствует порядку квадратурного правила, которое можно получить, используя точки коллокации в качестве весов.

Примечания

Ссылки

  • Ascher, Uri M .; Петцольд, Линда Р. (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN 978-0-89871-412-8.
  • Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
  • Изерлес, Ари (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
  • Ван, Инвэй; Чен, Сукин; Ву, Xionghua (2009), «Рациональный спектральный метод коллокации для решения одного класса параметризованных сингулярно возмущенных задач», Журнал вычислительной и прикладной математики , 233 (10): 2652-2660, DOI : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.