Полное метрическое пространство - Complete metric space

В математическом анализе , А метрическое пространство М называется полным (или Коши пространство ) , если каждая последовательность Коши точек М имеет предел , который также в M .

Интуитивно понятно, что пространство считается полным, если в нем нет «пропущенных точек» (внутри или на границе). Например, набор рациональных чисел не является полным, потому что, например, в нем «отсутствует», даже если можно построить последовательность рациональных чисел Коши, которая сходится к нему (см. Дальнейшие примеры ниже). Всегда можно «заполнить все дыры», что приведет к заполнению заданного пространства, как описано ниже. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Определение

Последовательность Коши

Последовательность x ₁ , x ₂ , x ₃ ,… в метрическом пространстве ( X , d ) называется Коши, если для каждого положительного действительного числа r > 0 существует такое натуральное число N , что для всех положительных целых чисел m , n > N ,

д ( х _м , х _п ) < р .

Константа расширения

Константа расширения метрического пространства - это точная нижняя грань всех констант , так что всякий раз, когда семейство пересекается попарно, пересечение непусто.${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle \ left \ {{\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \, r _ {\ alpha}) \ right \}}$${\ textstyle \ bigcap _ {\ alpha} {\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \ mu r _ {\ alpha})}$

Полное пространство

Метрическое пространство ( X , d ) считается полным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждая последовательность Коши точек в X имеет предел , который также в X .
2. Каждая последовательность Коши в X сходится в X (то есть в некоторую точку X ).
3. Константа разложения ( X , d ) ≤ 2.
4. Каждый убывающая последовательность непустых замкнутых подмножеств из X , с диаметрами , стремящимися к 0, имеет непустое пересечение : если Р _п замкнуто и не пусто, Р _{п + 1} ⊆ F _п для каждого п , а диаметр ( Ф _n ) → 0 , то существует точка x ∈ X, общая для всех множеств F _n .

Примеры

Пространство Q из рациональных чисел , со стандартной метрикой , заданной абсолютной величиной от разности , не является полным. Рассмотрим, например, последовательность, определенную формулой x ₁ = 1, и это последовательность рациональных чисел Коши, но она не сходится к какому-либо рациональному пределу: если последовательность действительно имеет предел x , то, решая обязательно x ²  = 2, все же ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, рассматриваемое как последовательность действительных чисел , оно сходится к иррациональному числу . ${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n}} {2}} + {\ frac {1} {x_ {n}}}.}.$${\ displaystyle x = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Открытый интервал (0,1) , опять - таки с абсолютным значением метрики, не является полным либо. Последовательность, определяемая как x _n =1/пявляется Коши, но не имеет предела в данном пространстве. Однако замкнутый интервал [0,1] является полным; например, данная последовательность имеет предел в этом интервале, и предел равен нулю.

Пространство R действительных чисел и пространство C из комплексных чисел (с метрикой дано по абсолютной величине) является полным, и поэтому евклидово пространства R ^п , с обычным расстоянием метрикой. Напротив, бесконечномерные нормированные векторные пространства могут быть или не быть полными; полные - банаховы пространства . Пространство С [ ,  Ь ] из непрерывных вещественных функций на замкнутом и ограниченном интервале банахово пространство, и поэтому полное метрическое пространство, по отношению к норме супремума . Однако норма супремума не дает нормы на пространстве C ( a ,  b ) непрерывных функций на ( a ,  b ) , поскольку оно может содержать неограниченные функции. Вместо этого, с топологией компактной сходимости , С ( ,  б ) может быть задана структура пространства Фреше : а локально выпуклое топологическое векторное пространство , топология может быть вызвана полным переводом-инвариантной метрики.

Пространство Q _р о р -адических чисел является полным для любого простого числа р . Это пространство завершает Q с р -адических метриками таким же образом , что R завершает Q с обычной метрикой.

Если S - произвольное множество, то множество S ^N всех последовательностей в S становится полным метрическим пространством, если мы определим расстояние между последовательностями ( x _n ) и ( y _n ) как1/N, Где N представляет собой наименьший индекс , для которого х _Н является отличие от у _N , или 0 , если не существует такой индекс. Это пространство гомеоморфно к продукту из более счетного числа копий дискретного пространства S .

Полные римановы многообразия называются геодезическими ; полнота следует из теоремы Хопфа – Ринова .

Некоторые теоремы

Каждое компактное метрическое пространство полно, хотя полные пространства не обязательно должны быть компактными. Фактически, метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . Это обобщение теоремы Гейне – Бореля , которая утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство S в R ⁿ компактно и, следовательно, полно.

Пусть ( X , d ) - полное метрическое пространство. Если A ⊆ X - замкнутое множество, то A также полно. Пусть ( X , d ) - метрическое пространство. Если A ⊆ X - полное подпространство, то A также замкнуто.

Если X - множество, а M - полное метрическое пространство, то множество B ( X , M ) всех ограниченных функций f из X в M является полным метрическим пространством. Здесь мы определяем расстояние в B ( X , M ) через расстояние в M с нормой супремума

${\ Displaystyle d (е, g) \ эквив \ sup \ left \ {d [f (x), g (x)]: x \ in X \ right \}}$

Если X - топологическое пространство, а M - полное метрическое пространство, то множество C _b ( X , M ), состоящее из всех непрерывных ограниченных функций f из X в M, является замкнутым подпространством в B ( X , M ) и, следовательно, также полным .

Теорема Бэра о категории утверждает, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра . То есть, объединение из счетного числа нигде не плотных подмножеств пространства имеет пустой интерьер .

Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что сжимающее отображение на полном метрическом пространстве допускает неподвижную точку. Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теоремы об обратной функции для полных метрических пространств, таких как банаховы пространства.

Завершение

Для любого метрического пространства M можно построить полное метрическое пространство M ′ (которое также обозначается как M ), которое содержит M как плотное подпространство . Он обладает следующим универсальным свойством : если N - любое полное метрическое пространство, а f - любая равномерно непрерывная функция от M до N , то существует единственная равномерно непрерывная функция f ′ от M до N, которая расширяет f . Пространство М» определяется до изометрии этого свойство (среди всех полных метрических пространств , содержащих изометрически М ), и называется завершение из М .

Завершение М может быть построена в виде набора классов эквивалентности последовательностей Коши в М . Для любых двух последовательностей Коши x  = ( x _n ) и y  = ( y _n ) в M мы можем определить их расстояние как

${\ displaystyle d (x, y) = \ lim _ {n} d \ left (x_ {n}, y_ {n} \ right)}$

(Этот предел существует, потому что действительные числа являются полными.) Это всего лишь псевдометрика , но еще не метрика, поскольку две разные последовательности Коши могут иметь расстояние 0. Но «иметь расстояние 0» является отношением эквивалентности на множестве всех Коши. последовательности, и множество классов эквивалентности является метрическим пространством, завершение М . Исходное пространство вкладывается в это пространство посредством идентификации элемента x из M ' с классом эквивалентности последовательностей в M, сходящихся к x (т. Е. Класс эквивалентности, содержащий последовательность с постоянным значением x ). При необходимости это определяет изометрию на плотное подпространство. Обратите внимание, однако, что эта конструкция явно использует полноту действительных чисел, поэтому завершение рациональных чисел требует немного иной обработки.

Конструкция вещественных чисел Кантора аналогична приведенной выше конструкции; действительные числа представляют собой завершение рациональных чисел с использованием обычного абсолютного значения для измерения расстояний. Дополнительная тонкость, с которой приходится бороться, заключается в том, что логически недопустимо использовать полноту действительных чисел в их собственном построении. Тем не менее классы эквивалентности последовательностей Коши определены, как указано выше, и легко показать, что набор классов эквивалентности является полем , имеющим рациональные числа в качестве подполя. Это поле полно, допускает естественный тотальный порядок и является единственным полностью упорядоченным полным полем (с точностью до изоморфизма). Он определяется как поле действительных чисел (подробнее см. Также Построение действительных чисел ). Один из способов визуализировать эту идентификацию с действительными числами, как это обычно рассматривается, состоит в том, что класс эквивалентности, состоящий из тех последовательностей Коши рациональных чисел, которые «должны» иметь данный реальный предел, отождествляется с этим действительным числом. Усечения десятичного разложения дают только один выбор последовательности Коши в соответствующем классе эквивалентности.

Для простого р , то р -адические числа возникают при заполнении рациональных чисел относительно другой метрики.

Если предыдущая процедура завершения применяется к нормированному векторному пространству , результатом является банахово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство, а если оно применяется к внутреннему пространству продукта , результатом является гильбертово пространство, содержащее исходное пространство в виде плотное подпространство.

Топологически полные пространства

Полнота - это свойство метрики, а не топологии , что означает, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфным неполному . Примером служат действительные числа, которые полны, но гомеоморфны открытому интервалу (0,1) , который не является полным.

В топологии рассматриваются вполне метризуемые пространства , для которых существует хотя бы одна полная метрика, индуцирующая данную топологию. Полностью метризуемые пространства можно охарактеризовать как те пространства, которые можно записать как пересечение счетного числа открытых подмножеств некоторого полного метрического пространства. Поскольку заключение теоремы Бэра о категориях чисто топологическое, оно применимо и к этим пространствам.

Вполне метризуемые пространства часто называют топологически полными . Однако последний термин несколько произвольный, поскольку метрика - не самая общая структура топологического пространства, для которой можно говорить о полноте (см. Раздел « Альтернативы и обобщения» ). Действительно, некоторые авторы используют термин топологически полный для более широкого класса топологических пространств, полностью униформизуемых пространств .

Топологическое пространство, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству, называется польским пространством .

Альтернативы и обобщения

Поскольку последовательности Коши также могут быть определены в общих топологических группах , альтернативой использованию метрической структуры для определения полноты и построения пополнения пространства является использование групповой структуры. Это чаще всего наблюдается в контексте топологических векторных пространств , но требует только существования непрерывной операции «вычитания». В этом случае расстояние между двумя точками x и y измеряется не действительным числом ε через метрику d при сравнении d ( x , y ) <  ε , а открытой окрестностью N 0 посредством вычитания при сравнении x  -  у  ∈  N .

Общее обобщение этих определений можно найти в контексте однородного пространства , где антураж - это набор всех пар точек, которые находятся не более чем на определенном «расстоянии» друг от друга.

Также возможно заменить последовательности Коши в определении полноты сетями Коши или фильтрами Коши . Если каждая сеть Коши (или, что эквивалентно, каждый фильтр Коши) имеет предел в X , то X называется полным. Кроме того, можно построить пополнение для произвольного равномерного пространства, подобное пополнению метрических пространств. Наиболее общая ситуация, в которой применяются сети Коши, - это пространства Коши ; у них тоже есть понятие полноты и завершения, как и у однородных пространств.

Смотрите также

• Пространство Коши
• Завершение (алгебра)
• Полное однородное пространство
• Полное топологическое векторное пространство  - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
• Теорема Кнастера – Тарского.

Примечания

использованная литература

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Крейсциг, Эрвин , Вводный функциональный анализ с приложениями (Wiley, Нью-Йорк, 1978). ISBN  0-471-03729-X
• Ланг, Серж , "Реальный и функциональный анализ" ISBN  0-387-94001-4
• Мейсе, Райнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ . Рамануджан, MS (пер.). Оксфорд: Clarendon Press; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851485-9.