Коноид - Conoid

правый круговой коноид: директриса (красная) - круг, ось (синяя) перпендикулярна плоскости директрисы (желтая)

В геометрии коноид (греч κωνος конус и -ειδης подобный) является линейчатой поверхностью , решение которого (линия) выполнять дополнительные условия

(1) Все линейки параллельны плоскости, плоскости направляющей .

(2) Все линейки пересекают фиксированную линию - ось .

• Коноид является прямым коноидом , если его ось перпендикулярна плоскости директрисы. Следовательно, все линейки перпендикулярны оси.

В силу (1) любой коноид является каталонской поверхностью и может быть параметрически представлен как

• ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \ mathbf {r} (u) \,}$

Любая кривая с фиксированным параметром является линией, описывает директрису, и все векторы параллельны плоскости директрисы. Планарность векторов может быть представлена ​​как ${\ Displaystyle \ mathbf {х} (и_ {0}, v)}$${\ displaystyle u = u_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {с} (и)}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} (и)}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} (и)}$

${\ Displaystyle \ Det (\ mathbf {r}, \ mathbf {\ dot {r}}, \ mathbf {\ ddot {r}}) = 0}$.

• Если направляющая - круг, то коноид называется круговым коноидом .

Термин коноид уже использовался Архимедом в его трактате « О коноидах и сфероидах» .

Примеры

Правый круговой коноид

Параметрическое представление

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = (\ соз и, \ sin u, 0) + v (0, - \ sin u, z_ {0}) \, \ 0 \ leq u <2 \ пи, v \ in \ mathbb {R}}$

описывает правый круговой коноид с единичным кругом плоскости xy как направляющую и плоскость направляющей, которая параллельна плоскости y - z. Его ось - линия${\ Displaystyle (х, 0, z_ {0}) \ х \ in \ mathbb {R} \.}$

Особенности :

1. Пересечение с горизонтальной плоскостью представляет собой эллипс.
2. ${\ displaystyle (1-x ^ {2}) (z-z_ {0}) ^ {2} -y ^ {2} z_ {0} ^ {2} = 0}$неявное представление. Следовательно, правый круговой коноид - это поверхность степени 4.
3. Правило Кеплера дает для правого кругового коноида с радиусом и высотой точным объемом: .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle V = {\ tfrac {\ pi} {2}} г ^ {2} ч}$

Неявное представление также выполняется точками линии . Для этих точек нет касательных плоскостей . Такие точки называются особыми . ${\ displaystyle (х, 0, z_ {0})}$

Параболический коноид

параболический коноид: директриса - парабола

Параметрическое представление

${\ displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = \ left (1, u, -u ^ {2} \ right) + v \ left (-1,0, u ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle = \ left (1-v, u, - (1-v) u ^ {2} \ right) \, u, v \ in \ mathbb {R} \,}$

описывает параболический коноид уравнением . Коноид имеет параболу в качестве направляющей, ось y в качестве оси и плоскость, параллельную плоскости xz, в качестве плоскости направляющей. Он используется архитекторами в качестве кровельного покрытия (см. Ниже). ${\ displaystyle z = -xy ^ {2}}$

Параболический коноид не имеет особых точек.

Дальнейшие примеры

1. гиперболический параболоид
2. Коноид Плюккера
3. Whitney Umbrella
4. геликоид

• 

  гиперболический параболоид

• 

  Коноид Плюккера

• 

  Зонтик Whitney

Приложения

коноид в архитектуре

коноиды в архитектуре

Математика

Существует множество коноидов с особыми точками, которые исследуются в алгебраической геометрии .

Архитектура

Как и другие линейчатые поверхности, коноиды вызывают большой интерес у архитекторов, потому что они могут быть построены с использованием балок или стержней. Правые коноиды можно изготавливать легко: стержни навинчиваются на ось, так что их можно вращать только вокруг этой оси. После этого стержни отклоняются по направляющей и образуется коноид (т.н. параболический коноид).

внешние ссылки

• mathworld: коноид Плюккера
• "Коноид" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

• А. Грей, Э. Аббена, С. Саламон, Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica , 3-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 2006. [1] ( ISBN  978-1-58488-448-4 )
• Владимир Юрьевич Ровенский, Геометрия кривых и поверхностей с MAPLE [2] ( ISBN  978-0-8176-4074-3 )