Консервативная сила - Conservative force

Часть серии о
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История Лента новостей Учебники
ветви
Основы
Составы
Основные темы
Вращение
Ученые
Физический портал  Категория
v т е

Консервативная сила является силой , с тем свойством , что общая работа осуществляется при перемещении частицы между двумя точками не зависит от пути , пройденного. Точно так же, если частица движется по замкнутому контуру, общая проделанная работа (сумма силы, действующей вдоль пути, умноженная на смещение) консервативной силой равна нулю.

Консервативная сила зависит только от положения объекта. Если сила является консервативной, можно присвоить числовое значение для потенциала в любой точке и, наоборот, когда объект перемещается из одного места в другое, сила изменяет потенциальную энергию объекта на величину, которая не зависит от выбранный путь, способствующий механической энергии и общему сохранению энергии . Если сила неконсервативна, то определение скалярного потенциала невозможно, потому что выбор разных путей приведет к противоречивым потенциальным различиям между начальной и конечной точками.

Гравитационная сила является примером консервативной силы, а сила трения - примером неконсервативной силы.

Другими примерами консервативных сил являются: сила в упругой пружине, электростатическая сила между двумя электрическими зарядами и магнитная сила между двумя магнитными полюсами. Последние две силы называются центральными силами, поскольку они действуют вдоль линии, соединяющей центры двух заряженных / намагниченных тел. Центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична.

Неформальное определение

Неформально консервативную силу можно рассматривать как силу, сохраняющую механическую энергию . Предположим, что начинается частицы в точке А, и существует сила F , действующая на нее. Затем частица перемещается под действием других сил и в конце концов снова оказывается в точке A. Хотя частица все еще может двигаться, в тот момент, когда она снова проходит точку A, она прошла замкнутый путь. Если сетевая работа, выполненная F в этой точке, равна 0, то F проходит тест замкнутого пути. Любая сила, которая проходит тест на замкнутый путь для всех возможных замкнутых путей, классифицируется как консервативная сила.

Сила тяжести , сила пружины , магнитная сила (согласно некоторым определениям, см ниже) и электрическая силу ( по крайней мере , в магнитном поле , не зависящее от времени, см закона Фарадея индукции для деталей) являются примерами консервативных сил, в то время как трение и воздух сопротивление являются классическими примерами неконсервативных сил.

Для неконсервативных сил механическая энергия, которая теряется (не сохраняется), должна быть направлена ​​в другое место в результате сохранения энергии . Обычно энергия превращается в тепло , например тепло, выделяемое при трении. Помимо тепла, трение также часто производит некоторую звуковую энергию. Гидравлическое сопротивление движущейся лодки преобразует механическую энергию лодки не только в тепловую и звуковую энергию, но и в энергию волн по краям ее следа . Эти и другие потери энергии необратимы из-за второго закона термодинамики .

Независимость от пути

Прямым следствием теста замкнутого пути является то, что работа, выполняемая консервативной силой над частицей, движущейся между любыми двумя точками, не зависит от пути, пройденного частицей.

Это проиллюстрировано на рисунке справа: работа, совершаемая гравитационной силой над объектом, зависит только от его изменения высоты, потому что гравитационная сила консервативна. Работа, выполняемая консервативной силой, равна отрицательному изменению потенциальной энергии во время этого процесса. Для доказательства представьте два пути 1 и 2, оба идущие от точки A к точке B. Изменение энергии частицы, идущее по пути 1 от A к B, а затем по пути 2 назад от B к A, равно 0; таким образом, работа одинакова для путей 1 и 2, т. е. работа не зависит от пройденного пути, пока она идет от A к B.

Например, если ребенок скользит по горке без трения, работа, выполняемая гравитационной силой над ребенком от начала горки до конца, не зависит от формы горки; это зависит только от вертикального перемещения ребенка.

Математическое описание

Силовое поле F , определенное всюду в пространстве (или в односвязной объеме пространства), называется консервативной силой или консервативным векторным полем , если он соответствует любому из этих трех эквивалентных условий:

Доказательство эквивалентности этих трех условий, когда F - силовое поле

Основная статья: Консервативное векторное поле 1 следует 2 Пусть C - любой простой замкнутый путь (т. Е. Путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке и не имеет самопересечений), и рассмотрим поверхность S, у которой C является границей. Тогда теорема Стокса гласит, что ${\ displaystyle \ int _ {S} \ left ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {a}} = \ oint _ {C} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}$ Если ротор F равен нулю, левая часть равна нулю, поэтому утверждение 2 верно. 2 означает 3 Предположим, что выполнено утверждение 2. Пусть c - простая кривая от начала координат до точки, и определим функцию ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ Phi (x) = - \ int _ {c} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}.}$ Тот факт, что эта функция определена корректно (независимо от выбора c ), следует из утверждения 2. В любом случае из основной теоремы исчисления следует, что ${\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Phi.}$ Таким образом, из утверждения 2 следует утверждение 3 ( см. Полное доказательство ). 3 означает 1 Наконец, предположим, что верно третье утверждение. Хорошо известное тождество векторного исчисления утверждает, что ротор градиента любой функции равен 0. (См. Доказательство ). Следовательно, если третье утверждение верно, то первое утверждение также должно быть истинным. Это показывает, что из утверждения 1 следует 2, из 2 следует 3, а из 3 следует 1. Следовательно, все три эквивалентны, QED . (Эквивалентность 1 и 3 также известна как (один из аспектов) теоремы Гельмгольца .)

Термин « консервативная сила» происходит от того факта, что когда существует консервативная сила, она сохраняет механическую энергию. Наиболее известные консервативные силы - это гравитация , электрическая сила (в магнитном поле, не зависящем от времени, см . Закон Фарадея ) и сила пружины .

Многие силы (особенно те, которые зависят от скорости) не являются силовыми полями . В этих случаях указанные выше три условия математически не эквивалентны. Например, магнитная сила удовлетворяет условию 2 (поскольку работа, совершаемая магнитным полем над заряженной частицей всегда равна нулю), но не удовлетворяет условию 3, а условие 1 даже не определено (сила не является векторным полем, поэтому его локон оценить нельзя). Соответственно, одни авторы классифицируют магнитную силу как консервативную, а другие нет. Магнитная сила - необычный случай; большинство сил, зависящих от скорости, таких как трение , не удовлетворяют ни одному из трех условий и, следовательно, однозначно неконсервативны.

Неконсервативная сила

Несмотря на сохранение полной энергии, неконсервативные силы могут возникать в классической физике из-за пренебрежения степенями свободы или из-за зависящих от времени потенциалов. Многие неконсервативные силы могут восприниматься как макроскопические эффекты мелкомасштабных консервативных сил. Например, трение можно рассматривать без нарушения закона сохранения энергии, рассматривая движение отдельных молекул; однако это означает, что необходимо учитывать движение каждой молекулы, а не обрабатывать его статистическими методами. Для макроскопических систем работать с неконсервативным приближением гораздо проще, чем с миллионами степеней свободы.

Примерами неконсервативных сил являются трение и напряжение неупругого материала . Трение приводит к передаче части энергии от крупномасштабного движения тел к мелкомасштабным движениям внутри них, и поэтому в больших масштабах оно кажется неконсервативным. Общая теория относительности неконсервативна, как видно из аномальной прецессии орбиты Меркурия. Однако общая теория относительности действительно сохраняет псевдотензор напряжения-энергии-импульса .

Смотрите также

• Консервативное векторное поле
• Консервативная система

использованная литература