Сохраненное количество - Conserved quantity

В математике, сохраняющаяся величина из динамической системы является функцией зависимого переменной величины , которая остается постоянная вдоль каждой траектории системы.

Не все системы имеют сохраняемые количества, и сохраненные количества не уникальны, так как всегда можно применить функцию к сохраняемому количеству, например, сложить число.

Поскольку многие законы физики выражают своего рода сохранение , сохраняющиеся величины обычно существуют в математических моделях физических систем. Например, любая модель классической механики будет иметь механическую энергию как сохраняемую величину до тех пор, пока задействованные силы консервативны .

Дифференциальные уравнения

Для системы дифференциальных уравнений первого порядка

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

где жирным шрифтом обозначены векторные величины, скалярная функция H ( r ) является сохраняющейся величиной системы, если для всех времен и начальных условий в некоторой конкретной области,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

Обратите внимание, что, используя правило многомерной цепочки ,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

так что определение можно записать как

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

который содержит информацию, относящуюся к системе, и может быть полезен при поиске сохраняемых количеств или установлении наличия или отсутствия сохраняемых количеств.

Гамильтонова механика

Для системы, определяемой гамильтонианом H , функция f обобщенных координат q и обобщенных импульсов p эволюционирует во времени

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

и, следовательно, сохраняется тогда и только тогда, когда . Здесь обозначает скобку Пуассона . ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$

Лагранжева механика

Предположим, что система задана лагранжианом L с обобщенными координатами q . Если L не имеет явной зависимости от времени (так ), то энергия E, определяемая формулой ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

сохраняется.

Кроме того, если , то q называется циклической координатой и обобщенным импульсом p, определяемым формулой ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

сохраняется. Это может быть получено с помощью уравнений Эйлера – Лагранжа .

Смотрите также

• Консервативная система
• Функция Ляпунова
• Гамильтонова система
• Закон сохранения
• Теорема Нётер
• Заряд (физика)
• Инвариант (физика)

Рекомендации