Механика сплошной среды - Continuum mechanics

Механика сплошной среды - это раздел механики, который занимается механическим поведением материалов, моделируемых как непрерывная масса, а не как дискретные частицы . Французский математик Огюстен-Луи Коши был первым, кто сформулировал такие модели в XIX веке.

Объяснение

Моделирование объекта как континуума предполагает, что вещество объекта полностью заполняет пространство, которое он занимает. Такое моделирование объектов игнорирует тот факт, что материя состоит из атомов и поэтому не является непрерывной; однако на масштабах длин, намного превышающих масштаб межатомных расстояний, такие модели очень точны. Основные физические законы, такие как сохранение массы , сохранение количества движения и сохранение энергии, могут применяться к таким моделям для вывода дифференциальных уравнений, описывающих поведение таких объектов, а некоторая информация об исследуемом материале добавляется через определяющие соотношения. .

Механика сплошной среды имеет дело с физическими свойствами твердых тел и жидкостей, которые не зависят от какой-либо конкретной системы координат, в которой они наблюдаются. Эти физические свойства затем представлены тензорами , которые являются математическими объектами, которые обладают требуемым свойством независимости от системы координат. Эти тензоры могут быть выражены в системах координат для удобства вычислений.

Понятие континуума

Материалы, такие как твердые тела, жидкости и газы, состоят из молекул, разделенных пространством. В микроскопическом масштабе материалы имеют трещины и неоднородности. Однако некоторые физические явления можно смоделировать, предполагая, что материалы существуют в виде континуума, что означает, что материя в теле непрерывно распределена и заполняет всю область пространства, которое она занимает . Континуум - это тело, которое можно непрерывно подразделить на бесконечно малые элементы, свойства которых соответствуют свойствам объемного материала.

Справедливость континуума предположения может быть проверена с помощью теоретического анализа, в котором определена либо некоторой ясно , периодичности или статистической однородностью и эргодичностью из микроструктуры существует. В частности, гипотеза / предположение континуума опирается на концепции репрезентативного элементарного объема и разделения шкал на основе условия Хилла-Манделя . Это условие обеспечивает связь между точкой зрения экспериментатора и теоретика на определяющие уравнения (линейные и нелинейные упругие / неупругие или связанные поля), а также способ пространственного и статистического усреднения микроструктуры.

Когда разделение шкал не выполняется, или когда кто-то хочет установить континуум с более высокой разрешающей способностью, чем у размера репрезентативного элемента объема (RVE), он использует статистический элемент объема (SVE), что, в свою очередь, приводит к случайные континуальные поля. Последние затем обеспечивают основу микромеханики для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику сплошной среды со статистической механикой . RVE может быть оценен только ограниченным образом посредством экспериментального тестирования: когда конститутивный ответ становится пространственно однородным.

В частности, для жидкостей число Кнудсена используется для оценки степени приближения непрерывности.

Автомобильный трафик как вводный пример

Рассмотрим автомобильное движение по шоссе с одной полосой для простоты. Несколько удивительно, и в знак уважения к своей эффективности, механика сплошной среды эффективно моделирует движение автомобилей с помощью уравнения в частных производных (PDE) для плотности автомобилей. Знакомство с этой ситуацией позволяет нам немного понять дихотомию континуум-дискретность, лежащую в основе континуального моделирования в целом.

Для начала моделирования определите, что: измеряет расстояние (в км) по шоссе; время (в минутах); - плотность машин на шоссе (в машинах / км в полосе движения); и - скорость потока (средняя скорость) этих автомобилей в положении «в» .

Сохранение выводит PDE ( уравнение в частных производных )

Машины не появляются и не исчезают. Рассмотрим любую группу автомобилей: от конкретной машины в задней части группы, расположенной в, до конкретной машины впереди, расположенной в . Общее количество автомобилей в этой группе . Поскольку автомобили законсервированы (если есть обгон, то «машина спереди / сзади» может стать другой машиной) . Но с помощью интегрального правила Лейбница

Это равенство нулю интеграла справедливо для всех групп, то есть для всех интервалов . Единственный способ, которым интеграл может быть равен нулю для всех интервалов, - это если подынтегральное выражение равно нулю для всех . Следовательно, сохранение выводит нелинейное сохранение первого порядка в частных производных

для всех позиций на трассе.

Этот PDE по сохранению применяется не только к автомобильному движению, но также к жидкостям, твердым веществам, толпам, животным, растениям, лесным пожарам, финансовым торговцам и так далее.

Наблюдение закрывает проблему

Предыдущее уравнение в частных производных представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому для создания корректной задачи необходимо другое уравнение . Такое дополнительное уравнение обычно необходимо в механике сплошных сред и обычно возникает в результате экспериментов. Что касается автомобильного движения, хорошо известно, что автомобили обычно движутся со скоростью, зависящей от плотности, для некоторой экспериментально определенной функции, которая является убывающей функцией плотности. Например, эксперименты в туннеле Линкольна показали, что хорошее соответствие (за исключением низкой плотности) достигается с помощью (км / ч для плотности в автомобилях / км).

Таким образом, основной континуальной моделью автомобильного движения является PDE.

по плотности машины на трассе.

Основные направления

Механика сплошной среды
Изучение физики сплошных материалов
Механика твердого тела
Изучение физики сплошных материалов с определенной формой покоя.
Эластичность
Описывает материалы, которые возвращаются в исходную форму после снятия приложенных напряжений .
Пластичность
Описывает материалы, которые необратимо деформируются после значительного приложенного напряжения.
Реология
Изучение материалов как с твердыми, так и с жидкостными характеристиками.
Механика жидкости
Изучение физики сплошных материалов, которые деформируются под действием силы.
Неньютоновская жидкость
Не подвергается деформации со скоростью, пропорциональной приложенному напряжению сдвига.
Скорость деформации ньютоновских жидкостей пропорциональна приложенному напряжению сдвига.

Дополнительная область механики сплошных сред включает эластомерные пены, которые демонстрируют любопытную гиперболическую зависимость напряжения от деформации. Эластомер представляет собой настоящий континуум, но однородное распределение пустот придает ему необычные свойства.

Построение моделей

Рисунок 1. Конфигурация сплошного тела.

Модели механики сплошной среды начинаются с присвоения моделируемому материальному телу области в трехмерном евклидовом пространстве . Точки в этой области называются частицами или материальными точками. Различные конфигурации или состояния тела соответствуют разным областям в евклидовом пространстве. Область , соответствующая конфигурации тела в момент времени обозначена .

Конкретная частица внутри тела в определенной конфигурации характеризуется вектором положения

где - векторы координат в некоторой системе отсчета, выбранной для задачи (см. рисунок 1). Этот вектор может быть выражен как функция положения частицы в некоторой эталонной конфигурации , например конфигурации в начальный момент времени, так что

Эта функция должна иметь различные свойства, чтобы модель имела физический смысл. должно быть:

  • непрерывно во времени, так что тело изменяется реалистичным образом,
  • глобально обратимый во все времена, так что тело не может пересекаться с самим собой,
  • с сохранением ориентации , поскольку преобразования, приводящие к зеркальным отражениям, в природе невозможны.

Для математической формулировки модели также предполагается, что она дважды непрерывно дифференцируема , так что можно сформулировать дифференциальные уравнения, описывающие движение.

Силы в континууме

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами, а не с твердыми телами . Твердое тело - это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг sc. твердое тело может выдерживать поперечные силы (силы, параллельные поверхности материала, на которую они действуют). С другой стороны, жидкости не выдерживают поперечных сил. Для изучения механического поведения твердых тел и жидкостей предполагается, что они представляют собой сплошные тела, что означает, что материя заполняет всю область пространства, которое она занимает, несмотря на то, что материя состоит из атомов, имеет пустоты и дискретна. Следовательно, когда механика сплошной среды относится к точке или частице в непрерывном теле, она не описывает точку в межатомном пространстве или атомную частицу, а скорее идеализированную часть тела, занимающую эту точку.

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела вызывается действием приложенных извне сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы и объемные силы . Таким образом, общая сила, приложенная к телу или части тела, может быть выражена как:

Поверхностные силы

Поверхностные силы или контактные силы , выраженные как сила на единицу площади, могут действовать либо на ограничивающую поверхность тела в результате механического контакта с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, которые ограничивают части тела в результате механическое взаимодействие между частями тела по обе стороны от поверхности ( принцип напряжений Эйлера-Коши ). Когда на тело действуют внешние контактные силы, внутренние контактные силы затем передаются от точки к точке внутри тела, чтобы сбалансировать их действие, в соответствии с третьим законом движения Ньютона о сохранении количества движения и момента количества движения (для непрерывных тел эти законы называются уравнениями движения Эйлера ). Внутренние контактные силы связаны с телом деформации через конститутивные уравнения . Внутренние контактные силы можно математически описать тем, как они связаны с движением тела, независимо от материального состава тела.

Распределение внутренних контактных сил по объему тела предполагается непрерывным. Следовательно, существует плотность контактной силы или поле тяги Коши, которое представляет это распределение в конкретной конфигурации тела в данный момент времени . Это не векторное поле, потому что оно зависит не только от положения конкретной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его вектором нормали .

Любая дифференциальная область с вектором нормали данной области внутренней поверхности , ограничивающая часть тела, испытывает контактную силу, возникающую в результате контакта между обеими частями тела с каждой стороны , и она определяется выражением

где - поверхностное сцепление , также называемое вектором напряжения , сцеплением или вектором сцепления . Вектор напряжения - это вектор безразличный к системе отсчета (см. Принцип напряжений Эйлера-Коши ).

Полная контактная сила на конкретной внутренней поверхности затем выражается как сумма ( поверхностный интеграл ) контактных сил на всех дифференциальных поверхностях :

В механике сплошной корпус считается свободной от стрессов , если только силы представляют собой те межатомных силы ( ионной , металлической , и ван - дер - ваальсовы силы ) требуется , чтобы удерживать тело вместе и сохранить свою форму в отсутствие всех внешних воздействий , в том числе гравитационное притяжение. Напряжения, возникающие при изготовлении корпуса до определенной конфигурации, также исключаются при рассмотрении напряжений в теле. Следовательно, в механике сплошной среды рассматриваются только напряжения, возникающие в результате деформации тела sc. Учитываются только относительные изменения напряжения, а не абсолютные значения напряжения.

Силы тела

Силы тела - это силы, возникающие из источников вне тела, которые действуют на объем (или массу) тела. Утверждение, что телесные силы возникают из-за внешних источников, подразумевает, что взаимодействие между различными частями тела (внутренние силы) проявляются только через контактные силы. Эти силы возникают из-за присутствия тела в силовых полях, например гравитационном поле ( гравитационные силы ) или электромагнитном поле ( электромагнитные силы ), или из-за сил инерции, когда тела находятся в движении. Поскольку предполагается, что масса сплошного тела распределена непрерывно, любая сила, исходящая от массы, также непрерывно распределена. Таким образом, объемные силы задаются векторными полями, которые считаются непрерывными по всему объему тела, т. Е. Действующими на каждую его точку. Объемные силы представлены плотностью объемных сил(на единицу массы), которая является безразличным к системе координат векторным полем.

В случае гравитационных сил интенсивность силы зависит от плотности массы материала или пропорциональна ей и указывается в единицах силы на единицу массы ( ) или на единицу объема ( ). Эти две характеристики связаны уравнением через плотность материала . Точно так же интенсивность электромагнитных сил зависит от силы ( электрического заряда ) электромагнитного поля.

Полная сила тела, приложенная к сплошному телу, выражается как

Силы тела и контактные силы, действующие на тело, приводят к возникновению соответствующих моментов силы ( моментов ) относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент относительно начала координат определяется выражением

В определенных ситуациях, которые обычно не рассматриваются при анализе механического поведения материалов, возникает необходимость включить два других типа сил: это парные напряжения (поверхностные пары, контактные моменты) и моменты тела . Парные напряжения - это моменты на единицу площади, приложенные к поверхности. Моменты тела или пары тел - это моменты на единицу объема или на единицу массы, приложенные к объему тела. Оба важны при анализе напряжения поляризованного диэлектрического твердого тела под действием электрического поля, материалов, в которых принимается во внимание молекулярная структура ( например, костей), твердых тел под действием внешнего магнитного поля и теории дислокаций металлы.

Материалы, которые в дополнение к моментам, создаваемым исключительно силами, проявляют пары тел и пара напряжений, называются полярными материалами . Неполярные материалы - это те материалы, которые обладают только моментами сил. В классических разделах механики сплошных сред развитие теории напряжений основано на неполярных материалах.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат) в теле может быть задана как

Кинематика: движение и деформация

Рис. 2. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела состоит из двух компонентов: смещения твердого тела и деформации . Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рис. 2).

Движение сплошного тела представляет собой непрерывную временную последовательность перемещений. Таким образом, материальное тело будет занимать разные конфигурации в разное время, так что частица занимает ряд точек в пространстве, которые описывают линию пути.

Существует непрерывность во время движения или деформации сплошного тела в том смысле, что:

  • Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любое последующее время.
  • Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любое последующее время, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Удобно указать эталонную конфигурацию или начальное состояние, из которого будут ссылаться все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть такой, которую когда-либо будет занимать тело. Часто конфигурация at считается эталонной конфигурацией . Компоненты вектора положения частицы, взятые относительно эталонной конфигурации, называются материальными или эталонными координатами.

При анализе движения или деформации твердых тел или потока жидкостей необходимо описывать последовательность или эволюцию конфигураций во времени. Одно описание движения сделано в терминах материальных или ссылочных координат, что называется описанием материала или лагранжевым описанием.

Лагранжево описание

В лагранжевом описании положение и физические свойства частиц описываются в терминах материальных или ссылочных координат и времени. В этом случае эталонной конфигурацией является конфигурация в . Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, наблюдает за изменениями положения и физических свойств по мере того, как материальное тело перемещается в пространстве с течением времени. Полученные результаты не зависят от выбора начального времени и эталонной конфигурации . Это описание обычно используется в механике твердого тела .

В лагранжевом описании движение сплошного тела выражается функцией отображения (рисунок 2),

который является отображением исходной конфигурации на текущую конфигурацию , обеспечивая геометрическое соответствие между ними, то есть задающий вектор положения, который частица с вектором положения в недеформированной или опорной конфигурации будет занимать в текущей или деформированной конфигурации в момент времени. . Компоненты называются пространственными координатами.

Физические и кинематические свойства , т.е. термодинамические свойства и скорости потока, которые описывают или характеризуют особенности материального тела, выражены в виде непрерывных функций координат и времени, то есть .

Материальная производная любого свойства континуума, которое может быть скаляром, вектором или тензором, представляет собой скорость изменения этого свойства во времени для конкретной группы частиц движущегося тела континуума. Материальная производная также известна как существенная производная , или сопутствующая производная , или конвективная производная . Это можно представить как скорость, с которой свойство изменяется при измерении наблюдателем, путешествующим с этой группой частиц.

В лагранжевом описании материальная производная от - это просто частная производная по времени, а вектор положения остается постоянным, поскольку он не изменяется со временем. Таким образом, мы имеем

Мгновенное положение - это свойство частицы, а его материальная производная - это мгновенная скорость потока частицы. Следовательно, поле скорости потока континуума определяется выражением

Точно так же поле ускорения определяется выражением

Непрерывность в лагранжевом описании выражается пространственной и временной непрерывностью отображения исходной конфигурации в текущую конфигурацию материальных точек. Так описываются все физические величины, характеризующие континуум. В этом смысле функции и являются однозначными и непрерывными, с непрерывными производными по пространству и времени в любом требуемом порядке, обычно во втором или третьем.

Эйлерово описание

Непрерывность позволяет проследить в обратном направлении, где частица, находящаяся в данный момент, была расположена в начальной или указанной конфигурации . В этом случае описание движения производится в терминах пространственных координат, в этом случае это называется пространственным описанием или эйлеровым описанием, т.е. текущая конфигурация принимается в качестве эталонной .

Описание Эйлера, введенное Даламбером , сосредотачивается на текущей конфигурации , уделяя внимание тому, что происходит в фиксированной точке пространства с течением времени, вместо того, чтобы уделять внимание отдельным частицам, движущимся в пространстве и времени. Этот подход удобно применять при изучении течения жидкости, где наиболее интересным кинематическим свойством является скорость, с которой происходит изменение, а не форма тела жидкости в контрольный момент времени.

Математически движение континуума с использованием эйлерова описания выражается функцией отображения

который обеспечивает отслеживание частицы, которая теперь занимает позицию в текущей конфигурации, до ее исходного положения в начальной конфигурации .

Необходимым и достаточным условием существования этой обратной функции является то, что определитель матрицы Якоби , часто называемой просто якобианом, должен быть отличен от нуля. Таким образом,

В эйлеровом описании физические свойства выражаются как

где функциональная форма в лагранжевом описании не совпадает с формой в эйлеровом описании.

Материальная производная от , используя цепное правило, тогда

Первый член в правой части этого уравнения дает локальную скорость изменения свойства, происходящего в положении . Второй член правой части представляет собой скорость конвективного изменения и выражает вклад изменения положения частицы в пространстве (движения).

Непрерывность в эйлеровом описании выражается пространственной и временной непрерывностью и непрерывной дифференцируемостью поля скорости потока. Все физические величины определяются таким образом в каждый момент времени в текущей конфигурации как функция положения вектора .

Поле смещения

Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения в лагранжевом описании или в эйлеровом описании.

Поле смещения представляет собой векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем, поле смещения выражается через материальные координаты как

или в терминах пространственных координат как

где - направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами и , соответственно. Таким образом

и связь между и тогда дается выражением

Знаю это

тогда

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, в результате чего направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т. Е.

Таким образом, мы имеем

или в терминах пространственных координат как

Основные уравнения

Механика сплошной среды имеет дело с поведением материалов, которое можно представить как непрерывное для определенных значений длины и времени. Уравнения, управляющие механикой таких материалов, включают законы баланса массы , количества движения и энергии . Кинематические соотношения и определяющие уравнения необходимы для завершения системы основных уравнений. Физические ограничения на форму определяющих соотношений могут быть применены, если требуется, чтобы второй закон термодинамики соблюдался при всех условиях. В механике сплошной среды твердого тела выполняется второй закон термодинамики, если выполняется форма Клаузиуса – Дюгема энтропийного неравенства.

Законы баланса выражают идею о том, что скорость изменения количества (массы, количества движения, энергии) в объеме должна возникать по трем причинам:

  1. сама физическая величина течет через поверхность, ограничивающую объем,
  2. есть источник физической величины на поверхности объема, или / и,
  3. внутри объема есть источник физической величины.

Пусть будет тело (открытое подмножество евклидова пространства) и пусть будет его поверхность (граница ).

Пусть движение материальных точек в теле описывается картой

где - положение точки в исходной конфигурации, а - расположение той же точки в деформированной конфигурации.

Градиент деформации определяется выражением

Законы баланса

Позвольте быть физической величиной, протекающей через тело. Пусть будут источники на поверхности тела и пусть будут источники внутри тела. Позвольте быть внешней единицей нормали к поверхности . Позвольте быть скоростью потока физических частиц, которые несут физическую величину, которая течет. Кроме того, пусть скорость, с которой движется ограничивающая поверхность, будет (в направлении ).

Тогда законы баланса можно выразить в общем виде

Функции , и могут быть скалярными, векторными или тензорными - в зависимости от физической величины, с которой имеет дело уравнение баланса. Если в теле есть внутренние границы, скачкообразные разрывы также должны быть указаны в законах баланса.

Если мы примем эйлерову точку зрения, можно показать, что законы баланса массы, импульса и энергии для твердого тела могут быть записаны как (при условии, что исходный член равен нулю для уравнений массы и углового момента)

В приведенных выше уравнениях - это массовая плотность (ток), - материальная производная по времени , - скорость частицы, - материальная производная по времени , - это тензор напряжений Коши , - это плотность силы тела, - внутренняя энергия на единицу массы. , - материальная производная по времени , - вектор теплового потока, - источник энергии на единицу массы.

Относительно эталонной конфигурации (лагранжевой точки зрения) законы баланса можно записать в виде

В приведенном выше примере - это первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа и плотность массы в эталонной конфигурации. Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связан с тензором напряжений Коши соотношением

В качестве альтернативы мы можем определить номинальный тензор напряжений, который является транспонированием первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, так что

Тогда законы баланса становятся

Операторы в приведенных выше уравнениях определены как такие, что

где - векторное поле, - тензорное поле второго порядка, - компоненты ортонормированного базиса в текущей конфигурации. Также,

где - векторное поле, - тензорное поле второго порядка и - компоненты ортонормированного базиса в эталонной конфигурации.

Внутренний продукт определяется как

Неравенство Клаузиуса-Дюгема

Неравенство Клаузиуса-Дюгем может быть использовано , чтобы выразить второй закон термодинамики для упруго-пластических материалов. Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии.

Как и в законах баланса в предыдущем разделе, мы предполагаем, что существует поток величины, источник количества и внутренняя плотность количества на единицу массы. В данном случае интерес представляет энтропия. Таким образом, мы предполагаем, что в интересующей нас области есть поток энтропии, источник энтропии, внутренняя массовая плотность и внутренняя удельная энтропия (т.е. энтропия на единицу массы) .

Пусть будет такая область и пусть будет ее граница. Затем второй закон термодинамики гласит, что скорость увеличения в этой области больше или равна сумме той, которая поступает (в виде потока или из внутренних источников), и изменения внутренней плотности энтропии из-за потока материала. и из региона.

Пусть движется со скоростью потока и пусть частицы внутри имеют скорости . Позвольте быть единицей внешней нормали к поверхности . Позвольте быть плотностью вещества в области, быть потоком энтропии на поверхности и быть источником энтропии на единицу массы. Тогда энтропийное неравенство можно записать как

Скалярный поток энтропии может быть связан с векторным потоком на поверхности соотношением . В предположении постепенно изотермических условий имеем

где - вектор теплового потока, - источник энергии на единицу массы, - абсолютная температура материальной точки в данный момент .

Тогда имеем неравенство Клаузиуса – Дюгема в интегральной форме:

Можно показать, что энтропийное неравенство можно записать в дифференциальной форме как

В терминах напряжения Коши и внутренней энергии неравенство Клаузиуса-Дюгема можно записать как

Приложения

Смотрите также

Пояснительные примечания

использованная литература

Цитаты

Процитированные работы

  • Dienes, JK; Solem, JC (1999). «Нелинейное поведение некоторых гидростатически напряженных изотропных эластомерных пен» . Acta Mechanica . 138 (3–4): 155–162. DOI : 10.1007 / BF01291841 . S2CID  120320672 .
  • Остоя-Старжевский, М. (2008). «7-10» . Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов . CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.
  • Робертс, AJ (1994). Одномерное введение в механику сплошной среды . World Scientific.
  • Смит, Дональд Р. (1993). «2» . Введение в механику сплошных сред - по Трусделлу и Ноллу . Механика твердого тела и ее приложения. 22 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-4314-6.

Общие ссылки

  • Батра, RC (2006). Элементы механики сплошной среды . Рестон, Вирджиния: AIAA.
  • Эринген, А. Джемаль (1980). Механика континуа (2-е изд.). Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-663-9.
  • Чен, Юпин; Джеймс Д. Ли; Азим Эскандарян (2009). Бессеточные методы в механике твердого тела (Первое изд.). Springer Нью-Йорк. ISBN 978-1-4419-2148-2.
  • Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации . Германия: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
  • Гуртин, ME (1981). Введение в механику сплошной среды . Нью-Йорк: Academic Press.
  • Малверн, Лоуренс Э. (1969). Введение в механику сплошной среды . Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.
  • Райт, TW (2002). Физико-математика полос адиабатического сдвига . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

внешние ссылки