Системы координат гиперболической плоскости - Coordinate systems for the hyperbolic plane

В гиперболической плоскости , как и в евклидовой плоскости , каждая точка может быть однозначно идентифицирована двумя действительными числами . Используются несколько качественно различных способов согласования плоскости в гиперболической геометрии.

В этой статье делается попытка дать обзор нескольких систем координат, используемых для двумерной гиперболической плоскости.

В описаниях ниже постоянная гауссова кривизна плоскости равна -1. Sinh , cosh и tanh - гиперболические функции .

Полярная система координат

Точки в полярной системе координат с полюсом O и полярной осью L . Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3, 60 °) . Синим цветом обозначена точка (4, 210 °) .

Полярная система координат является двумерный системой координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от опорной точки и углом от опорного направления.

Опорная точка (аналогично происхождению декартовой системы координат ) называется полюсом , и луч от полюса в опорном направлении является полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой или радиусом , а угол - угловой координатой или полярным углом .

Из гиперболического закона косинусов мы получаем, что расстояние между двумя точками, заданными в полярных координатах, равно

{\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle r_ {1}, \ theta _ {1} \ rangle, \ langle r_ {2}, \ theta _ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \, \ left (\ ch r_ {1} \ cosh r_ {2} - \ sinh r_ {1} \ sinh r_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) \ right) \ ,. }

Соответствующий метрический тензор: ${\ Displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = (\ mathrm {d} r) ^ {2} + \ sinh ^ {2} r \, (\ mathrm {d} \ theta) ^ {2 } \ ,.}$

Прямые описываются уравнениями вида

{\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ pm {\ frac {\ pi} {2}} \ quad {\ text {или}} \ quad \ tanh r = \ tanh r_ {0} \ sec (\ тета - \ theta _ {0})}

где r ₀ и θ ₀ - координаты ближайшей точки на линии к полюсу.

Система квадрантной модели

Модель полуплоскости Пуанкаре тесно связана с моделью гиперболической плоскости в квадранте Q = {( x, y ): x > 0, y > 0}. Для такой точки среднее геометрическое и гиперболический угол образуют точку ( u, v ) в верхней полуплоскости. Гиперболическая метрика в квадранте зависит от метрики полуплоскости Пуанкаре. В движениях модели Пуанкара переносятся на квадрант; в частности, сдвиги вещественной оси влево или вправо соответствуют гиперболическим поворотам квадранта. Из-за изучения соотношений в физике и экономике, где квадрант является вселенной дискурса, его точки, как говорят, расположены в гиперболических координатах . ${\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}$ ${\ displaystyle u = \ ln {\ sqrt {x / y}}}$

Системы координат в декартовом стиле

В гиперболической геометрии прямоугольников не существует. Сумма углов четырехугольника в гиперболической геометрии всегда меньше четырех прямых углов (см. Четырехугольник Ламберта ). Также в гиперболической геометрии нет эквидистантных прямых (см. Гиперциклы ). Все это влияет на системы координат.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все они основаны на выборе реальной ( неидеальной ) точки ( Начало координат ) на выбранной направленной линии ( ось x ), после чего существует множество вариантов.

Осевые координаты

Осевые координаты x _a и y _a находятся путем построения оси y, перпендикулярной оси x, проходящей через начало координат.

Как и в декартовой системе координат , координаты находятся путем опускания перпендикуляров из точки на оси x и y . x _a - расстояние от основания перпендикуляра на оси x до начала координат (считается положительным с одной стороны и отрицательным с другой); y _a - это расстояние от основания перпендикуляра на оси y до начала координат.

Круги вокруг начала координат в гиперболических осевых координатах.

Каждая точка и большинство идеальных точек имеют осевые координаты, но не каждая пара действительных чисел соответствует точке.

Если тогда это идеальная точка. ${\ Displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a}) = 1}$ ${\ Displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$

Если то вообще не суть. ${\ Displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a})> 1}$ ${\ Displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$

Расстояние от точки до оси x составляет . По оси Y это так . ${\ Displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {artanh} \ left (\ tanh (y_ {a}) \ cosh (x_ {a}) \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {artanh} \ left (\ tanh (x_ {a}) \ cosh (y_ {a}) \ right)}$

Отношение осевых координат к полярным координатам (при условии, что начало координат - полюс, а положительная ось x - полярная ось):

{\ Displaystyle х = \ OperatorName {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}

{\ Displaystyle у = \ OperatorName {artanh} \, (\ tanh r \ sin \ theta)}

{\ displaystyle r = \ operatorname {artanh} \, ({\ sqrt {\ tanh ^ {2} x + \ tanh ^ {2} y}} \,)}

{\ displaystyle \ theta = 2 \ operatorname {arctan} \, \ left ({\ frac {\ tanh y} {\ tanh x + {\ sqrt {\ tanh ^ {2} x + \ tanh ^ {2} y}}}) }\право)\,.}

Координаты Лобачевского

Координаты Лобачевского x _ℓ и y _ℓ находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x _ℓ - это расстояние от основания перпендикуляра к оси x до начала координат (положительное с одной стороны и отрицательное с другой, такое же, как в осевых координатах ).

y _ℓ - это расстояние вдоль перпендикуляра данной точки до ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

{\ Displaystyle x_ {l} = x_ {a} \, \ \ tanh (y_ {l}) = \ tanh (y_ {a}) \ cosh (x_ {a}) \, \ \ tanh (y_ {a} ) = {\ frac {\ tanh (y_ {l})} {\ cosh (x_ {l})}}}

.

Координаты Лобачевского полезны для интегрирования длины кривых и площади между линиями и кривыми.

Координаты Лобачевского названы в честь Николая Лобачевского, одного из первооткрывателей гиперболической геометрии .

Окружности вокруг начала радиуса 1, 5 и 10 в гиперболических координатах Лобачевского.

Кружки вокруг точек (0,0), (0,1), (0,2) и (0,3) радиуса 3.5 в гиперболических координатах Лобачевского.

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите линию ( ось x ) в гиперболической плоскости (со стандартизованной кривизной -1) и пометьте точки на ней по их расстоянию от исходной точки ( x = 0) точки на оси x (положительное с одной стороны и отрицательный с другой). Для любой точки на плоскости можно определить координаты x и y , опустив перпендикуляр на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстоянием вдоль перпендикуляра данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет

{\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (\ cosh y_ { 1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ ch y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ,.}

Эта формула может быть получена из формул о гиперболических треугольниках .

, Соответствующий метрический тензор: . ${\ Displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \, (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2} }$

В этой системе координат прямые либо перпендикулярны оси x (с уравнением x = константа), либо описываются уравнениями вида

{\ displaystyle \ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}}

где A и B - действительные параметры, характеризующие прямую.

Связь координат Лобачевского с полярными координатами (при условии, что начало координат - полюс, а положительная ось x - полярная ось):

{\ Displaystyle х = \ OperatorName {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}

{\ Displaystyle у = \ OperatorName {arsinh} \, (\ sinh р \ грех \ тета)}

{\ Displaystyle г = \ OperatorName {arcosh} \, (\ сш х \ сш у)}

{\ displaystyle \ theta = 2 \ operatorname {arctan} \, \ left ({\ frac {\ sinh y} {\ sinh x \ cosh y + {\ sqrt {\ cosh ^ {2} x \ cosh ^ {2} y) -1}}}} \ right) \ ,.}

Система координат на основе орициклов

Другая система координат использует расстояние от точки до орицикла через начало координат с центром вокруг и длину дуги вдоль этого орицикла. ${\ Displaystyle \ Omega = (0, + \ infty)}$

Проведите орицикл h _O через начало координат с центром в идеальной точке на конце оси x . ${\ displaystyle \ Omega}$

Из точки P проведите линию p, асимптотическую по оси x, до правой идеальной точки . Р _ч является пересечением линии р и орицикл ч _O . ${\ displaystyle \ Omega}$

Координата x _h - это расстояние от P до P _h - положительное значение, если P находится между P _h и , отрицательное, если P _h находится между P и . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Координата y _h - это длина дуги вдоль орицикла h _O от начала координат до P _h .

Расстояние между двумя точками, указанное в этих координатах, равно

{\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} (\ cosh (x_ {2 } -x_ {1}) + {\ tfrac {1} {2}} (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} \ exp (-x_ {1} -x_ {2})) \, .}

Соответствующий метрический тензор: ${\ Displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = (\ mathrm {d} x) ^ {2} + \ exp (-2x) \, (\ mathrm {d} y) ^ {2} \ ,.}$

Прямые описываются уравнениями вида y = константа или

{\ displaystyle x = {\ tfrac {1} {2}} \ ln (\ exp (2x_ {0}) - (y-y_ {0}) ^ {2})}

где x ₀ и y ₀ - координаты точки на прямой, ближайшей к идеальной точке (т.е. имеющей наибольшее значение x на прямой). ${\ displaystyle \ Omega}$

Системы координат на основе моделей

Системы координат на основе моделей используют одну из моделей гиперболической геометрии и принимают евклидовы координаты внутри модели в качестве гиперболических координат.

Координаты Бельтрами

Координаты Бельтрами точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в модели Бельтрами – Клейна гиперболической плоскости, ось x отображается на отрезке (−1,0) - (1,0) и начало координат сопоставляется с центром граничной окружности.

Имеют место следующие уравнения:

{\ displaystyle x_ {b} = \ tanh (x_ {a}), \ y_ {b} = \ tanh (y_ {a})}

Координаты Пуанкаре

Координаты Пуанкаре точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, ось x отображается на отрезке (−1,0) - (1,0) и начало координат сопоставляется с центром граничной окружности.

Координаты Пуанкаре, выраженные в координатах Бельтрами, следующие:

{\ displaystyle x_ {p} = {\ frac {x_ {b}} {1 + {\ sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}, \ \ y_ {p} = {\ frac {y_ {b}} {1 + {\ sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}}

Координаты Вейерштрасса

Координаты Вейерштрасса точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в гиперболоидной модели гиперболической плоскости, ось x отображается в (половину) гиперболу, а начало координат отображается в точку (0, 0,1). ${\ Displaystyle (т \, \ 0 \, \ {\ sqrt {т ^ {2} +1}})}$

Точка P с осевыми координатами ( x _a , y _a ) отображается в

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ tanh x_ {a}} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \, \ {\ frac {\ tanh y_ {a}} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \, \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \ right)}

Другие

Координаты гировектора

Гировекторное пространство

Гиперболические барицентрические координаты

Из Gyrovector space # центр треугольника

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников также могут быть изучены в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, выражения не должны включать в себя указание суммы углов, равной 180 градусам.

Languages

In other projects