Перекрестное произведение - Cross product

В математике , то векторное произведение или векторное произведение (иногда направлено область продукта , чтобы подчеркнуть его геометрический смысл) представляет собой бинарную операцию на двух векторов в трехмерном пространстве , и обозначается символом . Даны два линейно независимых вектора a и b , перекрестное произведение a × b (читается как «крест b») - это вектор, перпендикулярный как a, так и b , и, следовательно, нормальный к плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике , инженерии и компьютерном программировании . Его не следует путать с скалярным произведением (проекционным продуктом). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \times }$

Если два вектора имеют одинаковое направление или прямо противоположные направления друг от друга (то есть они не являются линейно независимыми), или если любой из них имеет нулевую длину, то их перекрестное произведение равно нулю. В более общем смысле величина произведения равна площади параллелограмма с векторами сторон; в частности, величина произведения двух перпендикулярных векторов равна произведению их длин.

Перекрестное произведение антикоммутативно (то есть a × b = - b × a ) и дистрибутивно по сложению (то есть a × ( b + c ) = a × b + a × c ). Пространство вместе с перекрестным произведением представляет собой алгебру над действительными числами , которая не является ни коммутативной, ни ассоциативной , но является алгеброй Ли с перекрестным произведением, являющимся скобкой Ли . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Как и скалярное произведение, это зависит от метрики в евклидове пространства , но в отличие от продукта точки, это также зависит от выбора ориентации или « хиральности ». Продукт можно обобщить по-разному; его можно сделать независимым от ориентации, изменив результат на псевдовектор , или можно использовать внешнее произведение векторов в произвольных размерах с результатом бивектора или 2-формы . Кроме того, используя ориентацию и метрическую структуру, как и для традиционного трехмерного перекрестного произведения, можно в n измерениях взять произведение n - 1 векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семи измерениях . (См. § Обобщения ниже, чтобы узнать о других измерениях.)

Определение

Перекрестное произведение двух векторов a и b определяется только в трехмерном пространстве и обозначается a × b . В физике и прикладной математике часто используется обозначение клина a ∧ b (в сочетании с названием векторного произведения ), хотя в чистой математике такое обозначение обычно зарезервировано только для внешнего продукта, абстракции векторного произведения до n измерений.

Перекрестное произведение a × b определяется как вектор c, который перпендикулярен (ортогонален) как a, так и b , с направлением, заданным правилом правой руки, и величиной, равной площади параллелограмма, который охватывают векторы.

Перекрестное произведение определяется формулой

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\ \mathbf {n} }$

куда:

• θ - это угол между a и b в плоскости, содержащей их (следовательно, он составляет от 0 ° до 180 °)
• | | | | И | | б | | являются величинами векторов и б
• и n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей a и b , в направлении, заданном правилом правой руки (показано).

Если векторы a и b параллельны (то есть угол θ между ними равен 0 ° или 180 °), по приведенной выше формуле перекрестное произведение a и b является нулевым вектором 0 .

Направление

По соглашению, направление вектора n задается правилом правой руки, по которому просто направляют указательный палец правой руки в направлении a, а средний палец - в направлении b . Затем вектор n выходит из большого пальца (см. Рисунок рядом). Использование этого правила подразумевает, что перекрестное произведение антикоммутативно ; то есть b × a = - ( a × b ) . Если сначала указать указательным пальцем на b , а затем указательным пальцем на a , большой палец будет вынужден двигаться в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения.

Поскольку оператор перекрестного произведения зависит от ориентации пространства (как явно указано в определении выше), перекрестное произведение двух векторов является не «истинным» вектором, а псевдовектором . См. Более подробную информацию в § Ручная работа .

Имена

В 1881 году Джозия Уиллард Гиббс и независимо Оливер Хевисайд ввели как скалярное произведение, так и перекрестное произведение, используя для их обозначения точку ( a . B ) и «x» ( a x b ) соответственно.

В 1877 году, чтобы подчеркнуть тот факт, что результатом скалярного произведения является скаляр, а результатом перекрестного произведения является вектор , Уильям Кингдон Клиффорд придумал альтернативные названия скалярное произведение и векторное произведение для двух операций. Эти альтернативные названия до сих пор широко используются в литературе.

И крест обозначения ( × б ) и название перекрестное произведение , возможно , были вдохновлены тем , что каждая скалярная компонента из в × б вычисляется путем умножения несоответствующие компоненты и б . И наоборот, скалярное произведение a ⋅ b включает умножения между соответствующими компонентами a и b . Как поясняется ниже , перекрестное произведение может быть выражено в виде определителя специальной матрицы 3 × 3 . Согласно правилу Сарруса , это включает умножение элементов матрицы, обозначенных скрещенными диагоналями.

Вычисление

Координатная запись

В стандартных базисных векторах я , J и K удовлетворяют следующие равенства в правой руке система координат :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

из которых следует, в силу антикоммутативности перекрестного произведения, что

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

Антикоммутативность перекрестного произведения (и очевидное отсутствие линейной независимости) также означает, что

${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$( нулевой вектор ).

Этих равенств, вместе с дистрибутивностью и линейностью перекрестного произведения (хотя ни одно из них не следует легко из определения, данного выше), достаточно для определения перекрестного произведения любых двух векторов a и b . Каждый вектор можно определить как сумму трех ортогональных компонентов, параллельных стандартным базисным векторам:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$

Их векторное произведение a × b может быть расширено с помощью распределительности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$

Это можно интерпретировать как разложение a × b на сумму девяти более простых перекрестных произведений, включающих векторы, выровненные с i , j или k . Каждое из этих девяти перекрестных произведений оперирует двумя векторами, с которыми легко работать, поскольку они параллельны или ортогональны друг другу. Из этого разложения, используя вышеупомянутые равенства и собирая аналогичные члены, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}}$

означает, что три скалярные компоненты результирующего вектора s = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × b равны

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$

Используя векторы-столбцы , мы можем представить тот же результат следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

Матричные обозначения

Перекрестное произведение также может быть выражено как формальный детерминант:

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Этот определитель может быть вычислен с использованием правила Сарруса или расширения кофактора . Используя правило Сарруса, он расширяется до

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

Вместо этого, используя расширение кофактора в первой строке, он расширяется до

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$

который дает компоненты результирующего вектора напрямую.

Использование тензоров Леви-Чивиты

• В любом базисе перекрестное произведение дается тензорной формулой где - ковариантный тензор Леви-Чивиты (отметим положение индексов). Это соответствует внутренней формуле, приведенной здесь .${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle E_{ijk}}$
• В ортонормированном базисе, имеющем ту же ориентацию, что и пространство , задается псевдотензорной формулой, где - символ Леви-Чивиты (который является псевдотензором). Это формула, используемая в повседневной физике, но она работает только в этом частном случае основы.${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$
• В любом ортонормированном базисе он задается псевдотензорной формулой, где указывает, имеет ли базис ту же ориентацию, что и пространство, или нет.${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$

Последняя формула позволяет избежать изменения ориентации пространства, когда мы инвертируем ортонормированный базис.

Характеристики

Геометрический смысл

Величина поперечного продукта может быть интерпретирована как положительная область от параллелограмма , имеющим и б в сторонах (рисунок 1):

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\||\sin \theta |.}$

В самом деле, можно также вычислить объем V в виде параллелепипеда , имеющим более , б и гр как кромки с использованием комбинации перекрестного продукта и скалярным произведением, называется скалярным тройное произведение (рисунок 2):

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Поскольку результат скалярного тройного произведения может быть отрицательным, объем параллелепипеда определяется его абсолютным значением. Например,

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$

Поскольку величина перекрестного произведения равна синусу угла между его аргументами, перекрестное произведение можно рассматривать как меру перпендикулярности так же, как скалярное произведение - как меру параллелизма . Учитывая два единичных вектора , их перекрестное произведение имеет величину 1, если они перпендикулярны, и нулевую величину, если они параллельны. Скалярное произведение двух единичных векторов ведет себя прямо противоположно: оно равно нулю, когда единичные векторы перпендикулярны, и 1, если единичные векторы параллельны.

Единичные векторы обеспечивают два удобных тождества: скалярное произведение двух единичных векторов дает косинус (который может быть положительным или отрицательным) угла между двумя единичными векторами. Величина векторного произведения двух единичных векторов дает синус (который всегда будет положительным).

Алгебраические свойства

Если векторное произведение двух векторов является нулевым вектором (то есть a × b = 0 ), то либо один, либо оба входа являются нулевым вектором ( a = 0 или b = 0 ), либо они параллельны или антипараллельны ( a ∥ b ) так, чтобы синус угла между ними был равен нулю ( θ = 0 ° или θ = 180 ° и sin  θ = 0 ).

Самостоятельное перекрестное произведение вектора - это нулевой вектор:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Перекрестное произведение антикоммутативно ,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$

распределительный над сложением,

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$

и совместим со скалярным умножением, так что

${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Он не ассоциативен , но удовлетворяет тождеству Якоби :

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

Дистрибутивность, линейность и тождество Якоби показывают, что векторное пространство R ³ вместе с векторным сложением и перекрестным произведением образует алгебру Ли, алгебру Ли вещественной ортогональной группы в 3 измерениях, SO (3) . Перекрестное произведение не подчиняется закону об отмене ; то есть, a × b = a × c с a ≠ 0 не влечет b = c , а только то:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}}$

Это может быть случай, когда b и c сокращаются, но дополнительно, когда a и b - c параллельны; то есть они связаны масштабным коэффициентом t , что приводит к:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$

для некоторого скалярного t .

Если в дополнение к a × b = a × c и a ≠ 0, как указано выше, это случай, когда a ⋅ b = a ⋅ c, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$

Поскольку b - c не может быть одновременно параллельным (для перекрестного произведения, равным 0 ) и перпендикулярным (для скалярного произведения, равным 0) к a , должен быть случай, когда b и c сокращаются: b = c .

Согласно геометрическому определению, перекрестное произведение инвариантно относительно собственных поворотов вокруг оси, определяемой a × b . В формулах:

${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$, где - матрица вращения с .${\displaystyle R}$${\displaystyle \det(R)=1}$

В более общем смысле, перекрестное произведение подчиняется следующему тождеству при матричных преобразованиях:

${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

где представляет собой 3-на-3 матрицы и является транспонированной из обратного и является матрицей кофактора. Легко увидеть, как эта формула сводится к предыдущей, если является матрицей вращения. ${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \operatorname {cof} }$${\displaystyle M}$

Векторное произведение двух векторов лежит в нулевом пространстве от 2 × 3 матрицы с векторами как строки:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$

Для суммы двух перекрестных произведений имеет место следующее тождество:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$

Дифференциация

Правило продукта дифференциального исчисления относится к любой операции билинейной, а следовательно , и к поперечному продукта:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$

где a и b - векторы, зависящие от действительной переменной t .

Тройное расширение продукта

Перекрестное произведение используется в обеих формах тройного произведения. Смешанное произведение трех векторов определяется как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

Это объем со знаком параллелепипеда с ребрами a , b и c, и поэтому векторы могут использоваться в любом порядке, который является равной перестановкой указанного выше порядка. Следовательно, следующие равны:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$

Вектор тройное произведение представляет собой векторное произведение вектора с результатом другого поперечного продукта, а также имеет отношение к скалярному произведению по следующей формуле

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

Мнемонические «BAC минус САВ» используется для запоминания порядка векторов в правой части руки. Эта формула используется в физике для упрощения векторных вычислений. Частным случаем, касающимся градиентов и полезным в векторном исчислении , является

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$

где ∇ ² - векторный оператор Лапласа .

Другие тождества связывают перекрестное произведение со скалярным тройным произведением:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

где I - единичная матрица.

Альтернативная формулировка

Перекрестное произведение и скалярное произведение связаны между собой:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Правая часть является определитель Грама из и б , квадрат площади параллелограмма , определяемого векторами. Это условие определяет величину перекрестного произведения. А именно, поскольку скалярное произведение определяется в терминах угла θ между двумя векторами, как:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$

указанное выше соотношение можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$

Используя тригонометрическое тождество Пифагора, получаем:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$

которая представляет собой величину перекрестного произведения, выраженную через θ , равную площади параллелограмма, определяемой a и b (см. определение выше).

Комбинация этого требования и свойства, что перекрестное произведение ортогонально его составляющим a и b, дает альтернативное определение перекрестного произведения.

Личность Лагранжа

Отношение:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

можно сравнить с другим соотношением, включающим правую часть, а именно с тождеством Лагранжа, выраженным как:

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,}$

где a и b могут быть n -мерными векторами. Это также показывает, что риманова форма объема для поверхностей - это в точности элемент поверхности из векторного исчисления. В случае, когда n = 3 , объединение этих двух уравнений приводит к выражению величины перекрестного произведения в терминах его компонентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\\equiv {}&\left(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)^{2}\ .\end{aligned}}}$

Тот же результат получается непосредственно с использованием компонентов перекрестного произведения, найденных из:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}$

В R ³ уравнение Лагранжа является частным случаем мультипликативности | vw | = | v || w | нормы в алгебре кватернионов .

Это частный случай другой формулы, также иногда называемой тождеством Лагранжа, которая представляет собой трехмерный случай тождества Бине – Коши :

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}$

Если a = c и b = d, это упрощается до формулы выше.

Бесконечно малые генераторы вращений

Перекрестное произведение удобно описывает бесконечно малые генераторы вращений в R ³ . В частности, если n является единичным вектором в R ³ и R ( φ ,  n ) обозначает вращение вокруг оси через начало координат, указанное n , с углом φ (измеряется в радианах, против часовой стрелки, если смотреть с конца n ), тогда

${\displaystyle \left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}}$

для каждого вектора x в R ³ . Следовательно, векторное произведение с n описывает бесконечно малый генератор вращений вокруг n . Эти бесконечно малые образующие образуют алгебру Ли so (3) группы вращений SO (3) , и мы получаем результат, что алгебра Ли R ³ с кросс-произведением изоморфна алгебре Ли so (3).

Альтернативные способы вычисления

Преобразование в умножение матриц

Векторное векторное произведение также может быть выражено как произведение кососимметричной матрицы и вектора:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где верхний индекс ^T относится к операции транспонирования , а [ a ] _× определяется следующим образом:

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$

Столбцы [ a ] _{×, i} кососимметричной матрицы для вектора a также могут быть получены путем вычисления перекрестного произведения с единичными векторами . То есть,

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$

или

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$

где - оператор внешнего продукта . ${\displaystyle \otimes }$

Кроме того , если само по себе выражается в виде перекрестного продукта:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$

тогда

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$

Доказательство подстановкой

Оценка перекрестного произведения дает ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}}$ Следовательно, левая часть равна ${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$ Теперь, что касается правой стороны, ${\displaystyle \mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$ И его транспонирование ${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$ Оценка правой части дает ${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$ Сравнение показывает, что левая часть равна правой части.

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения с помощью геометрической алгебры . В частности, в любом измерении бивекторы могут быть идентифицированы с кососимметричными матрицами, поэтому произведение между кососимметричной матрицей и вектором эквивалентно части степени 1 произведения бивектора и вектора. В трех измерениях бивекторы двойственны векторам, поэтому произведение эквивалентно перекрестному произведению с бивектором вместо его двойственного вектора. В более высоких измерениях произведение все еще может быть вычислено, но бивекторы имеют больше степеней свободы и не эквивалентны векторам.

С этими обозначениями также часто намного проще работать, например, в эпиполярной геометрии .

Из общих свойств векторного произведения немедленно следует, что

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$   а также   ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$

а из кососимметричности [ a ] _× следует, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$

Упомянутое выше разложение на тройное произведение (правило баккаба) может быть легко доказано с использованием этих обозначений.

Как упоминалось выше, алгебра Ли R ³ с кросс-произведением изоморфна алгебре Ли so (3) , элементы которой можно отождествить с кососимметричными матрицами 3 × 3. Отображение a → [ a ] _× обеспечивает изоморфизм между R ³ и so (3) . При этом отображении перекрестное произведение 3-векторов соответствует коммутатору кососимметричных матриц 3x3.

Преобразование матриц для перекрестного произведения с каноническими базовыми векторами

Обозначая с к -му канонической базисного вектора, векторное произведение общего вектора с определяется по формуле: , где ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {e} _{i}=\mathbf {C} _{i}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{2}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ Эти матрицы обладают следующими свойствами: ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=-\mathbf {C} _{i}}$ (кососимметричный); И след, и определитель равны нулю; ${\displaystyle {\text{rank}}(\mathbf {C} _{i})=2}$; ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{i}}^{^{\perp }}}$ (см. ниже); Ортогональная проекция матрицы вектора задается . Матрица проекции на ортогональное дополнение задается выражением , где - единичная матрица. В частном случае можно проверить, что ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }=\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{\textrm {T}}\mathbf {v} \right)^{-1}\mathbf {v} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }^{^{\perp }}=\mathbf {I} -\mathbf {P} _{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{1}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{2}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{3}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ Чтобы узнать о других свойствах матриц ортогональных проекций, см. Проекцию (линейная алгебра) .

Индексные обозначения для тензоров

В качестве альтернативы перекрестное произведение можно определить с помощью символа Леви-Чивиты ε _ijk и скалярного произведения η ^mi (= δ ^mi для ортонормированного базиса), которые полезны при преобразовании векторной записи для тензорных приложений:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}$

где индексы соответствуют компонентам вектора. Эта характеристика перекрестного произведения часто выражается более компактно, используя соглашение Эйнштейна о суммировании как ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}$

в котором повторяющиеся индексы суммируются по значениям от 1 до 3. Это представление является другой формой кососимметричного представления векторного произведения:

${\displaystyle \eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$

В классической механике : представление перекрестного произведения с помощью символа Леви-Чивиты может сделать механическую симметрию очевидной, когда физические системы изотропны . (Пример: рассмотрим частицу в потенциале закона Гука в трех пространствах, свободную колебаться в трех измерениях; ни одно из этих измерений не является «особенным» в каком-либо смысле, поэтому симметрии лежат в угловом моменте, представленном перекрестным произведением, который поясняются вышеупомянутым представлением Леви-Чивиты).

Мнемонический

Слово «xyzzy» можно использовать, чтобы запомнить определение перекрестного произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

куда:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$

тогда:

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$

${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$

${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$

Второе и третье уравнения можно получить из первого, просто повернув индексы по вертикали, x → y → z → x . Проблема, конечно, в том, как запомнить первое уравнение, и для этого доступны два варианта: либо запомнить соответствующие две диагонали схемы Сарруса (те, которые содержат i ), либо запомнить последовательность xyzzy.

Так как первая диагональ в схеме Sarrus является только главной диагонали из выше -mentioned 3 × 3 матрицы, первые три буквы слова XYZZY может быть очень легко запоминается.

Перекрестная визуализация

Подобно приведенному выше мнемоническому устройству, «крест» или X можно визуализировать между двумя векторами в уравнении. Это может быть полезно для запоминания правильной формулы кросс-произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

тогда:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Если мы хотим получить формулу, мы просто опускаем и в формуле и убираем следующие два компонента: ${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle b_{x}}$${\displaystyle c_{x}}$

${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

При этом следующие два элемента должны «обернуть» матрицу так, чтобы после компонента z последовал компонент x. Для ясности, при выполнении этой операции для следующих двух компонентов должны быть z и x (в указанном порядке). При этом для следующих двух компонентов следует принять x и y. ${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$

Для затем, если представить перекрестный оператор как указание от элемента слева к элементу справа, мы можем взять первый элемент на левое и просто умножить на элементе , который в точках пересечение в правой матрице руки. Затем мы вычитаем следующий элемент слева, умноженный на элемент, на который здесь указывает крест. Это приводит к нашей формуле - ${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{x}}$

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$

Мы можем сделать это таким же образом для и для построения связанных с ними формул. ${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

Приложения

Перекрестный продукт имеет приложения в различных контекстах. Например, он используется в вычислительной геометрии, физике и технике. Ниже приводится неполный список примеров.

Вычислительная геометрия

Перекрестное произведение появляется при вычислении расстояния двух наклонных линий (линий, не находящихся в одной плоскости) друг от друга в трехмерном пространстве.

Перекрестное произведение можно использовать для вычисления нормали для треугольника или многоугольника, операция, часто выполняемая в компьютерной графике . Например, наматывание многоугольника (по часовой стрелке или против часовой стрелки) вокруг точки внутри многоугольника можно рассчитать путем триангуляции многоугольника (например, спицы колеса) и суммирования углов (между спицами) с использованием перекрестного произведения для отслеживания знак каждого угла.

В вычислительной геометрии в плоскости , крест продукт используется для определения знака угла острого определяется тремя точками и . Он соответствует направлению (вверх или вниз) перекрестного произведения двух копланарных векторов, определяемых двумя парами точек и . Знак острого угла - это знак выражения ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$

${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$

которая представляет собой длину со знаком перекрестного произведения двух векторов.

В «правой» системе координат, если результат равен 0, точки лежат на одной прямой ; если он положительный, три точки составляют положительный угол поворота вокруг от до , в противном случае - отрицательный угол. С другой стороны, знак указывает, находится ли он слева или справа от линии.${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

Перекрестное произведение используется при вычислении объема многогранника, такого как тетраэдр или параллелепипед .

Угловой момент и крутящий момент

Угловой момент L частицы о данном происхождения определяется как:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

где r - вектор положения частицы относительно начала координат, p - импульс частицы.

Таким же образом, момент M силы F _B, приложенной в точке B вокруг точки A, определяется как:

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$

В механике момент силы также называется крутящим моментом и записывается как${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

Поскольку положение r , линейный момент p и сила F являются истинными векторами, угловой момент L и момент силы M являются псевдовекторами или осевыми векторами .

Жесткое тело

Перекрестное произведение часто встречается при описании жестких движений. Две точки P и Q на твердом теле могут быть связаны следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$

где - положение точки, - ее скорость и - угловая скорость тела . ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Поскольку положение и скорость являются истинными векторами, угловая скорость является псевдовектором или осевым вектором . ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Сила Лоренца

Перекрестное произведение используется для описания силы Лоренца, испытываемой движущимся электрическим зарядом q _e :

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Поскольку скорость v , сила F и электрическое поле E являются истинными векторами, магнитное поле B является псевдовектором .

Другой

В векторном исчислении перекрестное произведение используется для определения формулы для векторного оператора curl .

Уловка переписывания перекрестного произведения в терминах умножения матриц часто встречается в эпиполярной и многовидовой геометрии, в частности, при выводе ограничений сопоставления.

Как внешний продукт

Перекрестное произведение можно определить в терминах внешнего продукта. Его можно обобщить на внешний продукт не в трех измерениях. Этот вид позволяет естественную геометрическую интерпретацию перекрестного произведения. Во внешней алгебре внешнее произведение двух векторов является бивектором. Бивектор - это ориентированный плоский элемент, почти так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Учитывая два вектора a и b , можно рассматривать бивектор a ∧ b как ориентированный параллелограмм, натянутый на a и b . Перекрестное произведение затем получается, взяв звезду Ходжа бивектора a ∧ b , отображая 2-векторы в векторы:

${\displaystyle a\times b=\star (a\wedge b)\,.}$

Это можно рассматривать как ориентированный многомерный элемент, «перпендикулярный» бивектору. Только в трех измерениях получается ориентированный одномерный элемент - вектор - тогда как, например, в четырех измерениях двойственный по Ходжу бивектор является двумерным - бивектором. Таким образом, только в трех измерениях векторное векторное произведение a и b может быть определено как вектор, дуальный к бивектору a ∧ b : он перпендикулярен бивектору, с ориентацией, зависящей от руки системы координат, и имеет ту же величину относительно к единичному вектору нормали, как a ∧ b относительно единичного бивектора; именно те свойства, которые описаны выше.

Ручка

Последовательность

Когда законы физики записаны в виде уравнений, можно сделать произвольный выбор системы координат, включая ручку. Следует быть осторожным, чтобы никогда не записывать уравнение, в котором две стороны не ведут себя одинаково при всех преобразованиях, которые необходимо учитывать. Например, если одна часть уравнения представляет собой произведение двух полярных векторов, необходимо учитывать, что результатом является аксиальный вектор . Следовательно, для единообразия другая сторона также должна быть осевым вектором. В более общем смысле, результатом перекрестного произведения может быть либо полярный вектор, либо аксиальный вектор, в зависимости от типа его операндов (полярные векторы или аксиальные векторы). А именно, полярные векторы и аксиальные векторы взаимосвязаны следующим образом при применении кросс-произведения:

• полярный вектор × полярный вектор = осевой вектор
• осевой вектор × осевой вектор = осевой вектор
• полярный вектор × осевой вектор = полярный вектор
• осевой вектор × полярный вектор = полярный вектор

или символически

• полярный × полярный = осевой
• осевой × осевой = осевой
• полярный × осевой = полярный
• осевой × полярный = полярный

Поскольку перекрестное произведение также может быть полярным вектором, оно может не менять направление при преобразовании зеркального изображения. Это происходит в соответствии с приведенными выше соотношениями, если один из операндов является полярным вектором, а другой - аксиальным вектором (например, перекрестным произведением двух полярных векторов). Например, векторное тройное произведение, включающее три полярных вектора, является полярным вектором.

Безрукий подход возможен с использованием внешней алгебры.

Парадокс ортонормированного базиса

Пусть ( i , j , k ) - ортонормированный базис. Векторы i , j и k не зависят от ориентации пространства. Их можно определить даже при отсутствии какой-либо ориентации. Следовательно, они не могут быть осевыми векторами. Но если i и j - полярные векторы, то k - аксиальный вектор для i × j = k или j × i = k . Это парадокс.

«Осевой» и «полярный» являются физическими классификаторами физических векторов; то есть векторы, которые представляют физические величины, такие как скорость или магнитное поле. Векторы i , j и k являются математическими векторами, ни аксиальными, ни полярными. В математике произведение двух векторов является вектором. Нет никакого противоречия.

Обобщения

Есть несколько способов обобщить перекрестное произведение на более высокие измерения.

Алгебра Ли

Перекрестное произведение можно рассматривать как одно из простейших произведений Ли, и поэтому оно обобщается алгебрами Ли , которые аксиоматизируются как бинарные произведения, удовлетворяющие аксиомам полилинейности, кососимметрии и тождества Якоби. Существует множество алгебр Ли, и их изучение является важной областью математики, называемой теорией Ли .

Например, алгебра Гейзенберга дает другую структуру алгебры Ли на основе In, произведение${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

Кватернионы

Перекрестное произведение также можно описать в терминах кватернионов . В общем, если вектор [ a ₁ , a ₂ , a ₃ ] представлен как кватернион a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k , перекрестное произведение двух векторов можно получить, взяв их произведение как кватернионы и удалив реальная часть результата. Действительная часть будет отрицательным результатом скалярного произведения двух векторов.

Октонионы

Перекрестное произведение для 7-мерных векторов может быть получено таким же образом, используя октонионы вместо кватернионов. Отсутствие нетривиальных векторных векторных произведений двух векторов в других измерениях связано с результатом теоремы Гурвица о том, что единственными нормированными алгебрами с делением являются алгебры с размерностью 1, 2, 4 и 8.

Внешний продукт

В общем измерении нет прямого аналога двоичного векторного произведения, которое дает конкретный вектор. Однако существует внешний продукт, который имеет аналогичные свойства, за исключением того, что внешнее произведение двух векторов теперь является 2-вектором, а не обычным вектором. Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать как внешний продукт в трех измерениях с помощью звездообразного оператора Ходжа для сопоставления 2-векторов с векторами. Двойственное по Ходжу к внешнему произведению дает ( n - 2) -вектор, который является естественным обобщением векторного произведения в любом количестве измерений.

Внешний продукт и скалярное произведение могут быть объединены (посредством суммирования), чтобы сформировать геометрическое произведение в геометрической алгебре.

Внешний продукт

Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать в трех измерениях как двойственное произведение Ходжа внешнего продукта. В любых конечных n измерениях двойственный по Ходжу к внешнему произведению n - 1 векторов является вектором. Таким образом, вместо бинарной операции в произвольных конечных измерениях перекрестное произведение обобщается как двойственное по Ходжу внешнее произведение некоторых заданных n - 1 векторов. Это обобщение называется внешним продуктом .

Коммутаторный продукт

Интерпретация трехмерное векторного пространства алгебры как 2-вектор ( а не 1-вектора) подалгебры из трехмерной геометрической алгебры, где , , и , поперечный соответствует продукту точно к коллекторному продукту в геометрической алгебре и одновременно используйте тот же символ . Коммутаторное произведение определяется для 2-векторов и в геометрической алгебре как: ${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$

где - геометрическое произведение. ${\displaystyle AB}$

Коммутаторное произведение может быть обобщено на произвольные мультивекторы в трех измерениях, в результате чего мультивектор состоит только из элементов 1-й степени (1-векторы / истинные векторы ) и 2 (2-векторы / псевдовекторы). В то время как коммутаторное произведение двух 1-векторов действительно совпадает с внешним произведением и дает 2-вектор, коммутатор 1-вектора и 2-вектора дает истинный вектор, соответствующий вместо этого левому и правому сжатию в геометрическая алгебра. Коммутаторное произведение двух 2-векторов не имеет соответствующего эквивалентного произведения, поэтому коммутаторное произведение определено в первую очередь для 2-векторов. Кроме того, коммутаторное тройное произведение трех 2-векторов такое же, как векторное тройное произведение тех же трех псевдовекторов в векторной алгебре. Однако, коммутатор тройное произведение из трех 1-векторов в геометрической алгебры вместо этого отрицательного из вектора тройного произведения одних и тех же трех истинных векторов в векторной алгебры.

Обобщения на более высокие измерения обеспечиваются тем же самым коммутаторным произведением 2-векторов в геометрических алгебрах более высоких измерений, но 2-векторы больше не являются псевдовекторами. Подобно тому, как коммутаторное произведение / кросс-произведение 2-векторов в трех измерениях соответствует простейшей алгебре Ли , 2-векторные подалгебры геометрической алгебры более высоких измерений, снабженные коммутаторным произведением, также соответствуют алгебрам Ли. Также, как и в трех измерениях, коммутаторное произведение можно обобщить на произвольные мультивекторы.

Полилинейная алгебра

В контексте полилинейной алгебры перекрестное произведение можно рассматривать как (1,2) -тензор ( смешанный тензор , в частности билинейное отображение ), полученный из трехмерной объемной формы , (0,3) -тензор, путем повышения индекса .

В деталях, трехмерная объемная форма определяет продукт , взяв определитель матрицы, заданной этими тремя векторами. По двойственности это эквивалентно функции (фиксация любых двух входов дает функцию путем вычисления на третьем входе) и при наличии внутреннего продукта (такого как скалярное произведение; в более общем смысле невырожденная билинейная форма), у нас есть изоморфизм, и, таким образом, это дает карту, которая является перекрестным произведением: (0,3) -тензор (3 векторных входа, скалярный выход) был преобразован в (1,2) -тензор (2 векторных входа, 1 векторный вывод) "поднятием индекса". ${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle V\to V^{*},}$${\displaystyle V\times V\to V,}$

Переводя приведенную выше алгебру в геометрию, функция «объем параллелепипеда, определяемая посредством » (где первые два вектора фиксированы, а последний является входом), которая определяет функцию , может быть однозначно представлена как скалярное произведение с вектором: этот вектор является кросс - продукт с этой точки зрения, крест продукта определяется с помощью скалярного тройного произведения ,${\displaystyle (a,b,-)}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle a\times b.}$${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

Таким же образом в более высоких измерениях можно определить обобщенные перекрестные произведения, увеличивая индексы формы n- мерного объема, которая является -тензорной. Наиболее прямые обобщения перекрестного произведения состоят в том, чтобы определить: ${\displaystyle (0,n)}$

• -тензорный, который принимает в качестве входных векторов, и выдает в качестве выходного вектора 1 - -ичный вектор-продукт, или${\displaystyle (1,n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (n-1)}$
• a -тензор, который принимает на вход 2 вектора и дает на выходе кососимметричный тензор ранга n - 2 - бинарное произведение с рангом n - 2 значения тензора. Можно также определить -тензор для других k .${\displaystyle (n-2,2)}$${\displaystyle (k,n-k)}$

Все эти продукты являются полилинейными и кососимметричными и могут быть определены в терминах определителя и четности .

-Ичный продукт может быть описан следующим образом : данные векторы в определяют их обобщенный перекрестный продукт , как: ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$

• перпендикулярно гиперплоскости, определяемой ${\displaystyle v_{i},}$
• величина - это объем параллелоэдра, определяемый величиной, которую можно вычислить как определитель Грама${\displaystyle v_{i},}$${\displaystyle v_{i},}$
• ориентирован так, что ориентирован положительно.${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

Это уникальная полилинейное, чередуя продукт , который имеет значение , и так далее для циклических перестановок индексов. ${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$

В координатах можно дать формулу для этого -арного аналога перекрестного произведения в R ^{n следующим} образом: ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$

Эта формула идентична по структуре формуле определителя для нормального перекрестного произведения в R ^3, за исключением того, что строка базисных векторов является последней строкой в ​​определителе, а не первой. Причина в том, чтобы гарантировать, что упорядоченные векторы ( v ₁ , ..., v _{n −1} , Λ^{n –1}
_{i = 0}v _i ) имеют положительную ориентацию относительно ( e ₁ , ..., e _n ). Если n нечетное, эта модификация оставляет значение неизменным, поэтому это соглашение согласуется с обычным определением двоичного произведения. Однако в случае четного n различие должно быть сохранено. Эта -арная форма обладает многими из тех же свойств, что и векторное векторное произведение: она чередуется и линейна по своим аргументам, она перпендикулярна каждому аргументу, а ее величина дает гиперобъем области, ограниченной аргументами. И точно так же, как векторное векторное произведение, его можно определить независимо от координат как двойственное по Ходжу произведение клина аргументов. ${\displaystyle (n-1)}$

История

В 1773 году Жозеф-Луи Лагранж ввел компонентную форму как скалярных, так и перекрестных произведений, чтобы изучить тетраэдр в трех измерениях. В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон ввел кватернионное произведение, а вместе с ним и термины «вектор» и «скаляр». Для двух кватернионов [0, u ] и [0, v ] , где u и v - векторы в R ³ , их кватернионное произведение можно суммировать как [- u ⋅ v , u × v ] . Джеймс Клерк Максвелл использовал инструменты кватернионов Гамильтона для разработки своих знаменитых уравнений электромагнетизма , и по этой и другим причинам кватернионы какое-то время были важной частью физического образования.

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал свои « Элементы динамики», которые были продвинутым текстом для своего времени. Он определил произведение двух векторов , чтобы иметь величину , равную площади в параллелограмме которых они являются две стороны, и направление , перпендикулярное их плоскости.

Оливер Хевисайд и Джозия Уиллард Гиббс также считали методы кватернионов слишком громоздкими, часто требуя извлечения скалярной или векторной части результата. Таким образом, примерно через сорок лет после кватернионного произведения были введены скалярное произведение и кросс-произведение, что вызвало ожесточенное противодействие. Решающим фактором (в конечном итоге) принятия была эффективность нового подхода, позволившая Хевисайду сократить уравнения электромагнетизма с оригинальных 20 Максвелла до четырех, обычно встречающихся сегодня.

В значительной степени независимый от этого развития и в значительной степени недооцененный в то время, Герман Грассман создал геометрическую алгебру, не привязанную к измерению два или три, с внешним продуктом, играющим центральную роль. В 1853 году Огюстен-Луи Коши , современник Грассмана, опубликовал статью об алгебраических ключах, которые использовались для решения уравнений и имели те же свойства умножения, что и перекрестное произведение. Клиффорд объединил алгебры Гамильтона и Грассмана, чтобы создать алгебру Клиффорда , где в случае трехмерных векторов бивектор, полученный из двух векторов, дуализируется в вектор, таким образом воспроизводя перекрестное произведение.

Перекрестное обозначение и название «кросс-продукт» началось с Гиббса. Первоначально они появились в частных заметках для его учеников в 1881 году как « Элементы векторного анализа» . Полезность для механики отметил Александр Котельников . Обозначения Гиббса и название «перекрестный продукт» позже стали известны широкой аудитории через векторный анализ , учебник бывшего студента Эдвина Бидвелла Уилсона . Уилсон переработал материал из лекций Гиббса вместе с материалами из публикаций Хевисайда, Феппса и Гамильтона. Он разделил векторный анализ на три части:

Во-первых, то, что касается сложения, а также скалярных и векторных произведений векторов. Во-вторых, это касается дифференциального и интегрального исчисления в его отношении к скалярным и векторным функциям. В-третьих, то, что содержит теорию линейной вектор-функции.

Были определены два основных вида векторных умножений, которые назывались следующим образом:

• Прямой , скалярная или точка произведение двух векторов
• Перекос , вектор , или поперечное произведение двух векторов

Также были исследованы несколько видов тройных продуктов и продуктов более чем трех векторов. Также было включено вышеупомянутое тройное расширение продукта.

Смотрите также

• Декартово произведение - произведение двух множеств.
• Геометрическая алгебра: вращающиеся системы
• Множественные перекрестные продукты - продукты, содержащие более трех векторов.
• Умножение векторов
• Четырехместный продукт
• × (символ)

Примечания

использованная литература

Библиография

• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений Том II . Издательство Open Court . п. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Е. А. Милн (1948) Векторная механика , Глава 2: Векторное произведение, стр. 11–31, Лондон: Methuen Publishing .
• Уилсон, Эдвин Бидуэлл (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях Дж. Уилларда Гиббса . Издательство Йельского университета .
• Т. Леви-Чивита; У. Амальди (1949). Lezioni di meccanica razionale (на итальянском языке). Болонья: Zanichelli editore.

внешние ссылки

• "Перекрестное произведение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Быстрый геометрический вывод и интерпретация перекрестных произведений
• Интерактивное руководство, созданное в Сиракузском университете - (требуется java )
• В. Кахан (2007). Перекрестные произведения и вращения в евклидовом 2- и 3-пространстве. Калифорнийский университет в Беркли (PDF).
• Векторное произведение , Mathcentre (Великобритания), 2009 г.