Формула Даламбера - d'Alembert's formula

В математике , и особенно в уравнениях в частных производных (УЧП), формула Даламбера является общим решением одномерного волнового уравнения (где индексы нижнего индекса указывают частное дифференцирование , с использованием оператора Даламбера , УЧП принимает вид:) . ${\ Displaystyle и_ {tt} (х, т) = с ^ {2} и_ {хх} (х, т)}$ ${\ displaystyle \ Box u = 0}$

Решение зависит от начальных условий при : и . Он состоит из отдельных условий для начальных условий и : ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ Displaystyle и (х, 0)}$ ${\ Displaystyle и_ {т} (х, 0)}$ ${\ Displaystyle и (х, 0)}$ ${\ Displaystyle и_ {т} (х, 0)}$

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [u (x-ct, 0) + u (x + ct, 0) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t} (\ xi, 0) \, d \ xi.}

Он назван в честь математика Жана ле Ронда Даламбера , который вывел его в 1747 году как решение проблемы вибрирующей струны .

Подробности

В характеристиках этого ФДЭ (где знак указывается два решения квадратного уравнения), поэтому мы можем использовать замену переменных (для положительного решения) и (для отрицательного решения) , чтобы преобразовать PDE к . Общее решение этого PDE - где и - функции. Вернувшись в координаты, ${\ Displaystyle х \ pm ct = \ mathrm {const} \,}$ ${\ displaystyle \ pm \,}$ ${\ Displaystyle \ му = х + ct \,}$ ${\ Displaystyle \ eta = х-ct \,}$ ${\ Displaystyle и _ {\ му \ eta} = 0 \,}$ ${\ Displaystyle и (\ му, \ эта) = F (\ му) + G (\ эта) \,}$ ${\ Displaystyle F \,}$ ${\ Displaystyle G \,}$ ${\ Displaystyle C ^ {1} \,}$ ${\ Displaystyle х, т \,}$

{\ Displaystyle и (х, т) = F (х + ct) + G (x-ct) \,}

{\ Displaystyle и \,}

есть если и есть .

{\ displaystyle C ^ {2} \,}

{\ Displaystyle F \,}

{\ Displaystyle G \,}

{\ displaystyle C ^ {2} \,}

Это решение можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси x. ${\ Displaystyle и \,}$ ${\ displaystyle c \,}$

Теперь рассмотрим это решение с данными Коши . ${\ Displaystyle и (х, 0) = г (х), и_ {т} (х, 0) = час (х) \,}$

С помощью получаем . ${\ Displaystyle и (х, 0) = г (х) \,}$ ${\ Displaystyle F (х) + г (х) = г (х) \,}$

С помощью получаем . ${\ Displaystyle и_ {т} (х, 0) = час (х) \,}$ ${\ Displaystyle cF '(х) -cG' (х) = час (х) \,}$

Мы можем проинтегрировать последнее уравнение, чтобы получить

{\ Displaystyle cF (x) -cG (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1}. \,}

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы получить

{\ Displaystyle F (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) - \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1} \ right) \ right) \,}

{\ Displaystyle G (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) + \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) d \ xi + c_ {1} \ right) \ right). \,}

Теперь, используя

{\ Displaystyle и (х, т) = F (х + ct) + G (x-ct) \,}

Формула Даламбера принимает следующий вид:

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [g (x-ct) + g (x + ct) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} h (\ xi) \, d \ xi.}

Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений

Общий вид неоднородного дифференциального уравнения канонического гиперболического типа имеет вид:

${\ Displaystyle и_ {тт} -с ^ {2} и_ {хх} = е (х, т), \, и (х, 0) = г (х), \, и_ {т} (х, 0) = h (x),}$

для . ${\ displaystyle - \ infty <x <\ infty, \, \, t> 0, е \ в C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {2}, \ mathbb {R})}$

Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы в соответствующие им канонические формы . Это уравнение является одним из этих трех случаев: эллиптическое уравнение в частных производных , параболическое уравнение в частных производных и гиперболическое уравнение в частных производных .

Единственное различие между однородным и неоднородным (частным) дифференциальным уравнением состоит в том, что в однородной форме мы позволяем только 0 стоять в правой части ( ), в то время как неоднородное уравнение является гораздо более общим, поскольку в нем может быть любая функция до тех пор, пока поскольку он непрерывен и может быть непрерывно дифференцирован дважды. ${\ displaystyle f (x, t) = 0}$ ${\ Displaystyle f (х, т)}$

Решение вышеуказанного уравнения дается формулой:

${\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} {\ Bigl (} g (x + ct) + g (x-ct) {\ biggr)} + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ {x-ct} ^ {x + ct} h (s) \, {\ text {d}} s + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ { 0} ^ {t} \ int \ limits _ {xc (t- \ tau)} ^ {x + c (t- \ tau)} f (s, \ tau) \, {\ text {d}} s { \ text {d}} \ tau}$ .

Если первая часть исчезает, если вторая часть исчезает, и если третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0. ${\ displaystyle g (x) = 0}$ ${\ Displaystyle ч (х) = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$