Оператор Даламбера - d'Alembert operator

В специальной теории относительности , электромагнетизме и теории волн , то оператор Даламбера (обозначается прямоугольник: ), также называемый даламбертиан , волновой оператор , коробка оператор или иногда quabla оператора ( ср . Наб символ ) является оператором Лапласа от Минковского пространство . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Ронда Даламбера .

В пространстве Минковского в стандартных координатах ( t , x , y , z ) он имеет вид

Здесь 3-мерный лапласиан, а g μν - обратная метрика Минковского с

, , Для .

Обратите внимание, что индексы суммирования μ и ν находятся в диапазоне от 0 до 3: см. Обозначения Эйнштейна . Мы приняли такие единицы, что скорость света c = 1.

(Некоторые авторы в качестве альтернативы использовать отрицательную метрическую подпись из (- + + +) , с .)

Преобразования Лоренца оставляют метрический инвариант Минковского , поэтому даламбертиан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше выражения координат остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.

Символ прямоугольника (☐) и альтернативные обозначения

Существует множество обозначений даламбертиана. Наиболее распространенными являются коробка символов ( Unicode : U + 2610урна ) , чьи четыре стороны представляют четыре измерения пространства-времени и коробчатого квадрат символ , который подчеркивает скалярное свойство через квадратом (так же, как в лапласианом ). В соответствии с треугольным обозначением лапласиана , иногда используется.

Другой способ записать Даламбертиана в плоских стандартных координатах - это . Это обозначение широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной свидетельствует о наличии Даламбертиана.

Иногда символ прямоугольника используется для представления четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивиты . Затем символ используется для обозначения пространственных производных, но это зависит от координатной карты .

Приложения

Волновое уравнение для малых колебаний имеет вид

где u ( x , t ) - смещение.

Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме

где A μ - электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .

В общей теории относительности уравнение гравитационных волн в вакууме имеет вид

где - (достаточно малое) отклонение метрического тензора от плоского (минковского) тензора.

Уравнение Клейна – Гордона имеет вид

Функция Грина

В функции Грина , для Даламбера определяется уравнением

где это многомерная дельта - функция Дирака и , и две точки в пространстве Минковского.

Особое решение дает запаздывающая функция Грина, которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени.

где - ступенчатая функция Хевисайда .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки