Оператор Даламбера - d'Alembert operator
В специальной теории относительности , электромагнетизме и теории волн , то оператор Даламбера (обозначается прямоугольник: ), также называемый даламбертиан , волновой оператор , коробка оператор или иногда quabla оператора ( ср . Наб символ ) является оператором Лапласа от Минковского пространство . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Ронда Даламбера .
В пространстве Минковского в стандартных координатах ( t , x , y , z ) он имеет вид
Здесь 3-мерный лапласиан, а g μν - обратная метрика Минковского с
- , , Для .
Обратите внимание, что индексы суммирования μ и ν находятся в диапазоне от 0 до 3: см. Обозначения Эйнштейна . Мы приняли такие единицы, что скорость света c = 1.
(Некоторые авторы в качестве альтернативы использовать отрицательную метрическую подпись из (- + + +) , с .)
Преобразования Лоренца оставляют метрический инвариант Минковского , поэтому даламбертиан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше выражения координат остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.
Символ прямоугольника (☐) и альтернативные обозначения
Существует множество обозначений даламбертиана. Наиболее распространенными являются коробка символов ( Unicode : U + 2610 ☐ урна ) , чьи четыре стороны представляют четыре измерения пространства-времени и коробчатого квадрат символ , который подчеркивает скалярное свойство через квадратом (так же, как в лапласианом ). В соответствии с треугольным обозначением лапласиана , иногда используется.
Другой способ записать Даламбертиана в плоских стандартных координатах - это . Это обозначение широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной свидетельствует о наличии Даламбертиана.
Иногда символ прямоугольника используется для представления четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивиты . Затем символ используется для обозначения пространственных производных, но это зависит от координатной карты .
Приложения
Волновое уравнение для малых колебаний имеет вид
где u ( x , t ) - смещение.
Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме
где A μ - электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .
В общей теории относительности уравнение гравитационных волн в вакууме имеет вид
где - (достаточно малое) отклонение метрического тензора от плоского (минковского) тензора.
Уравнение Клейна – Гордона имеет вид
Функция Грина
В функции Грина , для Даламбера определяется уравнением
где это многомерная дельта - функция Дирака и , и две точки в пространстве Минковского.
Особое решение дает запаздывающая функция Грина, которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени.
где - ступенчатая функция Хевисайда .
Смотрите также
- 4-градиентный
- формула даламбера
- Уравнение Клейна – Гордона
- Релятивистская теплопроводность
- Исчисление Риччи
использованная литература
внешние ссылки
- «Оператор Даламбера» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Пуанкаре, Анри (1906). Wikisource ., первоначально напечатано в Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . - через
- Вайсштейн, Эрик В. «Даламбертиан» . MathWorld .