Полином Диксона - Dickson polynomial

В математике , то многочлены Диксона , обозначаемый D п ( х , α ) , образуют последовательность полиномов введенную LE Диксона  ( одна тысяча восемьсот девяносто семь ). Они были заново открыты Брюером (1961) в его исследовании сумм Брюера и иногда, хотя и редко, назывались полиномами Брюера .

Над комплексными числами многочлены Диксона по существу эквивалентны многочленам Чебышева с заменой переменной, и, фактически, многочлены Диксона иногда называют многочленами Чебышева.

Многочлены Диксона обычно изучаются над конечными полями , где они иногда не могут быть эквивалентны многочленам Чебышева. Одна из основных причин интереса к ним заключается в том, что при фиксированном α они дают много примеров перестановочных многочленов ; многочлены, действующие как перестановки конечных полей.

Определение

Первый вид

Для целого числа n > 0 и α в коммутативном кольце R с единицей (часто выбираемом в качестве конечного поля F q = GF ( q ) ) многочлены Диксона (первого рода) над R имеют вид

Первые несколько полиномов Диксона:

Они также могут быть порождены рекуррентным соотношением для n ≥ 2 ,

с начальными условиями D 0 ( x , α ) = 2 и D 1 ( x , α ) = x .

Второй вид

Полиномы Диксона второго рода, E n ( x , α ) , определяются равенством

Они мало изучены и обладают свойствами, аналогичными свойствам многочленов Диксона первого рода. Первые несколько многочленов Диксона второго рода равны

Они также могут быть порождены рекуррентным соотношением для n ≥ 2 ,

с начальными условиями E 0 ( x , α ) = 1 и E 1 ( x , α ) = x .

Характеристики

D п являются единственными унитарные многочлены , удовлетворяющие функциональному уравнению

где αF q и u ≠ 0 ∈ F q 2 .

Они также удовлетворяют правилу композиции,

Е п также удовлетворяет функциональное уравнение

для y ≠ 0 , y 2α , где αF q и yF q 2 .

Полином Диксона y = D n является решением обыкновенного дифференциального уравнения

а многочлен Диксона y = E n является решением дифференциального уравнения

Их обычные производящие функции :

Ссылки на другие многочлены

По приведенному выше рекуррентному соотношению многочлены Диксона являются последовательностями Люка . В частности, при α = −1 многочлены Диксона первого рода являются многочленами Фибоначчи , а многочлены Диксона второго рода являются многочленами Люка .

По приведенному выше правилу композиции, когда α идемпотентно , композиция многочленов Диксона первого рода коммутативна.

  • Многочлены Диксона с параметром α = 0 дают одночлены .

  • Поскольку многочлен Диксона D n ( x , α ) может быть определен над кольцами с дополнительными идемпотентами, D n ( x , α ) часто не связан с многочленом Чебышева.

Многочлены перестановки и многочлены Диксона

Подстановка многочлен (для заданного конечного поля) является тот , который выступает в качестве перестановки элементов конечного поля.

Многочлен Диксона D n ( x , α) (рассматриваемый как функция от x при фиксированном α) является перестановочным многочленом для поля с q элементами тогда и только тогда, когда n взаимно просто с q 2 - 1 .

Фрид (1970) доказал, что любой целочисленный многочлен, являющийся перестановочным многочленом для бесконечного числа простых полей, является композицией многочленов Диксона и линейных многочленов (с рациональными коэффициентами). Это утверждение стало известно как гипотеза Шура, хотя на самом деле Шур этого предположения не делал. Поскольку статья Фрида содержала множество ошибок, Тёрнвальд (1995) исправил их , а впоследствии Мюллер (1997) дал более простое доказательство в духе аргументации Шура.

Далее, Мюллер (1997) доказал, что любой многочлен подстановки над конечным полем F q , степень которого одновременно взаимно проста с q и меньше q 1/4 должен быть композицией многочленов Диксона и линейных многочленов.

Обобщение

Многочлены Диксона обоих видов над конечными полями можно рассматривать как начальные члены последовательности обобщенных многочленов Диксона, называемых многочленами Диксона ( k + 1) -го рода. В частности, для альфа ≠ 0 ∈ F ц с ц = р е для некоторого простого р и любых целых п ≥ 0 и 0 ≤ K < р , тем п - й Диксона многочлен ( к + 1) го рода над F д , обозначается через D n , k ( x , α ) , определяется как

а также

D n , 0 ( x , α ) = D n ( x , α ) и D n , 1 ( x , α ) = E n ( x , α ) , показывая, что это определение объединяет и обобщает исходные многочлены Диксона.

Значительные свойства полиномов Диксона также обобщают:

  • Соотношение рекуррентности : для n ≥ 2 ,
с начальными условиями D 0, k ( x , α ) = 2 - k и D 1, k ( x , α ) = x .
  • Функциональное уравнение :
где y ≠ 0 , y 2α .
  • Генерирующая функция :

Заметки

Рекомендации