Дискретное преобразование Чебышева - Discrete Chebyshev transform

В прикладной математике , то дискретное преобразование Чебышева (DCT) , названный в честь Чебышёв , является одним из двух основных разновидностей ДКП: дискретное преобразование Чебышева на сетке «корней» из многочленов Чебышева первого рода и дискретного Чебышева преобразование сетка «экстремумов» полиномов Чебышева первого рода. ${\ Displaystyle Т_ {п} (х)}$

Дискретное преобразование Чебышева на сетке корней

Дискретное преобразование Чебышева функции u (x) в точках задается выражением: ${\ displaystyle {x_ {n}}}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) T_ {m} (x_ {n })}$

где:

${\ displaystyle x_ {n} = - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ right)}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) \ cos \ left (m \ cos ^ {- 1} (x_ {n}) \ right)}$

где и иначе. ${\ displaystyle p_ {m} = 1 \ Leftrightarrow m = 0}$${\ displaystyle p_ {m} = 2}$

Используя определение , ${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (N + n + {\ frac {1} {2}}) \ right)}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) (- 1) ^ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ right)}$

и его обратное преобразование:

${\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

(Так происходит со стандартным рядом Чебышева, вычисленным на сетке корней.)

${\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (N + n + {\ frac {1} {2}}) \ right)}$

${\ displaystyle \, следовательно, и_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} (- 1) ^ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} { N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ right)}$

Это легко получить, преобразовав входные аргументы в дискретное косинусное преобразование.

Это можно продемонстрировать с помощью следующего кода MATLAB :

function a=fct(f,l)
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f(end:-1:1,:);
A = size(f); N = A(1); 
if exist('A(3)','var') && A(3)~=1
    for i=1:A(3)
        a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
        a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);
    end
else
    a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
    a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2);
end

Дискретное косинусное преобразование (dct) фактически вычисляется с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье в MATLAB.
И обратное преобразование дается кодом MATLAB:

function f=ifct(a,l)
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size(a); N=k(1);

a = idct(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]);

end

Дискретное преобразование Чебышева на сетке экстремумов

Это преобразование использует сетку:

${\ displaystyle x_ {n} = - \ cos \ left ({\ frac {n \ pi} {N}} \ right)}$

${\ displaystyle T_ {n} (x_ {m}) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi mn} {N}} + n \ pi \ right) = (- 1) ^ {n} \ cos \ left ({\ frac {\ pi mn} {N}} \ right)}$

Это преобразование сложнее реализовать с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Однако он более широко используется, потому что он находится на сетке экстремумов, которая имеет тенденцию быть наиболее полезной для краевых задач. В основном потому, что к этой сетке проще применить граничные условия.

Существует дискретный (и на самом деле быстрый, потому что он выполняет dct с использованием быстрого преобразования Фурье), доступный при обмене файлами MATLAB, который был создан Грегом фон Винкелем. Поэтому здесь это опущено.

В этом случае преобразование и его обратное

${\ displaystyle u (x_ {n}) = u_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {N} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ left [{\ frac {1} {2}} (u_ {0} (- 1) ^ {m} + u_ { N}) + \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} u_ {n} T_ {m} (x_ {n}) \ right]}$

где и иначе. ${\ displaystyle p_ {m} = 1 \ Leftrightarrow m = 0}$${\ displaystyle p_ {m} = 2}$

Использование и реализации

Основное использование дискретного преобразования Чебышева - численное интегрирование, интерполяция и устойчивое численное дифференцирование. Реализация, которая предоставляет эти функции, представлена ​​в библиотеке C ++ Boost.

Смотрите также

• Полиномы Чебышева
• Дискретное косинусное преобразование
• Дискретное преобразование Фурье
• Список преобразований, связанных с Фурье

Ссылки