Додекаэдр - Dodecahedron
I h , заказ 120 | |||
---|---|---|---|
Обычный- | Маленький звездчатый | Большой- | Великий звездчатый |
Т ч , заказ 24 | Т, заказ 12 | О ч , заказ 48 | Джонсон (J 84 ) |
Пиритоэдр | Тетартоид | Ромбический | Треугольный |
D 4h , заказ 16 | D 3h , заказ 12 | ||
Ромбо-гексагональный | Ромбо-квадрат | Трапецо-ромбический- | Ромбо-треугольный- |
В геометрии , A додекаэдр (греческий δωδεκάεδρον , от δώδεκα ДОДЭКА «двенадцать» + ἕδρα Hedra «база», «место» или «лица») или duodecahedron является любой многогранник с двенадцатью плоскими гранями. Самый известный додекаэдр - это правильный додекаэдр с правильными пятиугольниками в качестве граней, который является платоновым телом . Также есть три правильных звездчатых додекаэдра , которые построены в виде звездчатых элементов выпуклой формы. Все они имеют икосаэдрическую симметрию порядка 120.
Некоторые додекаэдры имеют ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр (с точки зрения графа, образованного его вершинами и ребрами), но их пятиугольные грани не правильные: пиритоэдр , обычная кристаллическая форма в пирите , имеет пиритоэдрическую симметрию , а тетартоид имеет тетраэдрическую симметрию .
Ромбический додекаэдр можно рассматривать как предельный случай pyritohedron, и она имеет восьмигранную симметрию . Удлиненный Додекаэдр и trapezo-ромбический додекаэдр вариации, наряду с ромбической додекаэдры, являются пространственно-наполнением . Есть множество других додекаэдров .
В то время как правильный додекаэдр имеет много общих черт с другими Платоновыми телами, одно его уникальное свойство состоит в том, что можно начать с угла поверхности и провести бесконечное количество прямых линий через фигуру, которые возвращаются в исходную точку, не пересекаясь ни с одной другой. угол.
Правильные додекаэдры
Выпуклый правильный додекаэдр является одним из пяти правильных Платоновых тел и может быть представлен его символом Шлефли {5, 3}.
Двойной полиэдр является регулярным Икосаэдром {3, 5}, имеющий пять равностороннего треугольника вокруг каждой вершины.
Выпуклый правильный додекаэдр |
Малый звездчатый додекаэдр |
Большой додекаэдр |
Большой звездчатый додекаэдр |
Выпуклая додекаэдра также имеет три созвездий , все из которых являются регулярной звездой додекаэдры. Они образуют три из четырех многогранников Кеплера – Пуансо . Это малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}, большой додекаэдр {5, 5/2} и большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}. Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу; большой звездчатый додекаэдр двойственен большому икосаэдру {3, 5/2}. Все эти правильные звездчатые додекаэдры имеют правильные пятиугольные или пентаграммические грани. Выпуклый правильный додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр - разные реализации одного и того же абстрактного правильного многогранника ; малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр - разные реализации другого абстрактного правильного многогранника.
Другие пятиугольные додекаэдры
В кристаллографии , два важные додекаэдры могут происходить как кристаллические формы в некоторых классах симметрии в кубической кристаллической системе , топологический эквивалентно додекаэдр , но менее симметричен: в pyritohedron с pyritohedral симметрии и то tetartoid с тетраэдрической симметрией :
Пиритоэдр
Пиритоэдр | |
---|---|
(Смотрите здесь вращающуюся модель.) |
|
Многоугольник лица | неправильный пятиугольник |
Диаграммы Кокстера |
|
Лица | 12 |
Края | 30 (6 + 24) |
Вершины | 20 (8 + 12) |
Группа симметрии | T h , [4,3 + ], (3 * 2), порядок 24 |
Группа вращения | T , [3,3] + , (332), порядок 12 |
Двойной многогранник | Псевдоикосаэдр |
Характеристики | лицо переходное |
Сеть |
Pyritohedron является додекаэдр с pyritohedral (Т ч ) симметрии. Подобно правильному додекаэдру , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три пересекающихся в каждой из 20 вершин (см. Рисунок). Однако пятиугольники не обязательно должны быть регулярными, и лежащее в основе атомное расположение не имеет истинной оси симметрии пятого порядка. Его 30 ребер разделены на два набора - по 24 и 6 ребер одинаковой длины. Единственные оси вращательной симметрии - это три взаимно перпендикулярные оси второго порядка и четыре оси третьего порядка .
Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, форма пиритоэдра встречается в кристаллах минерального пирита , и это может быть источником вдохновения для открытия правильной платоновской твердой формы. Истинный правильный додекаэдр может иметь форму квазикристаллов (таких как квазикристалл гольмия-магния-цинка ) с икосаэдрической симметрией , которая включает в себя истинные оси вращения пятого порядка .
Кристаллический пирит
Имя кристалла пирита происходит от одного из двух общих привычек кристалла , показанных на пирит (другой один являющийся куб ). В пиритоэдрическом пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол равен 2 · арктангенс (2) ≈ 126,87 °, и каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121,6 ° между двумя углами примерно 106,6 °. и два противоположных угла примерно 102,6 °. Следующие формулы показывают размеры грани идеального кристалла (который редко встречается в природе).
|
Декартовы координаты
Восемь вершин куба имеют координаты (± 1, ± 1, ± 1).
Координаты 12 дополнительных вершин: ( 0, ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ) ) , ( ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ), 0 ) и ( ± (1 - h 2 ), 0, ± (1 + h ) ) .
h - высота клиновидной «крыши» над гранями этого куба с длиной ребра 2.
Важный случай: h =1/2(четверть длины ребра куба) для идеального природного пирита (также пиритоэдра в структуре Вейра – Фелана ).
Другой - h =1/φ= 0,618 ... для правильного додекаэдра . См. Раздел « Геометрическая свобода» для других случаев.
Два пиритоэдра с переставленными ненулевыми координатами находятся в двойных положениях друг относительно друга, как додекаэдры в соединении двух додекаэдров .
|
|
Анимации | |
---|---|
Соты из чередующихся выпуклых и вогнутых пиритоэдров высотой от ±1/φ | Высота от 0 (куб) до 1 (ромбический додекаэдр) |
Геометрическая свобода
Пиритоэдр имеет геометрическую степень свободы с предельными случаями кубической выпуклой оболочки на одном пределе коллинеарных ребер и ромбического додекаэдра в качестве другого предела, поскольку 6 ребер вырождены до нулевой длины. Правильный додекаэдр представляет собой специальный промежуточный случай, когда все ребра и углы равны.
Эти предельные случаи можно обойти, создав вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндо-додекаэдр является вогнутым и равносторонним; он может замощить пространство с помощью выпуклого правильного додекаэдра. Продолжая оттуда в этом направлении, мы проходим через вырожденный случай, когда двенадцать вершин совпадают в центре, и переходим к правильному большому звездчатому додекаэдру, где все ребра и углы снова равны, а грани искажены в правильные пентаграммы . С другой стороны, за ромбическим додекаэдром мы получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями в форме рыбы.
Частные случаи пиритоэдра | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Версии с равными абсолютными значениями и противоположными знаками вместе образуют соты. (Сравните эту анимацию .) Показано соотношение длин ребер, а именно длины ребер в наборе из 24 (соприкасающиеся вершины куба) к таковым в наборе из 6 (соответствующих граням куба). |
|||||||
Соотношение | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 | 2: 1 | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 |
час | -√ 5 + 1/2 | −1 | - √ 5 + 1/2 | 0 | √ 5 - 1/2 | 1 | √ 5 + 1/2 |
−1,618 ... | −0,618 ... | 0,618 ... | 1,618 ... | ||||
Изображение |
Правильная звезда, большой звездчатый додекаэдр с правильными гранями пентаграммы |
Вырождение, 12 вершин в центре |
Вогнутый равносторонний додекаэдр, называемый эндододекаэдром . |
Куб может быть разделен на pyritohedron путем рассекает все ребра, и лицо в альтернативных направлениях. |
Правильный додекаэдр - это промежуточный случай с равными длинами ребер. |
Ромбический додекаэдр является вырожденным случаем с 6 crossedges снижены до нулевой длины. |
Самопересекающийся равносторонний додекаэдр |
Тетартоид
Тетартоид Тетрагональный пятиугольный додекаэдр |
|
---|---|
(Смотрите здесь вращающуюся модель.) |
|
Многоугольник лица | неправильный пятиугольник |
Обозначение Конвея | gT |
Лица | 12 |
Края | 30 (6 + 12 + 12) |
Вершины | 20 (4 + 4 + 12) |
Группа симметрии | T , [3,3] + , (332), порядок 12 |
Характеристики | выпуклый , грань переходный |
Tetartoid (также тетрагональной пятиугольной Додекаэдр , пятиугольник-tritetrahedron и tetrahedric пятиугольника додекаэдра ) является додекаэдр с хиральным тетраэдрической симметрии (Т). Подобно правильному додекаэдру , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три пересекающихся в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не правильные, и фигура не имеет осей симметрии пятого порядка.
Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, тетартоидная форма существует. Название тетартоид происходит от греческого корня, означающего одну четверть, потому что он имеет одну четверть полной октаэдрической симметрии и половину пиритоэдрической симметрии. Минерал кобальтит может иметь такую форму симметрии.
Абстракции, разделяющие топологию и симметрию твердого тела, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань разделена пополам наклонным краем. В тетраэдре каждое ребро делится на три части, и каждая из новых вершин соединяется с центром грани. (В обозначениях многогранников Конвея это гиротетраэдр.)
|
|
Связь с додекаэдром дьякис | ||
---|---|---|
Тетартоид можно создать, увеличив 12 из 24 граней додекаэдра дьякиса . (Показанный здесь тетартоид основан на тетартоиде, который сам образован увеличением 24 из 48 граней додекаэдра дисдиакиса .)
Модель кристалла справа показывает тетартоид, созданный увеличением синих граней додекаэдрического ядра дьяки. Следовательно, края между синими гранями покрываются красными краями каркаса. |
Декартовы координаты
Следующие точки являются вершинами четырехугольника тетраэдра при тетраэдрической симметрии :
- ( а , б , в ); (- а , - б , в ); (-п/d 1, -п/d 1, п/d 1); (- в , - а , б ); (-п/d 2, п/d 2, п/d 2),
при следующих условиях:
- 0 ≤ a ≤ b ≤ c ,
- n = a 2 c - bc 2 ,
- d 1 = a 2 - ab + b 2 + ac - 2 bc ,
- d 2 = a 2 + ab + b 2 - ac - 2 bc ,
- nd 1 д 2 ≠ 0 .
Геометрическая свобода
Додекаэдра является tetartoid более необходимой симметрии. Триакистетраэдр является вырожденным случаем с 12 ребрами нулевой длиной. (В терминах использованных выше цветов это означает, что белые вершины и зеленые ребра поглощаются зелеными вершинами.)
Вариации тетартоида от правильного додекаэдра до триакисного тетраэдра | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Двойной треугольной гиробиантикуполы
Форма более низкой симметрии правильного додекаэдра может быть построена как двойник многогранника, построенного из двух треугольных антикупол, соединенных основанием к основанию, называемых треугольными гиробиантикуполами. Он имеет симметрию D 3d , порядок 12. Он имеет 2 набора по 3 одинаковых пятиугольника сверху и снизу, соединенных 6 пятиугольниками по сторонам, которые чередуются вверх и вниз. Эта форма имеет шестиугольное поперечное сечение, и идентичные копии могут быть соединены как частичные шестиугольные соты, но все вершины не будут совпадать.
Ромбический додекаэдр
Ромбический додекаэдр является зоноэдром с двенадцатью ромбическими гранями и октаэдрической симметрией. Он двойственен квазирегулярному кубооктаэдру ( архимедову твердому телу ) и встречается в природе в виде кристалла. Ромбический додекаэдр собирается вместе, заполняя пространство.
Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный pyritohedron где 6 специальных ребра были сокращены до нулевой длины, уменьшая пятиугольники в ромбические грани.
Ромбический додекаэдр имеет несколько звёздчатых звёзд , первая из которых также является параллелоэдрическим заполнителем пространства .
Другой важный ромбический додекаэдр, додекаэдр Билинского , имеет двенадцать граней, совпадающих с гранями ромбического триаконтаэдра , то есть диагонали находятся в соотношении золотого сечения . Это также зоноэдр, описанный Билински в 1960 году. Эта фигура представляет собой еще один заполнитель пространства, а также может встречаться в непериодических заполнениях пространства наряду с ромбическим триаконтаэдром, ромбическим икосаэдром и ромбическими гексаэдрами.
Другие додекаэдры
Существует 6 384 634 топологически различных выпуклых додекаэдра, исключая зеркальные изображения - число вершин колеблется от 8 до 20. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что их невозможно исказить в другой - просто изменяя длину краев или углы между краями или гранями.)
Топологически различные додекаэдры (исключая пятиугольные и ромбические формы)
- Равномерные многогранники:
- Десятиугольная призма - 10 квадратов, 2 декагона, симметрия D 10h , порядок 40.
- Пятиугольная антипризма - 10 равносторонних треугольников, 2 пятиугольника, симметрия D 5d , порядок 20
-
Твердые тела Джонсона (со стандартной поверхностью):
- Пятиугольный купол - 5 треугольников, 5 квадратов, 1 пятиугольник, 1 декагон, симметрия C 5v , порядок 10
- Курносый дисфеноид - 12 треугольников, D 2d , порядка 8
- Удлиненная квадратная дипирамида - 8 треугольников и 4 квадрата, симметрия D 4h , порядок 16
- Метабидоуменьшенный икосаэдр - 10 треугольников и 2 пятиугольника, симметрия C 2v , порядок 4
- Конгруэнтное неправильное лицо : ( переходное лицо )
- Гексагональная бипирамида - 12 равнобедренных треугольников , двойная шестиугольной призме , симметрия D 6h , порядок 24
- Шестиугольный трапецоэдр - 12 воздушных змеев , двойных шестиугольной антипризме , симметрия D 6d , порядок 24
- Тетраэдр Триаки - 12 равнобедренных треугольников, двойственный усеченному тетраэдру , симметрия T d , порядок 24
- Другое менее регулярное столкновение:
- Гендекагональная пирамида - 11 равнобедренных треугольников и 1 правильный пятиугольник , C 11v , порядок 11
- Трапецо-ромбический додекаэдр - 6 ромбов, 6 трапеций - двойственный треугольному ортобикуполу , симметрия D 3h , порядок 12
- Ромбо-шестиугольный додекаэдр или удлиненный додекаэдр - 8 ромбов и 4 равносторонних шестиугольника , симметрия D 4h , порядок 16
- Усеченный пятиугольный трапецоэдр , D 5d , порядок 20, топологически эквивалентен правильному додекаэдру
Практическое использование
Арман Спитц использовал додекаэдр в качестве эквивалента «глобуса» для своего проектора для планетария «Цифровой купол» . основано на предложении Альберта Эйнштейна .
Смотрите также
- 120-элементный - правильный полихорон (4-мерный многогранник), поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек.
- Braarudosphaera bigelowii - кокколитофора в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
- Додекаэдр пентакиса
- Римский додекаэдр
- Курносый додекаэдр
- Усеченный додекаэдр
использованная литература
внешние ссылки
- Четвертое твердое тело Платона и «Пиритоэдр» , Пол Стивенсон, 1993, The Mathematical Gazette, Vol. 77, № 479 (июль 1993 г.), стр. 220–226 [1]
- Плеяде'ученые из Pyritohedron моделей VRML и анимации Pyritohedron и его созвездий
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3o5x - лань" .
- Редактируемая печатная сетка додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- KJM MacLean, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
- Додекаэдр 3D визуализация
- Stella: Polyhedron Navigator : Программное обеспечение, используемое для создания некоторых изображений на этой странице.
- Как сделать додекаэдр из пенополистирольного куба
- Римские додекаэдры: загадочные объекты, найденные на территории Римской империи.