Раскраска домена - Domain coloring

График раскраски домена функции

f ( x ) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ( х 2 - 1) ( х - 2 - я ) 2/х 2 + 2 + 2 я

, используя функцию структурированного цвета, описанную ниже.

В комплексном анализе , домен окраска или цветовое колесо графики представляет собой метод визуализации сложных функций пути присвоения цвета в каждую точку комплексной плоскости . Присваивая точкам на комплексной плоскости разные цвета и яркость, раскраска доменов позволяет легко представить и понять четырехмерную сложную функцию. Это дает представление о текучести сложных функций и показывает естественные геометрические расширения реальных функций .

Используется множество различных цветовых функций. Обычной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с оттенком, следующим за цветовым кругом , а величина - другими способами, такими как яркость или насыщенность .

Мотивация

График из реальной функции могут быть сделаны в двух измерениях , так как существуют две переменные , представленные, и . Однако комплексные числа представлены двумя переменными и, следовательно, двумя измерениями; это означает, что представление сложной функции (точнее, комплексной функции одной комплексной переменной ) требует визуализации четырех измерений. Один из способов добиться этого - использовать риманову поверхность , но другой способ - раскрасить область. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$

Метод

График HL

z

, как в примере простой цветовой функции, описанной в тексте (слева), и график комплексной функции

z 3 - 1

(справа) с использованием той же цветовой функции, показывающий три нуля, а также отрицательное действительное число. числа в виде голубых лучей, начинающиеся с нулей.

Представление четырехмерного сложного отображения только с двумя переменными нежелательно, поскольку такие методы, как проекции, могут привести к потере информации. Однако можно добавлять переменные, которые сохраняют четырехмерный процесс, не требуя визуализации четырех измерений. В этом случае две добавленные переменные являются визуальными входными данными, такими как цвет и яркость, потому что они, естественно, являются двумя переменными, легко обрабатываемыми и различимыми человеческим глазом. Это присвоение называется «цветовой функцией». Используется множество различных цветовых функций. Обычной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с оттенком, следующим за цветовым кругом , а величина - другими способами, такими как яркость или насыщенность .

Простая функция цвета

В следующем примере начало координат окрашено в черный цвет, $1 -$ в красный , $-1 -$ в голубой , а бесконечно удаленная точка - в белый цвет:

{\ Displaystyle {\ begin {cases} H & = \ arg z, \\ L & = \ ell (| z |) \\ S & = 100 \%. \ end {cases}}}

Для функции есть несколько вариантов . Желательным свойством является такое, что обратная функция функции точно такая же светлая, как исходная функция темная (и наоборот). Возможные варианты включают ${\ displaystyle \ ell: [0, \ infty) \ to [0,1)}$ ${\ Displaystyle \ ell (1 / r) = 1- \ ell (r)}$

${\ displaystyle \ ell _ {1} (r) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan (r)}$ а также
${\ Displaystyle \ ell _ {2} (г) = {\ гидроразрыва {г ^ {а}} {г ^ {а} +1}}}$ (с некоторым параметром ). При , это соответствует стереографической проекции на сферу Римана . ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a = 2}$

Распространенным выбором, не имеющим этого свойства, является функция (с некоторым параметром ), которая для и очень близка к . ${\ Displaystyle \ ell _ {3} (г) = 1-а ^ {| г |}}$ ${\ Displaystyle 0 <а <1}$ ${\ displaystyle a = 1/2}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq г \ Leq 1}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1}}$

В этом подходе используется цветовая модель HSL (оттенок, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда устанавливается на максимум 100%. Яркие цвета радуги непрерывно вращаются по сложному единичному кругу, поэтому корни единицы шестого порядка (начиная с 1) следующие: красный, желтый, зеленый, голубой, синий и пурпурный. Величина кодируется интенсивностью с помощью строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку цветовое пространство HSL не является перцептивно однородным, можно видеть полосы воспринимаемой яркости желтого, голубого и пурпурного (даже если их абсолютные значения такие же, как у красного, зеленого и синего) и ореол вокруг $L = 1 / 2$ . Использование цветового пространства Lab исправляет это, делая изображения более точными, но также делая их более тусклыми / пастельными.

Прерывистое изменение цвета

Многие цветные графики имеют разрывы, где вместо равномерного изменения яркости и цвета они внезапно меняются, даже когда сама функция все еще остается гладкой. Это делается по разным причинам, например, чтобы показать больше деталей или выделить определенные аспекты функции.

Рост масштабов

Прерывистая цветовая функция. На графике каждый разрыв возникает, когда для целых чисел n .

{\ Displaystyle | г | = 2 ^ {п}}

В отличие от конечного диапазона аргумента, величина комплексного числа может варьироваться от $0$ до $\infty$ . Следовательно, в функциях, которые имеют большие диапазоны значений, иногда бывает трудно дифференцировать изменения величины, когда на графике также отображается очень большое изменение. Это можно исправить с помощью функции прерывистого цвета, которая показывает повторяющийся образец яркости для величины, основанной на заданном уравнении. Это позволяет легко увидеть более мелкие изменения, а также более крупные изменения, которые «скачкообразно скачут» к более высокой величине. На графике справа эти разрывы появляются в кругах вокруг центра и показывают затемнение графика, которое затем может снова стать ярче. Аналогичная функция цвета была использована для графика в верхней части статьи.

Уравнения, которые определяют разрывы, могут быть линейными, например, для каждой целой величины, экспоненциальными уравнениями, такими как каждая величина n, где является целым числом, или любым другим уравнением. ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

Подсветка свойств

Разрывы могут быть размещены там, где выходные данные имеют определенное свойство, чтобы выделить, какие части графа имеют это свойство. Например, график может вместо отображения голубого цвета перескакивать с зеленого на синий. Это вызывает разрыв, который легко обнаружить, и может выделить строки, например, где аргумент равен нулю. Разрывы также могут влиять на большие части графика, такие как график, в котором цветовое колесо делит график на квадранты. Таким образом, легко показать, где заканчивается каждый сектор отношений с другими.

История

Термин «раскраска домена» был придуман Фрэнком Фаррисом, возможно, примерно в 1998 году. Было много более ранних применений цвета для визуализации сложных функций, как правило, сопоставления аргумента ( фазы ) с оттенком. Ларри Кроун использовал этот метод в конце 1980-х годов. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из домена в домен или плоскость изображения была использована в 1999 году Джорджем Абдо и Полом Годфри, а цветные сетки использовались в графике Дугом Арнольдом , датированным им 1997 годом.

Ограничения

Люди, страдающие дальтонизмом, могут иметь проблемы с интерпретацией таких графиков, если они составлены с использованием стандартных цветовых карт . Эту проблему, возможно, можно решить, создав альтернативные версии с использованием цветовых карт, которые соответствуют цветовому пространству, различимому для людей с дальтонизмом. Например, для использования людьми с полной дейтеранопией цветовая карта, основанная на синем / сером / желтом, может быть более читаемой, чем обычная карта, основанная на синем / зеленом / красном.

использованная литература

↑ May 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Проверено 13 декабря 2018 г.
^ Poelke, Константин и Polthier, Конрад. https://web.archive.org/web/20181215222809/https://pdfs.semanticscholar.org/1b31/16583a2638f896d8e1dd5813cd97b3c7e2bd.pdf Проверено 13 декабря 2018 г.
^ Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплексных функций на плоскости
^ Hans Lundmark (2004). «Визуализация сложных аналитических функций с помощью раскраски области» . Архивировано из оригинала на 2006-05-02 . Проверено 25 мая 2006 . Лундмарк ссылается на то, что Фаррис ввел термин «раскраска домена» в этой статье 2004 года.
↑ Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветная галерея сложных функций» . Пиксель: Журнал научной визуализации . Пиксельные коммуникации. 1 (4): 42 и след.
^ Элиас Вегерт (2012). Визуальные сложные функции: введение с фазовыми портретами . Springer Basel. п. 29. ISBN 9783034801799. Проверено 6 января +2016 .
^ Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). «Построение функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски» . Проверено 17 мая 2008 .
^ Дуглас Н. Арнольд (2008). «Графика для комплексного анализа» . Проверено 17 мая 2008 .
^ "CET Perceptually Uniform Color Maps" . peterkovesi.com . Проверено 22 декабря 2020 .
↑ Фаррис, Фрэнк А. (2 июня 2015 г.). Создание симметрии: хитрая математика рисунков обоев . Издательство Принстонского университета. С. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.
^ ^a ^b Ковеси, Питер (2017). «Цветовые карты для дальтоников, представленные на IAMG 2017» (PDF) .

внешние ссылки

Плоттер функций Самуэля Ли
Цветовые графики сложных функций
Визуализация комплексных функций на плоскости.
Галерея сложных функций
Комплексный картограф Алессандро Роза
Программное обеспечение John Davis - скрипт S-Lang для раскраски доменов
Программное обеспечение для раскраски доменов C и Python с открытым исходным кодом
Улучшенная раскраска 3D-домена
Метод окраски домена на GPU
Программа для раскраски доменов Java (в разработке)
Подпрограммы MATLAB [1]
Скрипт Python для GIMP Майкла Дж. Грубера
Реализация раскраски доменов в Matplotlib и MayaVi Э. Петрисором [2]
Подпрограммы MATLAB с пользовательским интерфейсом и различными цветовыми схемами
Подпрограммы MATLAB для 3D-визуализации сложных функций
Метод цветового круга
Математический движок с масштабированием в реальном времени
Fractal Zoomer: программное обеспечение, использующее раскраску доменов

[1] May 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Проверено 13 декабря 2018 г.

[2] Poelke, Константин и Polthier, Конрад. https://web.archive.org/web/20181215222809/https://pdfs.semanticscholar.org/1b31/16583a2638f896d8e1dd5813cd97b3c7e2bd.pdf Проверено 13 декабря 2018 г.

[3] Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплексных функций на плоскости

[Ludmark1-4] Hans Lundmark (2004). «Визуализация сложных аналитических функций с помощью раскраски области» . Архивировано из оригинала на 2006-05-02 . Проверено 25 мая 2006 . Лундмарк ссылается на то, что Фаррис ввел термин «раскраска домена» в этой статье 2004 года.

[5] Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветная галерея сложных функций» . Пиксель: Журнал научной визуализации . Пиксельные коммуникации. 1 (4): 42 и след.

[6] Элиас Вегерт (2012). Визуальные сложные функции: введение с фазовыми портретами . Springer Basel. п. 29. ISBN 9783034801799. Проверено 6 января +2016 .

[Abdo1-7] Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). «Построение функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски» . Проверено 17 мая 2008 .

[Arnold1-8] Дуглас Н. Арнольд (2008). «Графика для комплексного анализа» . Проверено 17 мая 2008 .

[9] "CET Perceptually Uniform Color Maps" . peterkovesi.com . Проверено 22 декабря 2020 .

[10] Фаррис, Фрэнк А. (2 июня 2015 г.). Создание симметрии: хитрая математика рисунков обоев . Издательство Принстонского университета. С. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.

[:0-11] Ковеси, Питер (2017). «Цветовые карты для дальтоников, представленные на IAMG 2017» (PDF) .

Languages

In other projects