Индекс Дынкина - Dynkin index

В математике , то индекс Дынкин

${\ displaystyle x _ {\ lambda}}$

старшего веса представления компактной простой алгебры Ли со старшим весом определяется равенством ${\ displaystyle | \ lambda |}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ rm {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2x _ {\ lambda} g_ {ab}}$

оценивается в представлении . Вот матрицы, представляющие генераторы, и задаются ${\ displaystyle | \ lambda |}$${\ displaystyle t_ {a}}$${\ displaystyle g_ {ab}}$

${\ displaystyle {\ rm {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2g_ {ab}}$

оценивается в определяющем представлении.

Прослеживая следы, мы обнаруживаем, что

${\ displaystyle x _ {\ lambda} = {\ frac {\ dim | \ lambda |} {2 \ dim {\ mathfrak {g}}}} (\ lambda, \ lambda +2 \ rho)}$

где вектор Вейля

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha \ in \ Delta ^ {+}} \ alpha}$

равна половине суммы всех положительных корней из . Выражение - это значение квадратичного Казимира в представлении . Индекс всегда является положительным целым числом. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle (\ лямбда, \ лямбда +2 \ rho)}$${\ displaystyle | \ lambda |}$${\ displaystyle x _ {\ lambda}}$

В частном случае, где - наивысший корень , означающий, что это присоединенное представление , равно двойственному числу Кокстера . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle | \ lambda |}$${\ displaystyle x _ {\ lambda}}$

Ссылки

• Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Дэвид Сенешаль, Теория конформного поля , 1997 Springer-Verlag New York, ISBN  0-387-94785-X