Электрическое поле смещения - Electric displacement field

В физике поле электрического смещения (обозначается D ) или электрическая индукция - это векторное поле, которое появляется в уравнениях Максвелла . Он учитывает эффекты бесплатной и связанной оплаты в материалах. « D » означает «смещение», как в родственной концепции тока смещения в диэлектриках . В свободном пространстве поле электрического смещения эквивалентно плотности потока , концепция, которая дает понимание закона Гаусса . В Международной системе единиц (СИ) он выражается в кулонах на квадратный метр (См ⁻² ).

Определение

В диэлектрическом материале присутствие электрического поля E заставляет связанные заряды в материале (атомные ядра и их электроны ) немного разделяться, вызывая локальный электрический дипольный момент . Поле электрического смещения "D" определяется как

${\ Displaystyle \ mathbf {D} \ Equiv \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P},}$

где - диэлектрическая проницаемость вакуума (также называемая диэлектрической проницаемостью свободного пространства), а P - (макроскопическая) плотность постоянного и индуцированного электрических дипольных моментов в материале, называемая плотностью поляризации . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Поле смещения удовлетворяет закону Гаусса в диэлектрике:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho - \ rho _ {\ text {b}} = \ rho _ {\ text {f}}}$

В этом уравнении - количество бесплатных зарядов на единицу объема. Именно эти заряды сделали объем не нейтральным, и их иногда называют объемным зарядом . Фактически это уравнение говорит, что силовые линии D должны начинаться и заканчиваться на свободных зарядах. В отличие от плотности всех тех зарядов, которые являются частью диполя , каждый из которых является нейтральным. В примере изолирующего диэлектрика между металлическими пластинами конденсатора единственные свободные заряды находятся на металлических пластинах, а диэлектрик содержит только диполи. Если диэлектрик заменяется легированным полупроводником или ионизированным газом и т. Д., Тогда электроны движутся относительно ионов, и если система конечна, они оба вносят вклад на краях. ${\ displaystyle \ rho _ {\ text {f}}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ text {b}}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ text {f}}}$

Электростатические силы, действующие на ионы или электроны в материале, регулируются электрическим полем E в материале через силу Лоренца . Кроме того, D не определяется исключительно бесплатным начислением. Поскольку E имеет нулевой ротор в электростатических ситуациях, отсюда следует, что

${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {D} = \ набла \ раз \ mathbf {P}}$

Эффект этого уравнения можно увидеть в случае объекта с «замороженной» поляризацией, такого как стержневой электрет , электрический аналог стержневого магнита. В таком материале нет свободного заряда, но собственная поляризация порождает электрическое поле, демонстрируя, что поле D не полностью определяется свободным зарядом. Электрическое поле определяется с использованием вышеуказанного соотношения вместе с другими граничными условиями на плотность поляризации, чтобы получить связанные заряды, которые, в свою очередь, будут давать электрическое поле.

В линейном , однородном , изотропном диэлектрике с мгновенной реакцией на изменения в электрическом поле, Р линейно зависит от электрического поля,

${\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ varepsilon _ {0} \ chi \ mathbf {E},}$

где коэффициент пропорциональности называется электрической восприимчивостью материала. Таким образом ${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} (1+ \ chi) \ mathbf {E} = \ varepsilon \ mathbf {E}}$

где ε = ε ₀ ε _r - диэлектрическая проницаемость , а ε _r = 1 + χ - относительная диэлектрическая проницаемость материала.

В линейных, однородных, изотропных средах ε - постоянная величина. Однако в линейных анизотропных средах это тензор , а в неоднородных средах это функция положения внутри среды. Он также может зависеть от электрического поля (нелинейные материалы) и иметь отклик, зависящий от времени. Явная временная зависимость может возникнуть, если материалы физически движутся или изменяются во времени (например, отражения от движущейся границы раздела вызывают доплеровские сдвиги ). Другая форма временной зависимости может возникнуть в среде, неизменной во времени , поскольку может быть временная задержка между наложением электрического поля и результирующей поляризацией материала. В этом случае Р является сверткой из импульсного отклика восприимчивости х и электрического поля Е . Такая свертка принимает более простую форму в частотной области : преобразовав Фурье соотношение и применив теорему свертки , можно получить следующее соотношение для линейной инвариантной во времени среды:

${\ Displaystyle \ mathbf {D (\ omega)} = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf {E} (\ omega),}$

где - частота приложенного поля. Ограничение причинности приводит к соотношениям Крамерса – Кронига , которые накладывают ограничения на форму частотной зависимости. Явление частотно-зависимой диэлектрической проницаемости является примером материальной дисперсии . Фактически, все физические материалы имеют некоторую материальную дисперсию, потому что они не могут мгновенно реагировать на приложенные поля, но для многих задач (связанных с достаточно узкой полосой пропускания ) частотной зависимостью ε можно пренебречь. ${\ displaystyle \ omega}$

На границе, где σ _f - плотность свободного заряда, а единичная нормаль направлена ​​в направлении от среды 2 к среде 1. ${\ displaystyle (\ mathbf {D_ {1}} - \ mathbf {D_ {2}}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = D_ {1, \ perp} -D_ {2, \ perp } = \ sigma _ {\ text {f}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

История

Закон Гаусса был сформулирован Карлом Фридрихом Гауссом в 1835 году, но не был опубликован до 1867 года, а это означает, что формулировка и использование D были не ранее 1835 года и, вероятно, не ранее 1860-х годов.

Самое раннее известное использование этого термина относится к 1864 году в статье Джеймса Клерка Максвелла « Динамическая теория электромагнитного поля» . Максвелл использовал вычисления, чтобы продемонстрировать теорию Майкла Фарадея о том, что свет - это электромагнитное явление. Максвелл ввел термин D , удельная мощность электрической индукции, в форме, отличной от современных и знакомых обозначений.

Это был Оливер Хевисайд , который переформулируется уравнения сложного Максвелла в современной форме. Только в 1884 году Хевисайд вместе с Уиллардом Гиббсом и Генрихом Герцем сгруппировали уравнения в отдельный набор. Эта группа из четырех уравнений была известна по-разному как уравнения Герца – Хевисайда и уравнения Максвелла – Герца, а иногда до сих пор известна как уравнения Максвелла – Хевисайда; следовательно, вероятно, именно Хевисайд придал D то значение, которое он имеет сейчас.

Пример: поле смещения в конденсаторе

Конденсатор с параллельными пластинами. Используя воображаемый ящик, можно использовать закон Гаусса для объяснения взаимосвязи между электрическим смещением и свободным зарядом.

Рассмотрим конденсатор с бесконечными параллельными пластинами, в котором пространство между пластинами пусто или содержит нейтральную изолирующую среду. В этом случае свободных зарядов нет, за исключением металлических обкладок конденсатора. Поскольку силовые линии D заканчиваются свободными зарядами, а на обеих пластинах имеется одинаковое количество равномерно распределенных зарядов противоположного знака, то силовые линии должны просто пересекать конденсатор от одной стороны к другой, и | D | = 0 вне конденсатора. В единицах СИ плотность заряда на пластинах равна величине поля D между пластинами. Это следует непосредственно из закона Гаусса путем интегрирования по небольшой прямоугольной коробке, охватывающей одну пластину конденсатора:

${\ displaystyle \ scriptstyle _ {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = Q _ {\ text {free}}}$

По бокам коробки d A перпендикулярно полю, поэтому интеграл по этому сечению равен нулю, как и интеграл на поверхности вне конденсатора, где D равен нулю. Единственная поверхность, которая вносит вклад в интеграл, - это поверхность коробки внутри конденсатора, и, следовательно,

${\ displaystyle | \ mathbf {D} | A = | Q _ {\ text {free}} |}$,

где A - площадь поверхности верхней грани коробки, а - плотность свободного поверхностного заряда на положительной пластине. Если пространство между пластинами конденсатора заполнено линейным однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то в среде индуцируется поляризация, и поэтому разница напряжений между пластинами равна ${\ displaystyle Q _ {\ text {free}} / A = \ rho _ {\ text {f}}}$${\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} = \ varepsilon \ mathbf {E}}$

${\ displaystyle V = | \ mathbf {E} | d = {\ frac {| \ mathbf {D} | d} {\ varepsilon}} = {\ frac {| Q _ {\ text {free}} | d} { \ varepsilon A}}}$

где d - их расстояние.

Введение диэлектрика увеличивает ε в раз, и либо разность напряжений между пластинами будет меньше в этот раз, либо заряд должен быть выше. Частичное подавление полей в диэлектрике позволяет большему количеству свободного заряда задерживаться на двух пластинах конденсатора на единицу падения потенциала, чем было бы возможно, если бы пластины были разделены вакуумом. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$

Если расстояние d между пластинами конечного параллельного пластинчатого конденсатора намного меньше его поперечных размеров, мы можем аппроксимировать его, используя бесконечный случай, и получить его емкость как

${\ displaystyle C = {\ frac {Q _ {\ text {free}}} {V}} \ приблизительно {\ frac {Q _ {\ text {free}}} {| \ mathbf {E} | d}} = { \ frac {A} {d}} \ varepsilon,}$

Смотрите также

• История уравнений Максвелла § Термин уравнения Максвелла
• Плотность поляризации
• Электрическая восприимчивость
• Намагничивающее поле
• Электрический дипольный момент

использованная литература