Электрическая потенциальная энергия - Electric potential energy

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер Пуассон
v т е

Электрическая потенциальная энергия - это потенциальная энергия (измеряемая в джоулях ), которая возникает в результате консервативных кулоновских сил и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов в определенной системе . Объект может иметь электрический потенциал энергии в силу двух основных элементов: свой собственный электрический заряд и его положение относительно других электрически заряженных объектов .

Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с изменяющимися во времени электрическими полями , в то время как термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с постоянными во времени электрическими полями.

Определение

Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа, необходимая для сборки этой системы зарядов путем их сближения, как в системе с бесконечного расстояния. В качестве альтернативы, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется полной работой, совершаемой внешним агентом по переносу заряда или системы зарядов из бесконечности в текущую конфигурацию без какого-либо ускорения.

Электростатическая потенциальная энергия также может быть определена из электрического потенциала следующим образом:

Электростатическая потенциальная энергия U _E точечного заряда q в положении r в присутствии электрического потенциала определяется как произведение заряда и электрического потенциала. ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle U _ {\ mathrm {E}} (\ mathbf {r}) = q \ Phi (\ mathbf {r})}$,

где - электрический потенциал, создаваемый зарядами, который является функцией положения r .${\ displaystyle \ Phi}$

Единицы

СИ единица электрического потенциала энергии джоуль (назван в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГС эрг является единицей энергии, равна 10 ^-7 джоулей. Также можно использовать электронвольты , 1 эВ = 1,602 × 10 ^-19 Джоулей.

Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда

Один точечный заряд q при наличии другого точечного заряда Q

Точечный заряд q в электрическом поле другого заряда Q.

Электростатическая потенциальная энергия U _E одного точечного заряда q в позиции r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:

где - постоянная Кулона , r - расстояние между точечными зарядами q и Q , а q и Q - заряды (а не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон будет иметь отрицательное значение заряда при помещении в формулу) . Следующий план доказательства устанавливает вывод от определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона к этой формуле. ${\ displaystyle k_ {e} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$

Схема доказательства  -

Электростатическая сила F, действующая на заряд q, может быть записана через электрическое поле E как

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = д \ mathbf {E},}$$

По определению, изменение электростатической потенциальной энергии U _E точечного заряда q , который переместился из исходного положения r _ref в положение r в присутствии электрического поля E, является отрицательным значением работы, выполняемой электростатической силой для переместите его из исходной позиции r _ref в эту позицию r .

$${\ displaystyle U_ {E} (r) -U_ {E} (r _ {\ rm {ref}}) = - W_ {r _ {\ rm {ref}} \ rightarrow r} = - \ int _ {{r} _ {\ rm {ref}}} ^ {r} q \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s}.}$$

куда:

• r = положение заряда q в трехмерном пространстве , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q при r = (0,0,0), скаляр r = | г | - норма вектора положения,
• d s = вектор дифференциального смещения вдоль пути C, идущего от r _ref к r ,
• ${\ displaystyle W_ {r _ {\ rm {ref}} \ rightarrow r}}$- работа, совершаемая электростатической силой по перемещению заряда из исходного положения r _ref в r ,

Обычно U _E устанавливается в ноль, когда r _ref равно бесконечности:

$${\ Displaystyle U_ {E} (г _ {\ rm {ref}} = \ infty) = 0}$$

так

$${\ displaystyle U_ {E} (r) = - \ int _ {\ infty} ^ {r} q \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s}}$$

Когда ротор ∇ × E равен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C, а только от его конечных точек. Это происходит в постоянных во времени электрических полях. Когда говорят об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются неизменные во времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле является консервативным и можно использовать закон Кулона.

Используя закон Кулона , известно , что электростатическая сила Р и электрическое поле Е создается с помощью дискретного точечного заряда Q радиально направлены от Q . По определению вектора положения г и вектора смещения х , то отсюда следует , что р и ы также радиально направлены от Q . Итак, E и d s должны быть параллельны:

$${\ Displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = | \ mathbf {E} | \ cdot | \ mathrm {d} \ mathbf {s} | \ cos (0) = E \ mathrm {d} s}$$

Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением

$${\ displaystyle | \ mathbf {E} | = E = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {s ^ {2}}}}$$

а интеграл легко вычислить:

$${\ displaystyle U_ {E} (r) = - \ int _ {\ infty} ^ {r} q \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = - \ int _ {\ infty} ^ {r} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {qQ} {s ^ {2}}} {\ rm {d}} s = {\ frac {1 } {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {qQ} {r}} = k_ {e} {\ frac {qQ} {r}}}$$

Один точечный заряд q при наличии n точечных зарядов Q _i

Электростатическая потенциальная энергия q из-за системы заряда Q ₁ и Q ₂ :${\ displaystyle U_ {E} = q {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {Q_ {1}} {r_ {1}}} + {\ frac {Q_ {2}} {r_ {2}}} \ right)}$

Электростатическая потенциальная энергия U _E одного точечного заряда q в присутствии n точечных зарядов Q _i , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:

где - постоянная Кулона , r _i - расстояние между точечными зарядами q и Q _i , а q и Q _i - приписанные значения зарядов. ${\ displaystyle k_ {e} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе точечных зарядов

Электростатическая потенциальная энергия U _E, запасенная в системе из N зарядов q ₁ , q ₂ ,…, q _N в положениях r ₁ , r ₂ ,…, r _N соответственно, составляет:

где для каждого значения i Φ ( r _i ) представляет собой электростатический потенциал, создаваемый всеми точечными зарядами, кроме одного в r _i , и равен:

$${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {i}) = k_ {e} \ sum _ {j = 1, ..., N \, (j \ neq i)} {\ frac {q_ {j }} {\ mathbf {r} _ {ij}}},}$$

Схема доказательства  -

Электростатическая потенциальная энергия U _E, запасенная в системе двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии одного заряда в электростатическом потенциале, генерируемом другим. То есть, если заряд q ₁ создает электростатический потенциал Φ ₁ , который является функцией положения r , то

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = q_ {2} \ Phi _ {1} (\ mathbf {r} _ {2}).}$$

Проделав такой же расчет относительно другого заряда, получим

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = q_ {1} \ Phi _ {2} (\ mathbf {r} _ {1}).}$$

Электростатическая потенциальная энергия делится между собой и , поэтому общая запасенная энергия равна ${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {2}}$

$${\ displaystyle U_ {E} = {\ frac {1} {2}} \ left [q_ {2} \ Phi _ {1} (\ mathbf {r} _ {2}) + q_ {1} \ Phi _ {2} (\ mathbf {r} _ {1}) \ right]}$$

Это можно обобщить, чтобы сказать, что электростатическая потенциальная энергия U _E, запасенная в системе из N зарядов q ₁ , q ₂ ,…, q _N в положениях r ₁ , r ₂ ,…, r _N соответственно, составляет:

$${\ Displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \ Phi (\ mathbf {r} _ {i} ).}$$

Энергия, хранящаяся в системе точечного заряда

Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которых внешний агент должен совершать работу по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное местоположение.

Часто возникает вопрос о взаимодействии точечного заряда с собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению точечного заряда как такового, оно не влияет на запасенную в системе энергию.

Энергия хранится в системе двух точечных зарядов

Рассмотрим приведение точечного заряда q в его конечное положение рядом с точечным зарядом Q ₁ . Электростатический потенциал Φ ( r ), обусловленный Q _1, равен

$${\ displaystyle \ Phi (r) = k_ {e} {\ frac {Q_ {1}} {r}}}$$

Следовательно, мы получаем электрическую потенциальную энергию q в потенциале Q ₁ как

$${\ displaystyle U_ {E} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {qQ_ {1}} {r_ {1}}}}$$

Энергия хранится в системе трехточечных зарядов

Электростатическую потенциальную энергию системы из трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q ₁ из-за двух зарядов Q ₂ и Q ₃ , потому что последний не включает электростатическую потенциальную энергию системы из двух зарядов. Q ₂ и Q ₃ .

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов, равна:

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left [{\ frac {Q_ {1} Q_ {2}} {r_ {12 }}} + {\ frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + {\ frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} \ right]}$$

Схема доказательства  -

Используя формулу, приведенную в ( 1 ), тогда электростатическая потенциальная энергия системы трех зарядов будет:

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {1} {2}} \ left [Q_ {1} \ Phi (\ mathbf {r} _ {1}) + Q_ {2} \ Phi ( \ mathbf {r} _ {2}) + Q_ {3} \ Phi (\ mathbf {r} _ {3}) \ right]}$$

Где - электрический потенциал в r _1, созданный зарядами Q ₂ и Q ₃ , - электрический потенциал в r _2, созданный зарядами Q ₁ и Q ₃ , и - электрический потенциал в r _3, созданный зарядами Q ₁ и Q ₂ . Возможные варианты: ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {1})}$${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {2})}$${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {3})}$

$${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {1}) = \ Phi _ {2} (\ mathbf {r} _ {1}) + \ Phi _ {3} (\ mathbf {r} _ {1 }) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {2}} {r_ {12}}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {3}} {r_ {13}}}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {2}) = \ Phi _ {1} (\ mathbf {r} _ {2}) + \ Phi _ {3} (\ mathbf {r} _ {2 }) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {1}} {r_ {21}}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {3}} {r_ {23}}}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r} _ {3}) = \ Phi _ {1} (\ mathbf {r} _ {3}) + \ Phi _ {2} (\ mathbf {r} _ {3 }) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {1}} {r_ {31}}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q_ {2}} {r_ {32}}}}$$

Где r _ij - расстояние между зарядами Q _i и Q _j .

Если все сложить:

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left [{\ frac {Q_ {1 } Q_ {2}} {r_ {12}}} + {\ frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + {\ frac {Q_ {2} Q_ {1}} {r_ {21}}} + {\ frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} + {\ frac {Q_ {3} Q_ {1}} {r_ {31}}} + {\ гидроразрыв {Q_ {3} Q_ {2}} {r_ {32}}} \ right]}$$

В итоге получаем, что потенциальная электростатическая энергия хранится в системе трех зарядов:

$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left [{\ frac {Q_ {1} Q_ {2}} {r_ {12 }}} + {\ frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + {\ frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} \ right]}$$

Энергия, накопленная в распределении электростатического поля

Плотность энергии, или энергия на единицу объема, , в электростатическом поле непрерывного распределения заряда: ${\ textstyle {\ frac {dU} {dV}}}$

$${\ displaystyle u_ {e} = {\ frac {dU} {dV}} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ left | {\ mathbf {E}} \ right | ^ { 2}.}$$

Схема доказательства  -

Можно взять уравнение для электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его в терминах электростатического поля .

Поскольку закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме состояния

$${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$$

куда

• ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ вектор электрического поля
• ${\ displaystyle \ rho}$полная плотность заряда, включая дипольные заряды, связанные в материале
• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$является диэлектрической проницаемостью свободного пространства ,

тогда,

$${\ displaystyle {\ begin {align} U & = {\ frac {1} {2}} \ int \ limits _ {\ text {all space}} \ rho (r) \ Phi (r) \, dV \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int \ limits _ {\ text {all space}} \ varepsilon _ {0} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot {\ mathbf {E}}) \ Phi \ , dV \ end {выровнено}}}$$

Итак, теперь используем следующее тождество вектора дивергенции

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} {B}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) {B} + \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla {B}) \ Rightarrow ( \ nabla \ cdot \ mathbf {A}) {B} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} {B}) - \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla {B})}$$

у нас есть

$${\ displaystyle U = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ limits _ {\ text {all space}} \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ mathbf {E} \ Phi) dV - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ limits _ {\ text {all space}} (\ mathbf {\ nabla} \ Phi) \ cdot \ mathbf {E} dV}$$

используя теорему о расходимости и считая площадь бесконечно удаленной, где${\ Displaystyle \ Phi (\ infty) = 0}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} U & = \ overbrace {{\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ limits _ {{} _ {\ text {of space}} ^ {\ text {border}}} \ Phi \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A}} ^ {0} - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ limits _ {\ text { все пространство}} (- \ mathbf {E}) \ cdot \ mathbf {E} \, dV \\ & = \ int \ limits _ {\ text {all space}} {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ left | {\ mathbf {E}} \ right | ^ {2} \, dV. \ end {align}}}$$

Таким образом, плотность энергии, или энергия на единицу объема в электростатическом поле является: ${\ textstyle {\ frac {dU} {dV}}}$

$${\ displaystyle u_ {e} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ left | {\ mathbf {E}} \ right | ^ {2}.}$$

Энергия, хранящаяся в электронных элементах

Электрическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна U _E = 1/2CV ²

Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепло. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор хранит его в электрическом поле. Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, определяется выражением

$${\ displaystyle U_ {E} = {\ frac {1} {2}} QV = {\ frac {1} {2}} CV ^ {2} = {\ frac {Q ^ {2}} {2C}} }$$

Схема доказательства  -

Можно собирать заряды в конденсаторе бесконечно малыми приращениями, так что объем работы, проделанной для сборки каждого приращения в его окончательное положение, может быть выражен как ${\ displaystyle dq \ to 0}$

$${\ Displaystyle W_ {q} = V \, dq = {\ frac {q} {C}} dq.}$$

Тогда общая работа, проделанная для полной зарядки конденсатора таким образом, равна

$${\ displaystyle W = \ int dW = \ int _ {0} ^ {Q} V \, dq = {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {Q} q \, dq = { \ frac {Q ^ {2}} {2C}}.}$$

где - полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется как электростатическая потенциальная энергия, следовательно, ${\ displaystyle Q}$

$${\ displaystyle W = U_ {E} = {\ frac {Q ^ {2}} {2C}}.}$$

Примечательно, что это выражение действительно только в том случае , если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для систем с малым количеством зарядов важен дискретный характер заряда. Полная энергия, запасенная в малозарядном конденсаторе, равна ${\ displaystyle dq \ to 0}$

$${\ displaystyle U_ {E} = {\ frac {Q ^ {2}} {C}}}$$

который получается методом сборки заряда с использованием наименьшего приращения физического заряда, где - элементарная единица заряда, а где - общее количество зарядов в конденсаторе. ${\ displaystyle \ Delta q = e}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle Q = Ne}$${\ displaystyle N}$

Полная электростатическая потенциальная энергия также может быть выражена через электрическое поле в виде

$${\ Displaystyle U_ {E} = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ int _ {V} \ mathrm {E} \ cdot \ mathrm {D} \, dV}$$

где - поле электрического смещения внутри диэлектрического материала, а интегрирование ведется по всему объему диэлектрика. ${\ Displaystyle \ mathrm {D}}$

Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, также может быть выражена через непрерывный объемный заряд , ${\ displaystyle \ rho}$

$${\ displaystyle U_ {E} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi \, dV}$$

Эти последние два выражения действительны только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю ( ), таких как диэлектрики в присутствии металлических электродов или диэлектрики, содержащие много зарядов. ${\ displaystyle dq \ to 0}$

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциальной электрической энергией на Викискладе?