Электромагнитный четырехпотенциальный - Electromagnetic four-potential

Электромагнитный потенциал является релятивистская вектор - функция , из которой электромагнитное поле может быть получено. Он объединяет электрический скалярный потенциал и магнитный векторный потенциал в один четырехвектор .

При измерении в данной системе отсчета и для данного датчика первая составляющая четырехкомпонентного электромагнитного потенциала обычно принимается как электрический скалярный потенциал, а другие три составляющие составляют магнитный векторный потенциал. В то время как и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, четырехкомпонентный электромагнитный потенциал является лоренц-ковариантным .

Как и другие потенциалы, множество различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю, в зависимости от выбора калибра.

В этой статье используется обозначение тензорного индекса и соглашение о знаках метрики Минковского (+ - - -) . См. Также ковариацию и контравариантность векторов, а также повышающие и понижающие индексы для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы даны в единицах СИ и гауссовых единицах cgs .

Определение

Электромагнитный потенциал может быть определен как:

Единицы СИ Гауссовские единицы

в котором ϕ - электрический потенциал , а A - магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единицами измерения A α являются В · с · м -1 в СИ и Mx · см -1 в гауссовых сгс .

Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами, следующие:

Единицы СИ Гауссовские единицы

В специальной теории относительности электрическое и магнитное поля преобразуются при преобразованиях Лоренца . Это можно записать в виде тензора - тензора электромагнитного поля . Это записывается в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырехградиента как:

предполагая, что сигнатура метрики Минковского равна (+ - - -). Если указанная подпись вместо (- + + +), то:

Это по существу определяет четырехпотенциал в терминах физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.

В шкале Лоренца

Часто условие калибровки Лоренца в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла следующим образом:

Единицы СИ Гауссовские единицы

где J α - составляющие четырехтока , а

- оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов это последнее уравнение принимает следующий вид:

Единицы СИ Гауссовские единицы

Для заданного распределения заряда и тока, ρ ( r , t ) и j ( r , t ) , решения этих уравнений в единицах СИ следующие:

куда

это запаздывающее время . Иногда это также выражается с помощью

где квадратные скобки означают, что время следует оценивать для запаздывающего времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , любое решение однородного уравнения может быть добавлено к ним, чтобы удовлетворить граничным условиям . Эти однородные решения в общем случае представляют собой волны, распространяющиеся от источников за пределами границы.

Когда приведенные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для колеблющегося тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как компонент магнитного поля, изменяющийся в соответствии с r −2 ( поле индукции ), так и компонент, уменьшающийся как r −1 ( поле излучения ).

Свобода измерения

Когда уплощенные к одной форме , можно разложить с помощью Hodge разложения теоремы в виде суммы с точным , в коточном и гармонической форме,

.

В A существует калибровочная свобода в той из трех форм в этом разложении, только совпадающая форма имеет какое-либо влияние на электромагнитный тензор

.

Точные формы закрыты, как и гармонические формы в соответствующей области, так и всегда. Итак, независимо от того, что и есть, нам остается просто

.

Смотрите также

использованная литература