Эллиптическая геометрия - Elliptic geometry

Эллиптическая геометрия - это пример геометрии, в которой постулат параллельности Евклида не выполняется. Вместо этого, как и в сферической геометрии , нет параллельных линий, поскольку любые две прямые должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две линии пересекаются в одной точке (а не в двух). Из-за этого эллиптическая геометрия, описанная в этой статье, иногда называется одиночной эллиптической геометрией, тогда как сферическая геометрия иногда упоминается как двойная эллиптическая геометрия .

Появление этой геометрии в девятнадцатом веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии в целом, включая гиперболическую геометрию .

Эллиптическая геометрия имеет множество свойств, которые отличаются от свойств классической евклидовой плоской геометрии. Например, сумма внутренних углов любого треугольника всегда больше 180 °.

Определения

В эллиптической геометрии две прямые, перпендикулярные данной прямой, должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры на одной стороне пересекаются в одной точке, называемой абсолютным полюсом этой линии. Перпендикуляры на другой стороне также пересекаются в одной точке. Однако, в отличие от сферической геометрии, полюса с обеих сторон одинаковы. Это связано с тем, что в эллиптической геометрии нет точек противоположностей . Например, это достигается в гиперсферической модели (описанной ниже), когда «точки» в нашей геометрии фактически являются парами противоположных точек на сфере. Причина в том, что это позволяет эллиптической геометрии удовлетворять аксиоме о том, что существует уникальная линия, проходящая через любые две точки.

Каждая точка соответствует абсолютной полярной линии, абсолютным полюсом которой она является. Любая точка на этой полярной линии образует абсолютно сопряженную пару с полюсом. Такая пара точек ортогональна , а расстояние между ними - квадрант .

Расстояние между парой точек пропорционально углом между их абсолютными полярами.

Как пояснил HSM Coxeter :

Название «эллиптический», возможно, вводит в заблуждение. Это не подразумевает какой-либо прямой связи с кривой, называемой эллипсом, а только довольно надуманной аналогией. Центральная коника называется эллипсом или гиперболой, поскольку у нее нет асимптоты или двух асимптот . Аналогично, неевклидова плоскость называется эллиптической или гиперболической в зависимости от того, каждая из ее прямых не содержит бесконечно удаленных точек или двух бесконечно удаленных точек.

Два измерения

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость - это реальная проективная плоскость, снабженная метрикой : Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию, чтобы связать плоскость σ с точками касательной к ней полусферы . Когда O является центром полушария, точка P в σ определяет прямую OP, пересекающую полушарие, а любая прямая L ⊂ σ определяет плоскость OL, которая пересекает полушарие в половине большого круга . Полусфера ограничена плоскостью, проходящей через точку O и параллельной σ. Этой плоскости не соответствует никакая обычная линия σ; вместо этого к σ добавляется бесконечно удаленная линия . Поскольку любая прямая в этом продолжении σ соответствует плоскости, проходящей через O, и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O, можно сделать вывод, что любая пара прямых в продолжении пересекается: точка пересечения лежит там, где плоскость пересечение пересекает σ или бесконечно удаленную прямую. Таким образом подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая пересечения всех пар прямых на плоскости.

Учитывая P и Q в σ, эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ , обычно измеряемого в радианах. Артур Кэли инициировал изучение эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». За этим предприятием абстракции в геометрии последовали Феликс Клейн и Бернхард Риман, которые привели к неевклидовой геометрии и римановой геометрии .

Сравнение с евклидовой геометрией

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать до бесконечности, и результирующие фигуры похожи, т. Е. Имеют одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии дело обстоит иначе. Например, в сферической модели мы можем видеть, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (поскольку идентифицируются противоположные точки). Следовательно, линейный сегмент нельзя увеличивать бесконечно. Геометр, измеряющий геометрические свойства пространства, в котором он или она обитает, может обнаружить посредством измерений, что существует определенная шкала расстояний, которая является свойством пространства. В масштабах, намного меньших, чем этот, пространство примерно плоское, геометрия примерно евклидова, а фигуры можно масштабировать вверх и вниз, оставаясь примерно одинаковыми.

Большая часть евклидовой геометрии переносится непосредственно на эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида о том, что между любыми двумя точками существует единственная линия и что все прямые углы равны, выполняются в эллиптической геометрии. Постулат 3 о том, что можно построить круг с любым заданным центром и радиусом, не выполняется, если «любой радиус» означает «любое действительное число», но остается верным, если его понимать как «длину любого заданного отрезка линии». Следовательно, любой результат в евклидовой геометрии, который следует из этих трех постулатов, будет иметь место в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из книги I Элементов , в котором говорится, что для любого отрезка прямой можно построить равносторонний треугольник с отрезком в качестве основания.

Эллиптическая геометрия также похожа на геометрию Евклида в том, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и не имеет границ. Изотропия гарантируется четвертым постулатом, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности обратите внимание, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что один и тот же равносторонний треугольник может быть построен в любом месте, а не только в местах, которые в некотором роде являются особенными. Отсутствие границ следует из второго постулата - растяжимости отрезка.

Одним из отличий эллиптической геометрии от евклидовой геометрии является то, что сумма внутренних углов треугольника больше 180 градусов. В сферической модели, например, треугольник может быть построен с вершинами в местах, где три положительные декартовы оси координат пересекают сферу, и все три его внутренних угла равны 90 градусам, что в сумме составляет 270 градусов. Для достаточно маленьких треугольников превышение более 180 градусов можно сделать сколь угодно малым.

Теорема Пифагора не работает в эллиптической геометрии. В треугольнике 90 ° –90 ° –90 °, описанном выше, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют требованиям . Результат Пифагора восстанавливается в пределах малых треугольников. ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Отношение длины окружности к ее площади меньше, чем в евклидовой геометрии. Как правило, площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

Эллиптическое пространство (трехмерный случай)

Примечание. В этом разделе термин «эллиптическое пространство» используется для обозначения трехмерной эллиптической геометрии. Это контрастирует с предыдущим разделом, который был посвящен двухмерной эллиптической геометрии. Кватернионы используются, чтобы прояснить это пространство.

Эллиптическое пространство может быть построено аналогично построению трехмерного векторного пространства: с классами эквивалентности . На больших кругах сферы используются направленные дуги. Как направленные отрезки являются равноправны , когда они параллельны, такими же длинами, и аналогичным образом ориентированными, поэтому направленные дуги найдены на больших кругах равномощны , когда они имеют одинаковую длину, ориентации и большой круг. Эти отношения равнодоступности создают трехмерное векторное пространство и эллиптическое пространство соответственно.

Доступ к структуре эллиптического пространства обеспечивается посредством векторной алгебры Уильяма Роуэна Гамильтона : он представлял сферу как область квадратных корней из минус единицы. Тогда формула Эйлера (где r находится на сфере) представляет большой круг на плоскости, содержащий 1 и r . Противоположные точки r и - r соответствуют противоположно направленным окружностям. Дуга между θ и φ равна дуге между 0 и φ - θ. В эллиптическом пространстве длина дуги меньше π, поэтому дуги могут быть параметризованы с помощью θ в [0, π) или (–π / 2, π / 2]. ${\ Displaystyle \ ехр (\ тета г) = \ соз \ тета + г \ грех \ тета}$

Ибо сказано, что модуль или норма z равен единице (Гамильтон назвал это тензором z). Но поскольку r пробегает сферу в 3-м пространстве, exp (θ r) пробегает сферу в 4-м пространстве, которая теперь называется 3-сферой , поскольку ее поверхность имеет три измерения. Гамильтон назвал свою алгебру кватернионами, и она быстро стала полезным и знаменитым инструментом математики. Его пространство четырех измерений выделяется в полярных координатах с т в положительных действительных чисел . ${\ displaystyle z = \ exp (\ theta r), \ z ^ {*} = \ exp (- \ theta r) \ подразумевает zz ^ {*} = 1.}$ ${\ Displaystyle т \ ехр (\ тета г),}$

При выполнении тригонометрии на Земле или на небесной сфере стороны треугольников представляют собой дуги большого круга. Первым успехом кватернионов было преобразование сферической тригонометрии в алгебру. Гамильтон назвал кватернион нормы один версором , а это точки эллиптического пространства.

При фиксированном $r$ варианты

{\ displaystyle e ^ {ar}, \ quad 0 \ leq a <\ pi}

образуют эллиптическую линию . Расстояние от до 1 равно $a$ . Для произвольного версора $u$ расстояние будет таким θ, для которого $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $) / 2,$ поскольку это формула для скалярной части любого кватерниона. ${\ displaystyle e ^ {ar}}$

Эллиптическое движение описывается отображением кватернионов

{\ displaystyle q \ mapsto uqv,}

где

u

и

v

- фиксированные версии.

Расстояния между точками такие же, как между точками изображения эллиптического движения. В случае, когда $u$ и $v$ являются кватернионами, сопряженными друг другу, движение представляет собой пространственное вращение , а их векторная часть является осью вращения. В случае $u = 1$ эллиптическое движение называется правым переносом Клиффорда или паратаксией . Случай $v = 1$ соответствует левому сдвигу Клиффорда.

Эллиптические прямые, проходящие через versor $u,$ могут иметь вид

{\ displaystyle \ lbrace ue ^ {ar}: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}

или для фиксированного

r

.

{\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar} u: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}

Это правый и левый клиффордовские переводы $u$ вдоль эллиптической линии, проходящей через 1. Эллиптическое пространство формируется из $S 3$ путем определения противоположных точек.

Эллиптические пространство имеет специальные структуры , называемые Клиффорд параллелями и Клиффорд поверхность .

Точки версора эллиптического пространства преобразуются преобразованием Кэли в ³ для альтернативного представления пространства.

Пространства более высокой размерности

Гиперсферическая модель

Гиперсферическая модель - это обобщение сферической модели на более высокие измерения. Точки n- мерного эллиптического пространства - это пары единичных векторов $(x, - x)$ в R ^{n +1} , то есть пары противоположных точек на поверхности единичного шара в ( n + 1) -мерном пространстве ( п - мерный гиперсфера). Линии в этой модели представляют собой большие окружности , т. Е. Точки пересечения гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности n, проходящими через начало координат.

Проективная эллиптическая геометрия

В проективной модели эллиптической геометрии точки n- мерного реального проективного пространства используются как точки модели. Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, также известную как проективная геометрия .

Точки n -мерного проективного пространства могут быть отождествлены с прямыми, проходящими через начало координат в ( n + 1) -мерном пространстве, и могут быть неоднозначно представлены ненулевыми векторами в R ^{n +1} , при том понимании, что $u$ и $λ u$ для любого ненулевого скаляра $λ$ представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики

{\ displaystyle d (u, v) = \ arccos \ left ({\ frac {| u \ cdot v |} {\ | u \ | \ \ | v \ |}} \ right);}

то есть расстояние между двумя точками - это угол между соответствующими линиями в R ^{n +1} . Формула расстояния однородна по каждой переменной, причем $d (λ u, μ v) = d (u, v),$ если $λ$ и $μ$ ненулевые скаляры, поэтому она действительно определяет расстояние в точках проективного пространства.

Примечательным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных размеров, таких как плоскость, геометрия неориентируема . Он стирает различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, идентифицируя их.

Стереографическая модель

Модель, представляющая то же пространство, что и гиперсферическая модель, может быть получена с помощью стереографической проекции . Пусть E ⁿ представляет R ⁿ ∪ {∞}, то есть $n-$ мерное реальное пространство, расширенное одной бесконечно удаленной точкой. Мы можем определить метрику, хордовую метрику , на E ^{n следующим} образом:

{\ Displaystyle \ дельта (и, v) = {\ гидроразрыва {2 \ | УФ \ |} {\ sqrt {(1+ \ | и \ | ^ {2}) (1+ \ | v \ | ^ {2 })}}}}

где $u$ и $v$ - любые два вектора в R ⁿ и обычная евклидова норма. Мы также определяем ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

{\ displaystyle \ delta (u, \ infty) = \ delta (\ infty, u) = {\ frac {2} {\ sqrt {1+ \ | u \ | ^ {2}}}}.}

Результатом является метрическое пространство на E ⁿ , которое представляет собой расстояние вдоль хорды до соответствующих точек на гиперсферической модели, на которое оно биективно отображается с помощью стереографической проекции. Получим модель сферической геометрии, если воспользуемся метрикой

{\ displaystyle d (u, v) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {\ delta (u, v)} {2}} \ right).}

Эллиптическая геометрия получается из этого путем идентификации точек $u$ и $- u$ и принятия расстояния от $v$ до этой пары как минимума расстояний от $v$ до каждой из этих двух точек.

Самосогласованность

Поскольку сферическая эллиптическая геометрия может быть смоделирована, например, как сферическое подпространство евклидова пространства, отсюда следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то сферическая эллиптическая геометрия является самосогласованной. Следовательно, невозможно доказать параллельный постулат на основе других четырех постулатов евклидовой геометрии.

Тарский доказал, что элементарная евклидова геометрия полна : существует алгоритм, который для каждого предложения может показать, что оно истинно или ложно. (Это не нарушает теорему Гёделя , поскольку евклидова геометрия не может описать достаточный объем арифметики для применения теоремы.) Отсюда следует, что элементарная эллиптическая геометрия также является самосогласованной и полной.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Алан Ф. Бердон, Геометрия дискретных групп , Springer-Verlag, 1983 г.
HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , главы 5, 6 и 7: Эллиптическая геометрия в 1, 2 и 3 измерениях, University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN 0-88385-522-4 .
HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , §6.9 Эллиптическая плоскость, стр. 92–95. Джон Вили и сыновья .
"Эллиптическая геометрия" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Феликс Клейн (1871) «О так называемой неевклидовой геометрии» Mathematische Annalen 4: 573–625, переведенный и представленный в John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry , American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .
Борис Одегнал "Об изотропных конгруэнциях прямых в эллиптическом трехмерном пространстве"
Эдуард Этюд (1913), переводчик Д.Х. Дельфениха, "Основы и цели аналитической кинематики" , стр. 20.
Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . Univ. Калифорнийской прессы.
Францен, Торкель (2005). Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблениям . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-238-8.
Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра , Книга VI Глава 2: Эллиптическая геометрия, стр 371–98.

внешние ссылки

СМИ, связанные с эллиптической геометрией на Викискладе?

Languages

In other projects